馬叢祥

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；解題思路；尋找

〔中圖分類(lèi)號(hào)〕 G633.6〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 C

〔文章編號(hào)〕 1004—0463（2014）11—0082—01

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一個(gè)重要任務(wù)就是要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力,即指導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的思想去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題.筆者根據(jù)多年來(lái)的教學(xué)實(shí)踐和研究體會(huì),就數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生尋找正確的解題思路，談?wù)勛约旱捏w會(huì)和看法.

一、每提出一個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生自己先想一想怎么入手

例1已知：2sinα-cosα=1，求■的值.

教師只鼓勵(lì)或引導(dǎo)學(xué)生，讓其嘗試探究。在此過(guò)程中要及時(shí)捕捉學(xué)生思維中的亮點(diǎn)，激發(fā)他們探求的欲望，挖掘創(chuàng)造的源泉。直到學(xué)生思維受阻時(shí)，給予適當(dāng)?shù)摹包c(diǎn)撥”.在學(xué)生思維的不斷“碰壁”和“激蕩”中，得到如下解法：

解法1：將sinα與cosα統(tǒng)一起來(lái)，再利用萬(wàn)能公式.令tg■=t，由已知得出方程2■-■=1、解得t，從而求得原式的值為0或2.

解法2：已知2sinα-cosα=1①，又sin2α+cos2α=1，聯(lián)立①②構(gòu)造方程組，就可解出sinα、cosα的值，從而使問(wèn)題得到解決.

解法3：從待求入手，將待求式看作“元”（未知數(shù)），設(shè)■=m，則（1-m）sinα+（1+m）cosα=m-1，與已知聯(lián)立方程組，解得sinα=■cosα=■（m≠-3)，由sin2α+cos2α=1得：（■）2+（■）2=1，解得m=0或m=2，故所求原式的值為0或2.

二、選準(zhǔn)一個(gè)突破口，讓學(xué)生自己先做一做

學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)，教師要用藝術(shù)家的眼光欣賞自己的學(xué)生，用“想得快”“想得妙”等春雨般的語(yǔ)言滋潤(rùn)學(xué)生的“憤”“悱”之心，使學(xué)生情感的需要得到滿足.這時(shí)，教師要抓住時(shí)機(jī)，選準(zhǔn)一個(gè)突破口，提出類(lèi)似上面的問(wèn)題.

例2已知sinαcosβ=■，求cosαsinβ的取值范圍.

教師將問(wèn)題拋給學(xué)生，鼓勵(lì)學(xué)生自己思考.設(shè)cosαsinβ=t ①，將①與已知sinαcosβ=■②聯(lián)立組成方程組，通過(guò)求解得出t.得出結(jié)論后，教師再鼓勵(lì)學(xué)生思考：還有沒(méi)有別的解法。經(jīng)過(guò)認(rèn)真的思考后，學(xué)生又想到下列巧妙的解法：

解法1：①×②得：cosαsinβsinαcosβ=■t，即|2t|=|sin2αcos2β|≤1，從而-■≤t≤■，即-■≤cosαsinβ≤■.

解法2：①+②得sin（α+β）=■+t

∵|sin（α+β）|≤1

∴-1≤■+t≤1=>-■≤t≤■③

同理①－②得-■≤t≤■④.聯(lián)立③④得：-■≤t≤■.

解法3：將①2代入②得：t2=cos2αsin2β=(1-sin2α)(1-cos2β)=■-(sin2α+cos2β)≤■，即 -■≤t≤■.

三、立足問(wèn)題的本質(zhì)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生解題思路

對(duì)于一個(gè)問(wèn)題，教師給學(xué)生交待的并不是問(wèn)題的結(jié)果，而是有利于問(wèn)題解決的一般方法，即數(shù)學(xué)的通性通法.因此，教師要注重對(duì)解題過(guò)程的再分析、再討論,讓學(xué)生能從中“篩選”出最本質(zhì)的一個(gè)，讓思維的“觸角”能伸到問(wèn)題所蘊(yùn)含的本質(zhì)關(guān)系中，從而類(lèi)比出這一類(lèi)問(wèn)題的解決方法.

例3已知sinαcosβ=■，求cosαsinβ的取值范圍？做了這個(gè)題后，我們可以演變出一類(lèi)相關(guān)的題型——由已知條件的“積”想到“和”，由“和”想到“同名異角”與“異名同角”進(jìn)行變式練習(xí).

變式一：已知sinx+siny=■，求cosx+cosy的取值范圍？

變式二：已知sinx+2cosy=2，求 2sinx+cosy的取值范圍？

進(jìn)行強(qiáng)化練習(xí)，擴(kuò)大知識(shí)面，培養(yǎng)學(xué)生自己去類(lèi)比、思維、實(shí)踐、品味.

編輯：謝穎麗

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〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；解題思路；尋找

〔中圖分類(lèi)號(hào)〕 G633.6〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 C

〔文章編號(hào)〕 1004—0463（2014）11—0082—01

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一個(gè)重要任務(wù)就是要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力,即指導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的思想去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題.筆者根據(jù)多年來(lái)的教學(xué)實(shí)踐和研究體會(huì),就數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生尋找正確的解題思路，談?wù)勛约旱捏w會(huì)和看法.

一、每提出一個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生自己先想一想怎么入手

例1已知：2sinα-cosα=1，求■的值.

教師只鼓勵(lì)或引導(dǎo)學(xué)生，讓其嘗試探究。在此過(guò)程中要及時(shí)捕捉學(xué)生思維中的亮點(diǎn)，激發(fā)他們探求的欲望，挖掘創(chuàng)造的源泉。直到學(xué)生思維受阻時(shí)，給予適當(dāng)?shù)摹包c(diǎn)撥”.在學(xué)生思維的不斷“碰壁”和“激蕩”中，得到如下解法：

解法1：將sinα與cosα統(tǒng)一起來(lái)，再利用萬(wàn)能公式.令tg■=t，由已知得出方程2■-■=1、解得t，從而求得原式的值為0或2.

解法2：已知2sinα-cosα=1①，又sin2α+cos2α=1，聯(lián)立①②構(gòu)造方程組，就可解出sinα、cosα的值，從而使問(wèn)題得到解決.

解法3：從待求入手，將待求式看作“元”（未知數(shù)），設(shè)■=m，則（1-m）sinα+（1+m）cosα=m-1，與已知聯(lián)立方程組，解得sinα=■cosα=■（m≠-3)，由sin2α+cos2α=1得：（■）2+（■）2=1，解得m=0或m=2，故所求原式的值為0或2.

二、選準(zhǔn)一個(gè)突破口，讓學(xué)生自己先做一做

學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)，教師要用藝術(shù)家的眼光欣賞自己的學(xué)生，用“想得快”“想得妙”等春雨般的語(yǔ)言滋潤(rùn)學(xué)生的“憤”“悱”之心，使學(xué)生情感的需要得到滿足.這時(shí)，教師要抓住時(shí)機(jī)，選準(zhǔn)一個(gè)突破口，提出類(lèi)似上面的問(wèn)題.

例2已知sinαcosβ=■，求cosαsinβ的取值范圍.

教師將問(wèn)題拋給學(xué)生，鼓勵(lì)學(xué)生自己思考.設(shè)cosαsinβ=t ①，將①與已知sinαcosβ=■②聯(lián)立組成方程組，通過(guò)求解得出t.得出結(jié)論后，教師再鼓勵(lì)學(xué)生思考：還有沒(méi)有別的解法。經(jīng)過(guò)認(rèn)真的思考后，學(xué)生又想到下列巧妙的解法：

解法1：①×②得：cosαsinβsinαcosβ=■t，即|2t|=|sin2αcos2β|≤1，從而-■≤t≤■，即-■≤cosαsinβ≤■.

解法2：①+②得sin（α+β）=■+t

∵|sin（α+β）|≤1

∴-1≤■+t≤1=>-■≤t≤■③

同理①－②得-■≤t≤■④.聯(lián)立③④得：-■≤t≤■.

解法3：將①2代入②得：t2=cos2αsin2β=(1-sin2α)(1-cos2β)=■-(sin2α+cos2β)≤■，即 -■≤t≤■.

三、立足問(wèn)題的本質(zhì)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生解題思路

對(duì)于一個(gè)問(wèn)題，教師給學(xué)生交待的并不是問(wèn)題的結(jié)果，而是有利于問(wèn)題解決的一般方法，即數(shù)學(xué)的通性通法.因此，教師要注重對(duì)解題過(guò)程的再分析、再討論,讓學(xué)生能從中“篩選”出最本質(zhì)的一個(gè)，讓思維的“觸角”能伸到問(wèn)題所蘊(yùn)含的本質(zhì)關(guān)系中，從而類(lèi)比出這一類(lèi)問(wèn)題的解決方法.

例3已知sinαcosβ=■，求cosαsinβ的取值范圍？做了這個(gè)題后，我們可以演變出一類(lèi)相關(guān)的題型——由已知條件的“積”想到“和”，由“和”想到“同名異角”與“異名同角”進(jìn)行變式練習(xí).

變式一：已知sinx+siny=■，求cosx+cosy的取值范圍？

變式二：已知sinx+2cosy=2，求 2sinx+cosy的取值范圍？

進(jìn)行強(qiáng)化練習(xí)，擴(kuò)大知識(shí)面，培養(yǎng)學(xué)生自己去類(lèi)比、思維、實(shí)踐、品味.

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〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；解題思路；尋找

〔中圖分類(lèi)號(hào)〕 G633.6〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 C

〔文章編號(hào)〕 1004—0463（2014）11—0082—01

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一個(gè)重要任務(wù)就是要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力,即指導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的思想去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題.筆者根據(jù)多年來(lái)的教學(xué)實(shí)踐和研究體會(huì),就數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生尋找正確的解題思路，談?wù)勛约旱捏w會(huì)和看法.

一、每提出一個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生自己先想一想怎么入手

例1已知：2sinα-cosα=1，求■的值.

教師只鼓勵(lì)或引導(dǎo)學(xué)生，讓其嘗試探究。在此過(guò)程中要及時(shí)捕捉學(xué)生思維中的亮點(diǎn)，激發(fā)他們探求的欲望，挖掘創(chuàng)造的源泉。直到學(xué)生思維受阻時(shí)，給予適當(dāng)?shù)摹包c(diǎn)撥”.在學(xué)生思維的不斷“碰壁”和“激蕩”中，得到如下解法：

解法1：將sinα與cosα統(tǒng)一起來(lái)，再利用萬(wàn)能公式.令tg■=t，由已知得出方程2■-■=1、解得t，從而求得原式的值為0或2.

解法2：已知2sinα-cosα=1①，又sin2α+cos2α=1，聯(lián)立①②構(gòu)造方程組，就可解出sinα、cosα的值，從而使問(wèn)題得到解決.

解法3：從待求入手，將待求式看作“元”（未知數(shù)），設(shè)■=m，則（1-m）sinα+（1+m）cosα=m-1，與已知聯(lián)立方程組，解得sinα=■cosα=■（m≠-3)，由sin2α+cos2α=1得：（■）2+（■）2=1，解得m=0或m=2，故所求原式的值為0或2.

二、選準(zhǔn)一個(gè)突破口，讓學(xué)生自己先做一做

學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)，教師要用藝術(shù)家的眼光欣賞自己的學(xué)生，用“想得快”“想得妙”等春雨般的語(yǔ)言滋潤(rùn)學(xué)生的“憤”“悱”之心，使學(xué)生情感的需要得到滿足.這時(shí)，教師要抓住時(shí)機(jī)，選準(zhǔn)一個(gè)突破口，提出類(lèi)似上面的問(wèn)題.

例2已知sinαcosβ=■，求cosαsinβ的取值范圍.

教師將問(wèn)題拋給學(xué)生，鼓勵(lì)學(xué)生自己思考.設(shè)cosαsinβ=t ①，將①與已知sinαcosβ=■②聯(lián)立組成方程組，通過(guò)求解得出t.得出結(jié)論后，教師再鼓勵(lì)學(xué)生思考：還有沒(méi)有別的解法。經(jīng)過(guò)認(rèn)真的思考后，學(xué)生又想到下列巧妙的解法：

解法1：①×②得：cosαsinβsinαcosβ=■t，即|2t|=|sin2αcos2β|≤1，從而-■≤t≤■，即-■≤cosαsinβ≤■.

解法2：①+②得sin（α+β）=■+t

∵|sin（α+β）|≤1

∴-1≤■+t≤1=>-■≤t≤■③

同理①－②得-■≤t≤■④.聯(lián)立③④得：-■≤t≤■.

解法3：將①2代入②得：t2=cos2αsin2β=(1-sin2α)(1-cos2β)=■-(sin2α+cos2β)≤■，即 -■≤t≤■.

三、立足問(wèn)題的本質(zhì)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生解題思路

對(duì)于一個(gè)問(wèn)題，教師給學(xué)生交待的并不是問(wèn)題的結(jié)果，而是有利于問(wèn)題解決的一般方法，即數(shù)學(xué)的通性通法.因此，教師要注重對(duì)解題過(guò)程的再分析、再討論,讓學(xué)生能從中“篩選”出最本質(zhì)的一個(gè)，讓思維的“觸角”能伸到問(wèn)題所蘊(yùn)含的本質(zhì)關(guān)系中，從而類(lèi)比出這一類(lèi)問(wèn)題的解決方法.

例3已知sinαcosβ=■，求cosαsinβ的取值范圍？做了這個(gè)題后，我們可以演變出一類(lèi)相關(guān)的題型——由已知條件的“積”想到“和”，由“和”想到“同名異角”與“異名同角”進(jìn)行變式練習(xí).

變式一：已知sinx+siny=■，求cosx+cosy的取值范圍？

變式二：已知sinx+2cosy=2，求 2sinx+cosy的取值范圍？

進(jìn)行強(qiáng)化練習(xí)，擴(kuò)大知識(shí)面，培養(yǎng)學(xué)生自己去類(lèi)比、思維、實(shí)踐、品味.

編輯：謝穎麗

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