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        整除理論

        2013-07-29 07:42:58劉穎高子清周淑紅
        關(guān)鍵詞:小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

        劉穎 高子清 周淑紅

        摘要:整除理論是與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)密切相關(guān)的內(nèi)容.本文針對這一教學(xué)內(nèi)容就如何在初等數(shù)論的課堂教學(xué)中突出師范特色,結(jié)合教材內(nèi)容與競賽內(nèi)容培養(yǎng)學(xué)生的聽課能力做了一些有效的探索.

        關(guān)鍵詞:初等數(shù)論; 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) ;小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題

        高等院校的小學(xué)教育專業(yè)培養(yǎng)的是未來的小學(xué)教師.而初等數(shù)論中的一些基本知識在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的用途是十分廣泛的,在初等數(shù)論的課堂教學(xué)中注重與小學(xué)數(shù)學(xué)教育結(jié)合起來,讓學(xué)生明確數(shù)論內(nèi)容在小學(xué)教材中出現(xiàn)的內(nèi)容及小學(xué)數(shù)學(xué)競賽出現(xiàn)的相關(guān)類型題目,滲透小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法,提高學(xué)生的教學(xué)能力顯得尤為重要.小學(xué)教學(xué)與初等數(shù)論關(guān)系密切(尤其體現(xiàn)在奧數(shù)中),最常見的整除理論問題包括:數(shù)的整除特征,質(zhì)數(shù)與合數(shù),奇數(shù)與偶數(shù),最大公約數(shù)與最小公倍數(shù).下面結(jié)合小學(xué)例題及競賽試題進行實際說明.

        一、 數(shù)的整除特征

        小學(xué)數(shù)學(xué)課本中介紹過數(shù)的整除特征,即若一個自然數(shù)的個位數(shù)字是0、2、4、6、8時,那么這個數(shù)一定能被2整除;若一個自然數(shù)的個位數(shù)字是0、5時,這個數(shù)一定能被5整除;若一個自然數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字和是3的倍數(shù),這個數(shù)一定能被3整除.

        因為整數(shù)A除以9的余數(shù)等于它的各個數(shù)位上數(shù)字和除以9的余數(shù),而2001,1001除以9的余數(shù)分別為3和2,3×3×2=18,所以x能被9整除,即除以9余0.

        二、質(zhì)數(shù)與合數(shù)

        首屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽初賽試題的第3題:105的約數(shù)共有幾個?這些都與質(zhì)數(shù)與合數(shù)有關(guān).

        例2一些真分數(shù)的分子與分母互質(zhì),且分子與分母的乘積是780,這樣的真分數(shù)有多少個?

        解:因為780=22×3×5×13,所以

        22在分子上時,有223×5×13,

        共5個.故這樣的分數(shù)共有3+5=8(個).

        三、奇數(shù)與偶數(shù)

        例3有九只杯口向上的杯子放在桌上,每次將其中四只杯同時“翻轉(zhuǎn)”,使其杯口向下.問能不能經(jīng)過這樣有限多次的“翻轉(zhuǎn)”后,使九只杯口全部向下?為什么?

        解析:對每只杯口向上(下)的杯子,只有“翻轉(zhuǎn)”1次、3次、……后才能使杯口向下(上).即對每只杯子,只有“翻轉(zhuǎn)”單數(shù)次后,其杯口的朝向才能改變.現(xiàn)在要求九只杯口向上的杯子杯口全部朝下,那么每只杯子必須經(jīng)過奇數(shù)次“翻轉(zhuǎn)”,根據(jù)性質(zhì)單數(shù)個奇數(shù)的和是奇數(shù)可知,這九個奇數(shù)的和一定是個奇數(shù).即只有經(jīng)過奇數(shù)次“翻轉(zhuǎn)”,才能使九只杯口向上的杯子的杯口變?yōu)槿砍?

        另外每次只能同時“翻轉(zhuǎn)”四只杯子.這就是說,不管如何“翻轉(zhuǎn)”,最后“翻轉(zhuǎn)”的總次數(shù)一定是4的倍數(shù).4是偶數(shù),所以“翻轉(zhuǎn)”的總次數(shù)是個偶數(shù).前面要求“翻轉(zhuǎn)”總次數(shù)必須是奇數(shù),這里又說它一定是個偶數(shù),前后矛盾,所以按要求無論怎樣“翻轉(zhuǎn)”,都不能使九只杯口全部向下.

        四、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)

        小學(xué)數(shù)學(xué)課本第十冊在約數(shù)與倍數(shù)這節(jié)中,有這樣的思考題:60=2×2×3×5,你能從這個式子中知道60除了約數(shù)3以外,還有哪些約數(shù)嗎?這些都與約數(shù)與倍數(shù)有關(guān).

        例4將一塊長3.57米、寬1.05米、高0.84米的長方體木料,鋸成同樣大小的正方體小木塊.問當(dāng)正方體的邊長是多少時,用料最省且小木塊的體積總和最大?(不計鋸時的損耗,鋸?fù)旰竽玖喜辉S有剩余)

        解:因為3.57米=357厘米,

        1.05米=105厘米,

        0.84米=84厘米,

        又357,105,84最大公約數(shù)是21.

        所以當(dāng)正方體的邊長是21厘米時,其體積最大.

        以上就初等數(shù)論中相關(guān)小學(xué)課本中的內(nèi)容及競賽的內(nèi)容(結(jié)合歷屆國際奧賽試題及全國數(shù)學(xué)初賽、決賽試題)探討相關(guān)數(shù)論方向的命題思路,堅持“不超前、不超綱”和“大眾化、普及型”的命題原則和組織原則.前者是強調(diào)課內(nèi)課外的結(jié)合與一致,課內(nèi)是基礎(chǔ)、課外是補充;后者是強調(diào)內(nèi)容不易過難,讓不同層次基礎(chǔ)的學(xué)生,均得到應(yīng)有的收獲和提高.

        使學(xué)生初步掌握競賽整數(shù)論的主要內(nèi)容,使學(xué)生能運用數(shù)論的思想和方法解決數(shù)學(xué)競賽中的一般問題.有利于本科生在大學(xué)畢業(yè)后能夠很快進入小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)論部分的教學(xué)角色及承擔(dān)奧賽的培訓(xùn)工作.

        參考文獻:

        [1]中華人民共和國教育部制定.小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗).北京:人民教育出版社,2012.

        [2]王進明.初等數(shù)論.北京:人民教育出版社,2005.

        [3]吳建平.奧賽教材.北京:首都師范大學(xué)出版社,2005.

        [哈爾濱學(xué)院 (150086)]

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