連恒興

摘 要：數(shù)學(xué)模型不僅為數(shù)學(xué)表達(dá)和交流提供了有效的途徑，也為解決問(wèn)題提供了重要的方法，建立模型是數(shù)學(xué)應(yīng)用和解決問(wèn)題的核心。教學(xué)中，我們要加強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐操作，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力，讓學(xué)生經(jīng)歷從生活情景到數(shù)學(xué)模型的建立過(guò)程，幫助學(xué)生更好地運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：模型思想；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；數(shù)學(xué)教學(xué)

一、加強(qiáng)實(shí)踐操作，促進(jìn)數(shù)學(xué)建模

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式?！碧K霍姆林斯基曾說(shuō)：“兒童的智慧在他的手指尖上?！睌?shù)學(xué)是做出來(lái)的，學(xué)生只有親歷知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，才能真正理解和掌握知識(shí)；學(xué)生只有經(jīng)歷知識(shí)的探索過(guò)程，數(shù)學(xué)的思想、方法才能深深地積淀在自己的腦海中。因此，教學(xué)時(shí)，教師要善于為學(xué)生提供豐富的感性材料，給予學(xué)生足夠的時(shí)間用于操作、實(shí)踐，讓學(xué)生在自主探索與合作交流中學(xué)習(xí)知識(shí)，了解知識(shí)的形成過(guò)程，從而為數(shù)學(xué)模型的建立提供可能。如“三角形面積”計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程就是一個(gè)不斷感知與積累經(jīng)驗(yàn)、建立梯形面積模型的過(guò)程。我是這樣設(shè)計(jì)的：

1.創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

師：上周我們班學(xué)生表現(xiàn)非常優(yōu)秀，得到了學(xué)校表彰的流動(dòng)紅旗，同學(xué)們想想，這面流動(dòng)紅旗面積有多大呢？

生1：要知道它是什么樣的三角形。

生2：要知道它的底和高各是多少。

師：要知道流動(dòng)紅旗的大小，也就是要知道三角形的面積，我們現(xiàn)在還沒(méi)掌握這方面的知識(shí)。這樣，咱們先來(lái)解決三角形的面積計(jì)算這個(gè)問(wèn)題，再去算流動(dòng)紅旗的面積。

2.遷移誘導(dǎo)，激發(fā)參與興趣

請(qǐng)同學(xué)們猜猜看，三角形的面積與什么有關(guān)系？聯(lián)系平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程，想想用什么方法可以推導(dǎo)出三角形的面積？

3. 小組合作，自主探究

（1）以小組為單位，各小組自行選擇一種方案進(jìn)行探究。學(xué)生可以利用手中的工具、學(xué)具、表格動(dòng)手操作。

（2）各小組推選一人向全班匯報(bào)過(guò)程與結(jié)果。

方案一：在方格紙上，用兩個(gè)完全一樣的直角三角形拼一拼，拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。從圖中可以看出，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于三角形的底，長(zhǎng)方形的寬就是三角形的高，把數(shù)據(jù)填入手中表中，比較三角形與長(zhǎng)方形面積有什么關(guān)系？

因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬 （直角三角形面積等于長(zhǎng)方形面積一半），所以三角形的面積=底×高÷2。

師追問(wèn)：為什么要除以2？

方案二：在方格紙上，用兩個(gè)完全一樣的銳角三角形拼一拼，拼成一個(gè)平行四邊形，從圖中可以看出平行四邊形的底等于三角形的底，平行四邊形的高就是三角形的高，把數(shù)據(jù)填入手中表中，比較三角形與平行四邊形面積有什么關(guān)系？

因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e=底×高（銳角三角形面積等于平行四邊形面積一半），所以三角形的面積=底×高÷2 。

師再次追問(wèn)：為什么要除以2？

方案三：在方格紙上，用兩個(gè)完全一樣的鈍角三角形拼一拼，拼成一個(gè)平行四邊形，從圖中可以看出平行四邊形的底等于三角形的底，平行四邊形的高就是三角形的高，把數(shù)據(jù)填入手中表中，比較三角形與平行四邊形面積有什么關(guān)系？

因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e=底×高（鈍角三角形面積等于平行四邊形面積一半），所以三角形的面積=底×高÷2。

三角形面積字母公式：S=ah÷2

（3）師生小結(jié)：同學(xué)們用各種方法，把手中的直角、銳角、鈍角轉(zhuǎn)化成已學(xué)過(guò)的圖形，根據(jù)三角形與其他圖形的關(guān)系推導(dǎo)出：三角形面積=底×高÷2 ?，F(xiàn)在能幫老師解決問(wèn)題了嗎？

上述教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)歷了三角形面積的推導(dǎo)過(guò)程，在猜測(cè)與驗(yàn)證中，學(xué)生動(dòng)手操作、主動(dòng)探索、分析歸納，從多種方案中都推導(dǎo)出了三角形的面積公式，充分體驗(yàn)了三角形面積計(jì)算公式這一數(shù)學(xué)模型的形成過(guò)程。

二、引導(dǎo)抽象概括，成就數(shù)學(xué)建模

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，抽象與概括是數(shù)學(xué)能力的核心要素之一，是形成概念、得出規(guī)律的關(guān)鍵性手段，因而，也是建立數(shù)學(xué)模型最為重要的思維方法。抽象是從許多數(shù)學(xué)事實(shí)或數(shù)學(xué)現(xiàn)象中，舍去個(gè)別的、非本質(zhì)的屬性，而抽出共同的本質(zhì)的屬性。而概括則是把抽象出來(lái)的事物間的共同特征歸納出來(lái)，它以抽象為基礎(chǔ)，是抽象過(guò)程的進(jìn)一步發(fā)展。例如，學(xué)習(xí)“生活中的比”整個(gè)過(guò)程如下：

（l）具體情景：相片B、D與A相像，那為什么這幾張相片比較像呢？你的想法是什么？……

（2）列式計(jì)算，討論結(jié)果的表示方式。

相片A：6÷4=1.5；相片B： 3÷2=1.5（長(zhǎng)除以寬的商相同）；相片D：12÷8=1.5。

得出：6÷4=3÷2=12÷8

通過(guò)以上列式，以數(shù)學(xué)語(yǔ)言的方式總結(jié)表達(dá)出來(lái)，得到結(jié)論：被除數(shù)÷除數(shù)=被除數(shù)∶除數(shù)。從而得到比的概念：兩個(gè)數(shù)相除，又叫做兩個(gè)數(shù)的比。

（3）用字母公式表示除法與比之間的聯(lián)系：a÷b=a∶b（b≠0）。同理通過(guò)分?jǐn)?shù)與除法關(guān)系，可以揭示除法、分?jǐn)?shù)與比之間的聯(lián)系：a÷b=a∶b（b≠0）。

從中發(fā)現(xiàn)，這個(gè)片段學(xué)習(xí)過(guò)程，正是從一些具體數(shù)學(xué)例子，去掉非本質(zhì)的屬性得出規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，是“提出問(wèn)題—解決問(wèn)題—建立模型”的過(guò)程。在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生以抽象概括的思維方法，來(lái)學(xué)習(xí)小學(xué)數(shù)學(xué)中的許多數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，可以得出這樣的規(guī)律：許多不同類型數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以概括相同數(shù)學(xué)模型。例如，小學(xué)數(shù)學(xué)中平均數(shù)應(yīng)用題、歸一應(yīng)用題、行程應(yīng)用題等，所具有的相同的數(shù)學(xué)模型是：總數(shù)÷份數(shù)=平均數(shù)（速度從某種意義上來(lái)說(shuō)，也是一種平均數(shù)）。可見(jiàn)，數(shù)學(xué)模型是一種數(shù)學(xué)抽象，它拋開(kāi)了一切非本質(zhì)的屬性，闡明了系列問(wèn)題中最主要的關(guān)系和特征，并用數(shù)學(xué)符號(hào)加以表述。學(xué)生通過(guò)不斷的學(xué)習(xí)與建立數(shù)學(xué)模型，就能夠有效地提高解決問(wèn)題的能力。

三、成功解決問(wèn)題，深入模型應(yīng)用

數(shù)學(xué)建模的目的是更好、更快地解決問(wèn)題，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程其實(shí)就是一系列數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，在提出問(wèn)題、解決問(wèn)題、再提出問(wèn)題、再解決問(wèn)題的過(guò)程中，積累了大量的數(shù)學(xué)模型。建立一個(gè)好的數(shù)學(xué)模型對(duì)解決該類問(wèn)題的幫助是非常之大的，如“雞兔同籠”問(wèn)題學(xué)習(xí)，就是通過(guò)“雞兔同籠”這樣的一個(gè)有趣情景，使學(xué)生在腦中牢固建立起“雞兔同籠”的模型，再在解決問(wèn)題中用上這種模型。

如問(wèn)題：“連芳的儲(chǔ)蓄罐中有1元的硬幣和5角硬幣共100枚，總面值是60元。問(wèn)1元的硬幣和5角的硬幣各有多少枚？”解答此類問(wèn)題時(shí)，教師就可以先引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想，試著把1元的硬幣看成“雞”，5角的硬幣看成“兔”，再運(yùn)用已學(xué)過(guò)的“雞兔同籠”模型來(lái)解決：1元的硬幣數(shù)量：（60-0.5×100）÷（1-0.5）=10÷0.5=20枚；5角的硬幣數(shù)量：100-20=80枚。通過(guò)這樣的轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題得以具體化、模型化，從而輕而易舉地使問(wèn)題得到解決。同時(shí)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生深刻體會(huì)到了模型思想的魅力，從而更加激起學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

四、結(jié)語(yǔ)

總之，數(shù)學(xué)模型無(wú)處不在，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程就是對(duì)一系列數(shù)學(xué)模型理解、把握并加以運(yùn)用的過(guò)程。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重視模型思想的滲透，幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，建立相關(guān)數(shù)學(xué)模型，促使學(xué)生更好地理解知識(shí)，形成應(yīng)用數(shù)學(xué)模型探索問(wèn)題和解決問(wèn)題的習(xí)慣，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程真正成為提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的過(guò)程。

參考文獻(xiàn)：

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