林虹

摘 要：概念是思維的細(xì)胞。概念教學(xué)時要體現(xiàn)概念產(chǎn)生的背景，突出概念的發(fā)生與發(fā)展，注重概念教學(xué)的核心——概況，揭示數(shù)學(xué)概念中所蘊(yùn)涵的思想方法，促進(jìn)學(xué)生對概念的實(shí)質(zhì)性理解。通過對實(shí)際問題“數(shù)學(xué)化”的過程，積累的學(xué)生活動經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的思維能力，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；概念教學(xué)；思想方法；類比概括

概念是思維的細(xì)胞。“數(shù)學(xué)根本上是玩概念，不是玩技巧。技巧不足道也”！因此，我們必須十分重視基本概念的教學(xué)，在核心概念的教學(xué)上更要做到“不惜時，不惜力”[1]。然而，當(dāng)前“一個定義，三項(xiàng)注意”、“掐頭去尾燒中段”、“概念教學(xué)=解題教學(xué)”、“照本宣科+模仿訓(xùn)練”等數(shù)學(xué)概念教學(xué)方式屢見不鮮。這些重“結(jié)果”輕“過程”的教學(xué)方式，沒有概念產(chǎn)生的背景，沒有概念的概括過程，忽視概念所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法，失去了學(xué)生發(fā)展能力與個性的機(jī)會，這是教育功利化在數(shù)學(xué)課堂上的集中表現(xiàn)。筆者曾聽過張林老師執(zhí)教的《二元一次方程》，該課充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實(shí)質(zhì)。

一、抓住課堂導(dǎo)入展示概念背景

課堂教學(xué)導(dǎo)入，是在新的教學(xué)內(nèi)容開展之前，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)的教學(xué)行為。高爾基說過“文章的開頭為定調(diào)，一定要好。雅沙菲茲的小提琴第一個音符就準(zhǔn)確，悅耳動聽?！苯虒W(xué)亦然，好的導(dǎo)入，好比一把鑰匙，開啟著學(xué)生的心扉，達(dá)到“課未始，興已濃”的良好狀態(tài)。張老師是這樣設(shè)計的：

問題1：某市在暑假期間組織了中學(xué)生籃球聯(lián)賽，比賽規(guī)則是：贏一場得3分，輸一場得1分；

（1）一支球隊(duì)在聯(lián)賽中共積20分，其中輸了5場，若設(shè)該隊(duì)贏了x場；請列出方程 .

（2）若沒有輸5場，能列出方程嗎？

（3）一支球隊(duì)在聯(lián)賽中共積20分，若設(shè)該隊(duì)贏了x場，輸了y場；請列出方程 .

問題2：初一（7）班有18名學(xué)生相約到公園劃船，需要租用船只，公園有A、B兩種型號的船，A型船可以坐2人，B型船可以坐3人，每艘船都坐滿，若設(shè)A型船租了x艘，B型船租了y艘；請列出方程 .

問題3：上述三個方程中有你們熟悉的方程嗎？是什么方程？

該導(dǎo)入以學(xué)生熟悉的情境為載體，從列一元一次方程著手，提出問題，讓學(xué)生體會到生活中有不能用一元一次方程解決的實(shí)際問題，它可以用含兩個未知數(shù)的方程表示，引出新知.這個教學(xué)片段體現(xiàn)了“二元一次方程”產(chǎn)生的背景，它讓學(xué)生經(jīng)歷了“數(shù)學(xué)化”過程，感知“二元一次方程”是在學(xué)習(xí)了“一元一次方程”的基礎(chǔ)上，為滿足解決某些實(shí)際問題和進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的需要提出的，體會方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個有效的數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生產(chǎn)生必需學(xué)習(xí)這一新知的心理。兩個新方程與學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不符，給學(xué)生心理上造成一種強(qiáng)烈的沖擊，使他們對所講內(nèi)容產(chǎn)生一種急于追下去的心理。這個情境就像一粒小石子，雖然小，卻可以擊中學(xué)生的“心潮”，激起朵朵漣漪，形成了“波才動萬波隨”的局面。

二、提供認(rèn)知框架凸顯教學(xué)思想

本節(jié)課是單元起始課，老師們一般都是單刀直入，直接進(jìn)入二元一次方程概念的探索，忽略了起始課所承載的教育價值和作用，有“見木不見林”的弊端，容易造成被動學(xué)習(xí)的局面，學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究的機(jī)會大大減少。張老師通過高立意低起點(diǎn)的教學(xué)設(shè)計有效地彌補(bǔ)這一缺陷。

問題1：我們研究了“一元一次方程”的哪些內(nèi)容？

問題2：類比一元一次方程的研究，能勾畫一下“二元一次方程”研究的問題、過程和方法嗎？

美國教育心理學(xué)家奧蘇泊爾提出：先于學(xué)習(xí)任務(wù)本身呈現(xiàn)的一種引導(dǎo)性材料，它要比原學(xué)習(xí)任務(wù)本身具有更高的抽象、概括和包容水平，并且能清晰地與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的觀念和新的學(xué)習(xí)任務(wù)關(guān)聯(lián)，為新知識的學(xué)習(xí)提供認(rèn)知框架。由于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的抽象性和形式化，數(shù)學(xué)的引導(dǎo)性材料除了要求保持應(yīng)有的綜合性外，還應(yīng)盡可能地使用具體、形象的語言，用最基本的常識性的概念來勾勒整體輪廓，使學(xué)生獲得一個總體印象。該設(shè)計從這一理論出發(fā)，以一元一次方程為起點(diǎn)，通過類比提供了二元一次方程的認(rèn)知框架，讓學(xué)生對本章的研究內(nèi)容有一個整體認(rèn)識，在后續(xù)研究中能夠“見木見林”。它使學(xué)生明確數(shù)學(xué)中研究一個問題的“基本套路”，是對思想方法的追索。在一個章節(jié)、一個單元的起始階段，引導(dǎo)學(xué)生先從整體上概括地思考一下研究的內(nèi)容和方法，不僅對學(xué)生領(lǐng)領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法有作用，而且對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力也有積極意義。

三、類比新舊知識提升概括能力

初中數(shù)學(xué)中有些概念具有類似性，它們在結(jié)構(gòu)和特征上有著共同點(diǎn)和相似處。因此可用與舊概念類比的方法引入新概念，突出知識間的聯(lián)系，有利于學(xué)生掌握的系統(tǒng)性及內(nèi)在聯(lián)系。張老師是這樣處理二元一次方程概念教學(xué)的：

問題1：方程3x+y=20、2x+3y=18有怎樣的共同點(diǎn)？

問題2：方程3x+xy=20有以上的共同點(diǎn)嗎？它與前兩個方程有無區(qū)別？若有，區(qū)別是什么？

問題3：類比一元一次方程的定義，大家試著給二元一次方程下定義。

問題4：一元一次方程與一元二次方程有何聯(lián)系與區(qū)別？

這一設(shè)計由問題1概括出有兩個未知數(shù)、未知數(shù)的次數(shù)是1、都是整式方程的共同屬性，問題2激發(fā)學(xué)生對“項(xiàng)的次數(shù)”的思考，完善學(xué)生對兩個新方程共性的概括。接著與一元一次方程的概念類比，得出二元一次方程的概念。它滲透了類比、特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，有利于學(xué)生掌握知識的系統(tǒng)性及內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)了學(xué)生對二元一次方程概念的實(shí)質(zhì)性理解，使學(xué)生的概括能力進(jìn)一步得以提升。它符合教育與發(fā)展心理學(xué)提出的觀點(diǎn)：數(shù)學(xué)概念教學(xué)的核心就是“概括”，就是將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維活動打開，以若干典型具體事例為載體，引導(dǎo)學(xué)生分析各事例的屬性、抽象概括其共同本質(zhì)屬性、歸納得出數(shù)學(xué)概念等思維活動而獲得概念。

四、找準(zhǔn)思維起點(diǎn) 提升思維品質(zhì)

美國教育心理學(xué)家奧蘇伯爾曾指出“影響學(xué)習(xí)唯一最重要的因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，要探明這一點(diǎn)，并應(yīng)就此進(jìn)行教學(xué)”。學(xué)生的學(xué)習(xí)過程是在教師的引導(dǎo)下的自我建構(gòu)、自我生成的過程，其基礎(chǔ)是學(xué)生原有的知識與經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生原有的知識與經(jīng)驗(yàn)是教學(xué)活動的起點(diǎn)。張老師充分認(rèn)識學(xué)生原有的知識水平，借助于學(xué)生已有的知識儲備，展開二元一次方程解的教學(xué)。endprint

問題1：已知一元一次方程2x+1=9，它的解為 。如何判斷該答案是否正確？

問題2：下面兩對數(shù)值，能使二元一次方程2x+y=9兩邊的值相等是 。（填序號）①x=2，y=5②x=-5，y=1

問題3：這樣，適合二元一次方程的一對未知數(shù)的值叫做二元一次方程的一組解。二元一次方程2x+y=9的解除了x=2，y=5，你還能寫出其它的解嗎？（一半的學(xué)生上黑板寫，另一半上前批改）

問題4：如何判斷書寫的答案是否正確？如何書寫的？

問題5：展示書寫方法：當(dāng)x=1時，2×1+y=9，移項(xiàng)得y=9-2，y=7；當(dāng)x=2時，2×2+y=9，移項(xiàng)得y=9-4，y=5；當(dāng)x=3時，2×3+y=9，移項(xiàng)得y=9-6，y=3……

你能把該方法簡化嗎？

（先移2x項(xiàng)，得y=9-2x，再取x的值代入計算）

張老師準(zhǔn)確把握了學(xué)生已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，明確新內(nèi)容與已有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系。從已有的知識經(jīng)驗(yàn)“一元一次方程的解”中尋找切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動探索，得出二元一次方程的解的定義。為了揭示二元一次方程有無數(shù)組解的特征，他設(shè)置的問題3簡單又開放，帶有一定的挑戰(zhàn)性。學(xué)生在高漲的情緒中，通過自己的親身經(jīng)歷體會到“二元一次方程有無數(shù)組解”，這一新知的教學(xué)水到渠成、自然流暢。問題4、5，引導(dǎo)學(xué)生透過表面現(xiàn)象看本質(zhì)，最終得出“把二元一次方程中的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示”。這是一個“低起點(diǎn)，高落點(diǎn)”的探索活動，它讓每一位學(xué)生都有事可做、有話可說，既照顧到個性差異，又容易誘發(fā)遷移，能使學(xué)生在不經(jīng)意間攀登到知識方法的巔峰。它真正落實(shí)了《新課標(biāo)》中倡導(dǎo)的“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體”的教學(xué)原則。

五、解決實(shí)際問題 增強(qiáng)應(yīng)用意識

《數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：為了適應(yīng)時代發(fā)展對人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學(xué)課程還要特別注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識。應(yīng)用意識有兩個方面的含義，一方面有意識利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實(shí)世界中問題；另一方面，認(rèn)識到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題，這些問題可以抽象成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的方法予以解決。

問題初一（7）班有18名學(xué)生相約到公園劃船，需要租用船只，公園有A、B兩種型號的船，A型船可坐2人，B型船可坐3人，每艘船都坐滿。若設(shè)A型船租了x艘，B型船租了y艘；①請列出方程：2x+3y=18；②求出這個方程所有的解；③共有幾種租船方案。

通過以上問題的解決，使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)不是“枯燥”的，而是有“價值”的。它進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光看問題、用數(shù)學(xué)頭腦想問題的能力，增強(qiáng)了用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的意識，進(jìn)一步明了數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活。

總之，張老師的這一節(jié)概念課，從二元一次方程產(chǎn)生的背景出發(fā)，揭示其蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)學(xué)生對概念的實(shí)質(zhì)性理解。它遵從了學(xué)生的一般認(rèn)知規(guī)律，使學(xué)生的學(xué)習(xí)始終處于一種自然生成的狀態(tài)，新知識的發(fā)生、形成、應(yīng)用，不是教師強(qiáng)加于學(xué)生的，它是一節(jié)高效的概念課。

參考文獻(xiàn)：

[1]李邦河.數(shù)的概念發(fā)展[J].數(shù)學(xué)通報，2009，48（8）

[2]章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個論題（續(xù)）[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2010（3）：2-5

[3]中華人民共和國教育部制定.初中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）[M].endprint