劉風(fēng)

摘 要： 數(shù)學(xué)思維能力是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)能力的一個(gè)重要指標(biāo)，而數(shù)學(xué)思維方法是數(shù)學(xué)思維能力的具體表現(xiàn)形式.當(dāng)前高考以能力立意命題說明高中數(shù)學(xué)教學(xué)要更多地關(guān)注學(xué)生的思維能力.

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)思維方法 數(shù)學(xué)解題能力 高中數(shù)學(xué)教學(xué)

思維方法是人們通過思維活動(dòng)為了實(shí)現(xiàn)特定思維目的所憑借的途徑、手段或辦法，也就是思維過程中所運(yùn)用的工具和手段.思維方法屬于思維方式范疇，是思維方式的一個(gè)側(cè)面，是思維方式具體而集中的體現(xiàn).

思維方法是由諸層次、諸要素構(gòu)成的復(fù)雜系統(tǒng).按其作用范圍的不同，可以把思維方法劃分為三大層次：一般的思維方法、各門具體科學(xué)共同的思維方法和各門科學(xué)所特有的思維方法.下面我就從高中數(shù)學(xué)學(xué)科方面談?wù)剶?shù)學(xué)解題思維方法.

1.觀察法

數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，要想既快又準(zhǔn)地解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須善于觀察題設(shè)的特征，提出靈活的設(shè)想和解題方案.

例1：若a，b，c>0且a（a+b+c）+bc=4-2 ，則2a+b+c的最小值為？搖 ？搖.

【答案】2（ -1）

【分析】觀察給定的條件，感覺應(yīng)該使用均值不等式求最小值.由a（a+b+c）+bc=4-2 得（a+c）（a+b）=4-2 .

又∵a，b，c>0，∴（a+c）（a+b）≤（ ） ，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào).

∴2a+b+c≥2 =2（ -1）.

解題的關(guān)鍵是觀察發(fā)現(xiàn)已知條件和待證結(jié)論的變形的具體方向，發(fā)現(xiàn)兩者之間的關(guān)系.

感覺和知覺是認(rèn)識(shí)事物的最初級(jí)形式，而觀察則是知覺的高級(jí)狀態(tài)，是一種有目的、有計(jì)劃、比較持久的知覺.觀察是認(rèn)識(shí)事物最基本的途徑，它是了解問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的前提.

任何一道數(shù)學(xué)題，都包含一定的數(shù)學(xué)條件和關(guān)系.要想解決它，就必須依據(jù)題目的具體特征，對(duì)題目進(jìn)行深入、細(xì)致、透徹的觀察，然后認(rèn)真思考，透過表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，這樣才能確定解題思路，找到解題方法.

例2：（2012浙江.理17）設(shè)a∈R，若x>0時(shí)均有[（a-1）x-1]（x -ax-1）≥0，則a=？搖 ？搖.

【答案】a=

【分析】我們觀察知：函數(shù)y =（a-1）x-1，y =x -ax-1都過定點(diǎn)P（0，1）.考查函數(shù)y =（a-1）x-1：令y=0，得M（ ，0），還可分析得：a>1；考查函數(shù)y =x -ax-1：顯然過點(diǎn)M（ ，0），代入得：（ ） - -1=0，解之得：a=± ，舍去a=- ，得a= .

2.聯(lián)想法

例3：設(shè){a }是公比為q的等比數(shù)列，S 是它的前n項(xiàng)和，若{S }是等差數(shù)列，則q=？搖 ？搖.

【答案】q=1

【分析】聯(lián)想到非零的常數(shù)列{c}是公比為1的等比數(shù)列，且前n項(xiàng)和數(shù)列{n }是公差為c的等差數(shù)列，可知q=1.

聯(lián)想是問題轉(zhuǎn)化的橋梁.稍具難度的問題和基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系，都是不明顯的、間接的、復(fù)雜的.因此，解題方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，做出相應(yīng)的聯(lián)想，將問題打開缺口，不斷深入.

3.轉(zhuǎn)化法

例4：（2012江蘇.14）已知正數(shù)a，b，c滿足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則 的取值范圍是？搖 ？搖.

【答案】[e，7]

【分析】條件5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc可轉(zhuǎn)化為：

3· + ≥5 + ≤4 ≥e .

設(shè) =x，y= ，則題目轉(zhuǎn)化為：已知x，y滿足3x+y≥5x+y≤4y≥e x>0，y>0，求 的取值范圍.作出（x，y）所在平面區(qū)域（如圖）.求出y=e 的切線的斜率e，設(shè)過切點(diǎn)P（x ，y ）的切線為y=ex+m（m≥0），則 = =e+ ，要使它最小，須m=0.

∴ 的最小值在P（x ，y ）處，為e.此時(shí)，點(diǎn)P（x ，y ）在y=e 上A，B之間.

當(dāng)（x，y）對(duì)應(yīng)點(diǎn)C時(shí)，y=4-xy-5-3x？圯5y=20-5x4y=20-12x？圯y=7x？圯 =7，∴ 的最大值在C處，為7，∴ 的取值范圍為[e，7]，即 的取值范圍是[e，7].

數(shù)學(xué)解題本質(zhì)上是命題的連續(xù)變換.可見，解題過程只有通過問題的轉(zhuǎn)化才能完成.轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種十分重要的思維方法.那么怎樣轉(zhuǎn)化呢？概括地講，就是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化成具體問題，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題.在解題時(shí)，觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)問題之后，就要尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系.

綜上所述，善于運(yùn)用觀察法、聯(lián)想法、轉(zhuǎn)化法，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力的具體方法.要想提高數(shù)學(xué)解題能力，必須進(jìn)行相應(yīng)的思維方法的訓(xùn)練.endprint

摘 要： 數(shù)學(xué)思維能力是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)能力的一個(gè)重要指標(biāo)，而數(shù)學(xué)思維方法是數(shù)學(xué)思維能力的具體表現(xiàn)形式.當(dāng)前高考以能力立意命題說明高中數(shù)學(xué)教學(xué)要更多地關(guān)注學(xué)生的思維能力.

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)思維方法 數(shù)學(xué)解題能力 高中數(shù)學(xué)教學(xué)

思維方法是人們通過思維活動(dòng)為了實(shí)現(xiàn)特定思維目的所憑借的途徑、手段或辦法，也就是思維過程中所運(yùn)用的工具和手段.思維方法屬于思維方式范疇，是思維方式的一個(gè)側(cè)面，是思維方式具體而集中的體現(xiàn).

思維方法是由諸層次、諸要素構(gòu)成的復(fù)雜系統(tǒng).按其作用范圍的不同，可以把思維方法劃分為三大層次：一般的思維方法、各門具體科學(xué)共同的思維方法和各門科學(xué)所特有的思維方法.下面我就從高中數(shù)學(xué)學(xué)科方面談?wù)剶?shù)學(xué)解題思維方法.

1.觀察法

數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，要想既快又準(zhǔn)地解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須善于觀察題設(shè)的特征，提出靈活的設(shè)想和解題方案.

例1：若a，b，c>0且a（a+b+c）+bc=4-2 ，則2a+b+c的最小值為？搖 ？搖.

【答案】2（ -1）

【分析】觀察給定的條件，感覺應(yīng)該使用均值不等式求最小值.由a（a+b+c）+bc=4-2 得（a+c）（a+b）=4-2 .

又∵a，b，c>0，∴（a+c）（a+b）≤（ ） ，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào).

∴2a+b+c≥2 =2（ -1）.

解題的關(guān)鍵是觀察發(fā)現(xiàn)已知條件和待證結(jié)論的變形的具體方向，發(fā)現(xiàn)兩者之間的關(guān)系.

感覺和知覺是認(rèn)識(shí)事物的最初級(jí)形式，而觀察則是知覺的高級(jí)狀態(tài)，是一種有目的、有計(jì)劃、比較持久的知覺.觀察是認(rèn)識(shí)事物最基本的途徑，它是了解問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的前提.

任何一道數(shù)學(xué)題，都包含一定的數(shù)學(xué)條件和關(guān)系.要想解決它，就必須依據(jù)題目的具體特征，對(duì)題目進(jìn)行深入、細(xì)致、透徹的觀察，然后認(rèn)真思考，透過表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，這樣才能確定解題思路，找到解題方法.

例2：（2012浙江.理17）設(shè)a∈R，若x>0時(shí)均有[（a-1）x-1]（x -ax-1）≥0，則a=？搖 ？搖.

【答案】a=

【分析】我們觀察知：函數(shù)y =（a-1）x-1，y =x -ax-1都過定點(diǎn)P（0，1）.考查函數(shù)y =（a-1）x-1：令y=0，得M（ ，0），還可分析得：a>1；考查函數(shù)y =x -ax-1：顯然過點(diǎn)M（ ，0），代入得：（ ） - -1=0，解之得：a=± ，舍去a=- ，得a= .

2.聯(lián)想法

例3：設(shè){a }是公比為q的等比數(shù)列，S 是它的前n項(xiàng)和，若{S }是等差數(shù)列，則q=？搖 ？搖.

【答案】q=1

【分析】聯(lián)想到非零的常數(shù)列{c}是公比為1的等比數(shù)列，且前n項(xiàng)和數(shù)列{n }是公差為c的等差數(shù)列，可知q=1.

聯(lián)想是問題轉(zhuǎn)化的橋梁.稍具難度的問題和基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系，都是不明顯的、間接的、復(fù)雜的.因此，解題方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，做出相應(yīng)的聯(lián)想，將問題打開缺口，不斷深入.

3.轉(zhuǎn)化法

例4：（2012江蘇.14）已知正數(shù)a，b，c滿足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則 的取值范圍是？搖 ？搖.

【答案】[e，7]

【分析】條件5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc可轉(zhuǎn)化為：

3· + ≥5 + ≤4 ≥e .

設(shè) =x，y= ，則題目轉(zhuǎn)化為：已知x，y滿足3x+y≥5x+y≤4y≥e x>0，y>0，求 的取值范圍.作出（x，y）所在平面區(qū)域（如圖）.求出y=e 的切線的斜率e，設(shè)過切點(diǎn)P（x ，y ）的切線為y=ex+m（m≥0），則 = =e+ ，要使它最小，須m=0.

∴ 的最小值在P（x ，y ）處，為e.此時(shí)，點(diǎn)P（x ，y ）在y=e 上A，B之間.

當(dāng)（x，y）對(duì)應(yīng)點(diǎn)C時(shí)，y=4-xy-5-3x？圯5y=20-5x4y=20-12x？圯y=7x？圯 =7，∴ 的最大值在C處，為7，∴ 的取值范圍為[e，7]，即 的取值范圍是[e，7].

數(shù)學(xué)解題本質(zhì)上是命題的連續(xù)變換.可見，解題過程只有通過問題的轉(zhuǎn)化才能完成.轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種十分重要的思維方法.那么怎樣轉(zhuǎn)化呢？概括地講，就是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化成具體問題，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題.在解題時(shí)，觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)問題之后，就要尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系.

綜上所述，善于運(yùn)用觀察法、聯(lián)想法、轉(zhuǎn)化法，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力的具體方法.要想提高數(shù)學(xué)解題能力，必須進(jìn)行相應(yīng)的思維方法的訓(xùn)練.endprint

摘 要： 數(shù)學(xué)思維能力是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)能力的一個(gè)重要指標(biāo)，而數(shù)學(xué)思維方法是數(shù)學(xué)思維能力的具體表現(xiàn)形式.當(dāng)前高考以能力立意命題說明高中數(shù)學(xué)教學(xué)要更多地關(guān)注學(xué)生的思維能力.

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)思維方法 數(shù)學(xué)解題能力 高中數(shù)學(xué)教學(xué)

思維方法是人們通過思維活動(dòng)為了實(shí)現(xiàn)特定思維目的所憑借的途徑、手段或辦法，也就是思維過程中所運(yùn)用的工具和手段.思維方法屬于思維方式范疇，是思維方式的一個(gè)側(cè)面，是思維方式具體而集中的體現(xiàn).

思維方法是由諸層次、諸要素構(gòu)成的復(fù)雜系統(tǒng).按其作用范圍的不同，可以把思維方法劃分為三大層次：一般的思維方法、各門具體科學(xué)共同的思維方法和各門科學(xué)所特有的思維方法.下面我就從高中數(shù)學(xué)學(xué)科方面談?wù)剶?shù)學(xué)解題思維方法.

1.觀察法

數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，要想既快又準(zhǔn)地解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須善于觀察題設(shè)的特征，提出靈活的設(shè)想和解題方案.

例1：若a，b，c>0且a（a+b+c）+bc=4-2 ，則2a+b+c的最小值為？搖 ？搖.

【答案】2（ -1）

【分析】觀察給定的條件，感覺應(yīng)該使用均值不等式求最小值.由a（a+b+c）+bc=4-2 得（a+c）（a+b）=4-2 .

又∵a，b，c>0，∴（a+c）（a+b）≤（ ） ，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào).

∴2a+b+c≥2 =2（ -1）.

解題的關(guān)鍵是觀察發(fā)現(xiàn)已知條件和待證結(jié)論的變形的具體方向，發(fā)現(xiàn)兩者之間的關(guān)系.

感覺和知覺是認(rèn)識(shí)事物的最初級(jí)形式，而觀察則是知覺的高級(jí)狀態(tài)，是一種有目的、有計(jì)劃、比較持久的知覺.觀察是認(rèn)識(shí)事物最基本的途徑，它是了解問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的前提.

任何一道數(shù)學(xué)題，都包含一定的數(shù)學(xué)條件和關(guān)系.要想解決它，就必須依據(jù)題目的具體特征，對(duì)題目進(jìn)行深入、細(xì)致、透徹的觀察，然后認(rèn)真思考，透過表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，這樣才能確定解題思路，找到解題方法.

例2：（2012浙江.理17）設(shè)a∈R，若x>0時(shí)均有[（a-1）x-1]（x -ax-1）≥0，則a=？搖 ？搖.

【答案】a=

【分析】我們觀察知：函數(shù)y =（a-1）x-1，y =x -ax-1都過定點(diǎn)P（0，1）.考查函數(shù)y =（a-1）x-1：令y=0，得M（ ，0），還可分析得：a>1；考查函數(shù)y =x -ax-1：顯然過點(diǎn)M（ ，0），代入得：（ ） - -1=0，解之得：a=± ，舍去a=- ，得a= .

2.聯(lián)想法

例3：設(shè){a }是公比為q的等比數(shù)列，S 是它的前n項(xiàng)和，若{S }是等差數(shù)列，則q=？搖 ？搖.

【答案】q=1

【分析】聯(lián)想到非零的常數(shù)列{c}是公比為1的等比數(shù)列，且前n項(xiàng)和數(shù)列{n }是公差為c的等差數(shù)列，可知q=1.

聯(lián)想是問題轉(zhuǎn)化的橋梁.稍具難度的問題和基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系，都是不明顯的、間接的、復(fù)雜的.因此，解題方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，做出相應(yīng)的聯(lián)想，將問題打開缺口，不斷深入.

3.轉(zhuǎn)化法

例4：（2012江蘇.14）已知正數(shù)a，b，c滿足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則 的取值范圍是？搖 ？搖.

【答案】[e，7]

【分析】條件5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc可轉(zhuǎn)化為：

3· + ≥5 + ≤4 ≥e .

設(shè) =x，y= ，則題目轉(zhuǎn)化為：已知x，y滿足3x+y≥5x+y≤4y≥e x>0，y>0，求 的取值范圍.作出（x，y）所在平面區(qū)域（如圖）.求出y=e 的切線的斜率e，設(shè)過切點(diǎn)P（x ，y ）的切線為y=ex+m（m≥0），則 = =e+ ，要使它最小，須m=0.

∴ 的最小值在P（x ，y ）處，為e.此時(shí)，點(diǎn)P（x ，y ）在y=e 上A，B之間.

當(dāng)（x，y）對(duì)應(yīng)點(diǎn)C時(shí)，y=4-xy-5-3x？圯5y=20-5x4y=20-12x？圯y=7x？圯 =7，∴ 的最大值在C處，為7，∴ 的取值范圍為[e，7]，即 的取值范圍是[e，7].

數(shù)學(xué)解題本質(zhì)上是命題的連續(xù)變換.可見，解題過程只有通過問題的轉(zhuǎn)化才能完成.轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種十分重要的思維方法.那么怎樣轉(zhuǎn)化呢？概括地講，就是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化成具體問題，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題.在解題時(shí)，觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)問題之后，就要尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系.

綜上所述，善于運(yùn)用觀察法、聯(lián)想法、轉(zhuǎn)化法，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力的具體方法.要想提高數(shù)學(xué)解題能力，必須進(jìn)行相應(yīng)的思維方法的訓(xùn)練.endprint