莫廣

【摘要】本文論述了教師充分利用線段圖，幫助學生分析總量用“1”來表示的分數(shù)除法例題，讓學生經(jīng)歷自主探索、解決問題的過程，掌握用假設、驗證等方法解決問題的基本策略，并體會模型思想。

【關(guān)鍵詞】線段圖 觀察 猜測 驗證 模型思想

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）07A-0059-03

人教版數(shù)學六年級上冊第42頁例7是2011年版教材新加入的內(nèi)容。它是一類特殊的實際問題，讓學生通過假設、嘗試和分析，找到本質(zhì)的數(shù)量關(guān)系，進而解決問題。本例雖然采用的素材是“工程問題”，但并不要求學生解決各類“工程問題”，而是要借此讓學生經(jīng)歷自主探索、解決問題的過程，掌握用假設、驗證等方法解決問題的基本策略，并讓學生在此過程中體會模型思想。

“工程問題”在舊版教材中也曾出現(xiàn)過，當時的教學大多數(shù)教師只是讓學生生搬硬套公式來計算，即使這樣，仍然有相當一部分學生連公式也不會套用。因此“工程問題”成為了當時教學的一大難點，令眾多師生頭疼。新課改以來，筆者認真研讀了課程標準和教師用書，力圖領會編者意圖后才教學這一內(nèi)容，但由于種種原因，仍然感覺自己的課堂比較“夾生”，雖然學生都會計算，但多數(shù)學生卻只是死套公式，對于為什么工作總量可以用“1”來表示卻不是很清楚。筆者充分利用學校舉行的“骨干教師示范課”為契機，決定好好深挖這個例題，要讓學生不僅知道怎么計算，更要知道為什么這樣計算。

經(jīng)過反復研讀教材與教師教學用書，筆者確定了教學本例題的重點是讓學生通過解決此類問題，經(jīng)歷把現(xiàn)實問題模型化的過程，透過各種現(xiàn)實的表象，找出隱藏其后的數(shù)量關(guān)系。而在學生通過假設不同的總路長，發(fā)現(xiàn)總路長不同，算出的總天數(shù)都是相同的后，要讓學生理解“為什么總路長改變，得到的總天數(shù)卻是不變的？這個問題中什么東西是不變的？”（見六年級上冊教師教學用書P81）。

如何突破本例題的重難點？筆者思考良久，決定以線段圖來突破：在復習導入這一環(huán)節(jié)，引導學生復習回顧簡單的含有工作效率、工作時間和工作總量的實際問題，并將這樣的題目用線段圖來表示，在引導學生看圖的過程中讓學生體會“只要工作效率不變，完成的總天數(shù)也不會變”這一句話的含義，進而將抽象的知識直觀化，為例題的學習做好鋪墊。在學習新知這一環(huán)節(jié)，學生通過用自己假設的數(shù)據(jù)計算出總天數(shù)后，在觀看微課視頻中，筆者再次運用線段圖，直觀地讓學生理解“兩隊每天修的長度占總長度的幾分之一是不變的”這一抽象的結(jié)論。

有了這樣的設計思路，筆者開始了自己的磨課歷程。

一、初次試課，線段圖作用凸顯

（一）在復習引入這一環(huán)節(jié)，筆者這樣處理

1.說說工作總量、工作效率、工作時間之間的關(guān)系，教師根據(jù)學生的回答相機板書三個關(guān)系式在黑板上。

2.口答

（1）一條道路長30米，如果每天修6米，（ ）可以修完。

（2）一條道路長40米，如果每天修8米，（ ）可以修完。

（3）一條道路長50米，如果每天修10米，（ ）可以修完。

3.出示線段圖，看懂線段圖

（1）如果我們用一條線段表示道路的總長度是30米，那么第（1）題我們可以這樣表示。

（2）第（2）題，我們還是用一條線段表示道路的總長度是40米，大家想一想，這條線段我們應該畫得比第一條線段長一些還是短一些呢？

（3）第（3）題表示道路總長度的線段呢？

4.思考：道路的總長度在增加，為什么完成的天數(shù)卻沒有變呢？

看完線段圖并在教師拋出問題后，很多學生就舉手示意知道答案，當時筆者心里沒底，擔心這么難的問題學生回答不出，于是要求大家分小組討論。筆者深入到學生中間，卻驚喜地發(fā)現(xiàn)幾乎每個組里都有學生能找到答案：有的學生是從商不變的性質(zhì)這個角度分析；有的學生則抓住線段圖的精髓，找到了變化中的不變量。最后筆者引導各組學生反饋并統(tǒng)一意見：每天修的米數(shù)在變，但是每天修的長度占全長的沒有變化。

從口答題中引入線段圖，通過三條線段圖的對比，學生直觀地看到道路的總長度一直在增加，而每天完成的千米數(shù)也在增加，不變的是每天修的長度占全長的幾分之幾。一系列問題的設計環(huán)環(huán)相扣，化抽象的知識在簡單直觀的線段圖中，旨在讓學生初步體會變化中存在的不變量。這樣的設計為學生學習例題打下了良好的基礎。

（二）新授環(huán)節(jié)的處理

以“一條道路如果兩隊合修，會出現(xiàn)什么情況呢”為導語，筆者和學生一起進入了例題7的學習。按照改版后教材教學解決問題的要求，筆者將新課部分分解為閱讀與理解、分析與解答、回顧與反思三個部分進行教學，每個環(huán)節(jié)均有側(cè)重點。

1.閱讀與理解

在這一環(huán)節(jié)中，筆者直接出示例題，讓學生默讀題目，找出已知條件與所求問題。重點讓學生理解例題中的關(guān)鍵詞“兩隊合修”的含義。對于六年級的學生來說，“兩隊合修”的解釋過于簡單，學生很快給出了答案：兩隊合作完成。筆者追問：猜一猜，兩隊合修，所用的天數(shù)與他們單獨修所用的天數(shù)相比，應該是多還是少？會是一個什么樣的范圍？

在短短5分鐘的時間里，筆者將例題信息完整地呈現(xiàn)在學生面前，引導學生充分閱讀，找出條件和問題，分析關(guān)鍵信息，鼓勵學生合理估計合修所用的天數(shù)，加強估算意識的培養(yǎng)。課堂中學生的表現(xiàn)很棒，估算出兩隊合修的天數(shù)應該比12天要少，這樣的教學設計為后面的“回顧與反思”環(huán)節(jié)埋下伏筆。

2.分析與解答

（1）以問題為指引，為學生提供充分的探究時間和空間

筆者緊扣工作總量、工作效率與工作時間三者之間的數(shù)量關(guān)系，設計了一系列的問題：

①求兩隊合修幾天可以完成，就是求兩隊的工作時間。

②求工作時間，必須要知道哪些信息？endprint

③如果知道了這兩個信息，這個問題可以怎樣解決？

④我們需要的這兩個信息題目中都沒有給，怎么辦？

⑤我們能不能先假設出這條道路的長度，再計算呢？你想怎樣假設？

⑥根據(jù)自己假設的這條道路的長度，請列式計算。（在練習本上完成）

通過系列問題的指引，引導學生發(fā)現(xiàn)問題、大膽質(zhì)疑、敢于假設、嘗試解決。通過假設，可以把抽象問題具體化，使復雜的數(shù)量關(guān)系明顯化和簡單化。不同的學生假設的長度不同，又體現(xiàn)了解決問題方法的開放性和多樣化。讓學生經(jīng)歷這樣的過程遠比給予現(xiàn)成的結(jié)論更有價值。

（2）獨立思考，討論交流，尋找不變量

筆者將不同學生的答案通過實物投影展示出來，引導學生觀察對比：“看了上面幾位同學的做法，你有什么發(fā)現(xiàn)？”學生通過假設不同的總路長，發(fā)現(xiàn)總路長不同，算出的總天數(shù)都是相同的。此時筆者引導學生思考：總天數(shù)和總路長有關(guān)系嗎？為什么總路長改變，得到的總天數(shù)卻是不變的？這個問題中什么是不變的？有了前面復習引入環(huán)節(jié)的鋪墊，經(jīng)過小組討論，學生很快發(fā)現(xiàn)了不管兩隊每天修的長度是多少米，他們每天修的長度總是這條道路的和，工作效率不變，完成的天數(shù)也不會變。

在“復習引入”環(huán)節(jié)中學生有了第一次觀察對比的經(jīng)歷，初步體會到變化中存在著不變；在獨立假設總路長計算出例題的結(jié)果后筆者再次引導學生進行了第二次的觀察對比，所提出的問題與“復習引入”環(huán)節(jié)中的問題相似，學生很快將前后兩個環(huán)節(jié)聯(lián)系在一起。兩次觀察對比，一次比一次更深入，溝通了知識之間的聯(lián)系，再次加深了學生對于“變中有不變”的數(shù)學思想的認識。

（3）觀看微課，抽象出工作總量可以用1來表示

小組討論，學生總結(jié)出工作效率不變，完成的天數(shù)也不會變這一規(guī)律后，筆者利用微課視頻向?qū)W生展示了用線段圖表示道路的路程總長度分別為18千米和36千米時，每天修的路程總是這條道路的和，借此抽象出道路的總長度可以用單位1來表示。

學生經(jīng)歷了兩次觀察對比和思考，懂得了無論假設道路總長度是多少，計算出的工作時間都相同這一結(jié)論的原因，但是將具體的數(shù)量抽象成單位1，相當一部分學生還是感覺比較困難。這時，老師運用了微課視頻來輔助教學，一是讓學生感覺很新鮮，注意力再次集中；二是視頻將線段圖與有聲講解完美結(jié)合，充分激活了學生的視覺和聽覺，再次將抽象的知識形象化。

（4）第三次對比，辨析分率與實際量

經(jīng)過觀看微課視頻，學生掌握了把工作總量看作單位1的計算方法。筆者從視頻中截取出這樣的一副線段圖（圖4），然后根據(jù)圖示設計了這樣的問題：

①1.5千米和都表示一隊1天修的長度，有什么不一樣嗎？

②在解決問題時，什么情況下工作效率用實際量表示，什么情況下用分率表示呢？

這樣的教學設計，搭配上線段圖，并結(jié)合已經(jīng)推導出的兩種不同的解題方法，旨在幫助學生歸納總結(jié)出當工作總量已知，是一個具體量時，工作效率可以用實際量來表示；如果工作總量未知，工作效率就可以用分率表示這樣的規(guī)律。進而培養(yǎng)了學生具體情況具體對待，不再生搬硬套的靈活解題思路。

3.回顧與反思

在此，筆者先引導學生回憶了開課之初的猜測，兩隊合修，所用的天數(shù)應該比一隊單獨修的12天少，那么計算的結(jié)果是否印證了猜測呢？進而向?qū)W生潛移默化地滲透了將答案代回題目中看看是否合理的反思方法。緊接著讓學生暢所欲言，充分交流不同的檢驗方法，學生既可以用抽象“1”的方法來檢驗，也可以用假設的具體數(shù)量來檢驗，目的是讓學生掌握檢驗的方法，養(yǎng)成回顧與反思的良好習慣。

第一次試課，剛剛完成新授環(huán)節(jié)就下課了，預設的鞏固練習的環(huán)節(jié)沒有講解。課后，經(jīng)過教研組成員的討論、評課及自己的反思，筆者認識到本次試課有以下兩點不足：

（一）復習引入環(huán)節(jié)投入時間過長，教師帶得過多，還是不夠相信學生

通過三條線段圖的對比，讓學生初步體會“變中不變”的設計思路是正確的，線段圖已經(jīng)實現(xiàn)了抽象的知識直觀化，在這一環(huán)節(jié)，學生不需要討論就可以初步體會道路的總長度一直在增加，而每天完成的千米數(shù)也在增加，不變的是每天修的路程占全長的幾分之幾。因此，大家認為小組討論的環(huán)節(jié)可以舍去。

（二）將工作總量抽象成單位“1”的過程是學生被動接受的過程，學生被教師牽著鼻子走

將微課模式引入課堂能給學生帶來視覺和聽覺上的沖擊，但是“工作總量可以用單位1來表示”這一難點是由老師傳授給學生的。其實，經(jīng)過前面兩次觀察對比及學生親自假設計算，學生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)兩隊每天修的長度占總長度的幾分之一是不變的，將工作總量假設為“1”這樣的解題方法已經(jīng)是呼之欲出了。微課視頻在本節(jié)課的功能不是告訴學生工作總量可以假設為“1”，而應是在學生嘗試用“1”來計算的基礎上幫助學生驗證自己的算法是否正確，并弄清算法中出現(xiàn)的各個數(shù)字所表示的含義。

二、再次試課，重難點基本突破

有了第一次試課的經(jīng)驗和及時的反思總結(jié)，以及課題組老師的幫助，筆者調(diào)整了教學過程并進行了第二次試課。

（一）復習引入環(huán)節(jié)

1.將復習引入環(huán)節(jié)中復習工作總量、工作效率和工作時間的關(guān)系與口答題進行整合

口答下面各題，并說說運用了哪些關(guān)系式？

（1）一條道路長30米，如果每天修6米，（ ）天可以修完。

（2）一條道路長40米，如果每天修（ ）米，5天可以修完。

（3）一條道路長（ ）米，如果每天修10米，5天可以修完。

2.用線段圖表示出上面三道題之后，教師提問：“道路的總長度在增加，為什么完成的天數(shù)卻沒有變？”舍去討論環(huán)節(jié)，此處僅是讓學生初步體會“工作效率不變，完成的總天數(shù)也不會變”的規(guī)律。

改動后復習引入環(huán)節(jié)占用的時間少了，提高了復習的效率，題目精煉了，老師講得少，留給學生觀察思考的時間多了，從一開課就將學生的注意力牢牢地吸引在課堂中。endprint

（二）新授環(huán)節(jié)

1.通過教師的追問讓學生親歷由具體數(shù)量逐步抽象的過程

新授環(huán)節(jié)前面不變，在教師引導學生對比討論，發(fā)現(xiàn)“兩隊每天修的長度占總長度的幾分之一是不變的”后，教師追問：既然不同的假設都能得出相同的完成時間，在那么多的假設數(shù)字中，同學們最喜歡哪個？有沒有什么數(shù)字是最具代表性的？學生很自然地想到可以把道路長度假設成“1”，那么根據(jù)剛才的解題步驟，如何表示各個量呢？讓學生試著用這樣的方法解決例題。這樣的教學設計更靈動，體現(xiàn)了學生的自主學習，讓學生親自經(jīng)歷這一從具體數(shù)量逐步抽象的過程，而不再是在最關(guān)鍵的時刻由教師進行包辦代替，這對提高學生解決問題的能力至關(guān)重要。

2.利用微課驗證新算法，明確算式中各個數(shù)字的含義

學生經(jīng)過思考寫出工作總量用單位“1”來表示的解題方法后，教師提問：“你算對了嗎？請認真觀看微課視頻?！弊寣W生帶著問題觀看視頻，使學生的觀看更具目的性，注意力更為集中，既解決了學生計算是否正確的問題，又解決了為什么這樣算的問題。

（三）鞏固練習環(huán)節(jié)

經(jīng)過前面兩處的調(diào)整，第二次試課終于有了鞏固練習的時間。筆者選擇了三道題：

1.一批貨物，甲車單獨運，6次才能運完。乙車單獨運，3次就能運完。如果兩輛車一起運，多少次能運完這批貨物？

2.挖一條水渠，王伯伯每天挖整條水渠的，李叔叔每天挖整條水渠的。兩人合作，幾天能挖完？

3.一共有300棵樹，如果甲隊單獨種，需要8天；如果乙隊單獨種，需要10天。現(xiàn)在兩隊合種，5天能種完嗎？

這三道練習題，雖然題目的情境各不相同，但與例題中的工程問題有許多可類比的相同點，旨在讓學生體會到在不同的情境下相同的解題方法，從而更好地幫助學生抓住本質(zhì)的數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學模型。

經(jīng)過兩次試課，教學的各個環(huán)節(jié)已經(jīng)基本完善?？v觀整節(jié)課，以尋找“變中不變”為主線，以線段圖為突破口，以問題為指引，學生在參與觀察、猜想、驗證等數(shù)學活動中，發(fā)展合情推理能力；學生經(jīng)歷和與同伴合作交流解決問題的過程，并根據(jù)線段圖嘗試解釋自己的思考過程，初步判斷結(jié)果的合理性。通過例題的學習，學生會用假設法解決問題，會找到“變中之不變”，會找到這一問題背后的數(shù)學模型，并把這一模型應用于其他的情境之中。

（責編 林 劍）endprint