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        應(yīng)用性問題中常見的數(shù)學建模

        2014-10-17 20:52:30宋娜曹占營
        企業(yè)導(dǎo)報 2014年13期
        關(guān)鍵詞:數(shù)學建模數(shù)學教學

        宋娜 曹占營

        摘 要:本文緊扣數(shù)學建模,努力讓學生學會從實際問題中獲取信息,建立數(shù)學模型,分析問題與解決問題,明確數(shù)學建模和應(yīng)用性問題教學的意義與中學應(yīng)用性問題與數(shù)學建模的教學的基本原則.

        關(guān)鍵詞:應(yīng)用性問題;數(shù)學建模;數(shù)學教學

        一、應(yīng)用性問題與數(shù)學建模的教學的基本原則

        著重發(fā)展學生能力,特別是應(yīng)用能力,包括:計算、推理、空間想象以及辨明關(guān)系、形式轉(zhuǎn)化、駕馭計算工具、查閱文獻、口頭和書面的分析與交流。

        強調(diào)計算工具的使用:不僅在計算過程中,而且在猜想、探索、爭辨、發(fā)現(xiàn)、模擬、證明、作圖、檢驗中使用。

        強調(diào)學生的積極性與主動性:教師不應(yīng)只是講演或者總是正確的指導(dǎo)者,還可以扮演不同的角色:問原因,找漏洞,督促學生弄清楚,說明白,完成進度.評判學生工作及成果的價值、意義、優(yōu)劣,鼓勵學生有創(chuàng)造新的想法和做法。

        結(jié)合學生實際水平,分層次逐步推進,結(jié)合正常教學的教材內(nèi)容,結(jié)合正常的課堂教學在部分環(huán)節(jié)切入應(yīng)用和建模內(nèi)容。

        二、應(yīng)用性問題中常見的建模

        隨著教育改革的深入,新的課程標準的出臺,強調(diào)了知識的應(yīng)用,數(shù)學源于實際問題的應(yīng)用題驟增,因而探討這類問題的解法具有重要的現(xiàn)實意義,數(shù)學建模就是將具有實際意義的應(yīng)用問題,通過數(shù)學抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型,以求得問題的解決。實際問題是復(fù)雜多變的,數(shù)學建模較多的是探索性和創(chuàng)造性,但是數(shù)學應(yīng)用性問題常見的建模方法還是有規(guī)律可以歸納總結(jié)的。

        (一)建立幾何模型。諸如臺風、航海、三角測量、邊角余料加工、工程定位、拱橋計算、皮帶傳動、坡比計算,作物栽培等傳統(tǒng)的應(yīng)用問題,涉及一定圓形的性質(zhì),常需要建立相應(yīng)的幾何模型,轉(zhuǎn)化為幾何或三角函數(shù)問題求解。

        例1 足球賽中,一球員帶球沿直線L逼近球門AB,在什么地方起腳射門最為有利。

        分析 這是幾何定位問題,畫出示意圖,如圖1:根據(jù)常識,起腳射門的最佳位置P應(yīng)該是直線L上對AB張角最大的點,此時進球的可能性最大,問題轉(zhuǎn)化為在直線l上求點P,使∠APB最大,為此過A、B兩點作圓與直線L相切,切點P即為所求,當直線L垂直線段AB時,易知P點離球門越近,起腳射門越有利,可見“臨門一腳”的功夫現(xiàn)應(yīng)包括選取起腳射門的最佳位置。

        (二)建立方程模型。例2 如下左圖:某小區(qū)規(guī)劃在長為40M,寬為26M的矩形場地ABCD上修建三條同樣寬的甬道,使其中兩條與AB平行,其余部分種草.若使每一塊草坪的面積為144M,求甬道的寬度。

        分析 如上右圖:作整體思考,設(shè)甬道的寬度為xm,則問題轉(zhuǎn)化為:求方程(40-2x)(26-x)=6×144的解,解得x=2、x=44(不合題意舍去)。

        (三)建立直角坐標系與函數(shù)模型。當變量的變化具有近似函數(shù)關(guān)系,或物體運動的軌跡具有某種規(guī)律時,可通過建立平面直角坐標系,轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象問題討論。

        例3 有一批1米長的合金鋼材,現(xiàn)要截成長為27cm和13cm兩種規(guī)格,用怎樣的方案截取使材料利用率為最高?并求出材料最高利用率。

        分析 作出直線 ■+■=12圖象,確定與直線最近的整數(shù)點(4,2),則4×13+2×27=98,即截4段13cm,2段2cm,材料利用率為98%。

        (四)建立不等式模型。對現(xiàn)實生活中廣泛存在的不等量關(guān)系:如投資決策等可挖掘?qū)嶋H問題隱含的數(shù)量關(guān)系,轉(zhuǎn)化為不等式組的求解,目標函數(shù)在閉區(qū)間的最佳問題。

        例4 某工廠有甲、乙兩種產(chǎn)品按計劃每天各生產(chǎn)不少于15噸,已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1噸需要煤9噸,電力4kw,勞力3個(按工作日計算),生產(chǎn)乙產(chǎn)品1噸需要煤4噸,電力5kw,勞力10個;甲產(chǎn)品美噸價7萬元,乙產(chǎn)品每噸價12萬元。如果每天用煤量不得超過300噸,電力不得超過200kw,勞力只有300個,問每天各生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品多少噸,才能保證即完成生產(chǎn)任務(wù),又能為國家創(chuàng)造更多得財富?

        分析 設(shè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸、乙產(chǎn)品y噸,總產(chǎn)值為S萬元,依題意約束條件為■

        目標函數(shù)為S=7x+12y。解方程組■

        故當x=20,y=24時,Smax=7×20+12×24=428(萬元).

        答:每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品20噸,乙產(chǎn)品24噸,這樣即保證完成任務(wù),又能為國家創(chuàng)造更多的財富428萬元。

        參考文獻:

        [1] 李大潛.數(shù)學建模與素質(zhì)教育[J]. 中國大學教學,2002,9(10):33.

        [2] 蘭永勝主編.數(shù)學思想方法與建模技巧[M].華東師范大學出64.

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