摘要：具象思維就是運(yùn)用具象的材料和因素為達(dá)到認(rèn)識目的而進(jìn)行的思維活動.具象思維是先于形象思維而存在的，同時也是學(xué)生抽象思維的基礎(chǔ)、源泉.人類思維的進(jìn)化是個不斷從具體到抽象、從抽象到具體，再從具體到抽象的演變過程.習(xí)題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要組成部分，通過解題可以促使學(xué)生鞏固和深化所學(xué)知識，培養(yǎng)思維品質(zhì).教師可挖掘習(xí)題中的情境和結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)具象思維直觀性和概括性；挖掘習(xí)題中的圖象和圖式，培養(yǎng)具象思維跳躍性和滲透性；挖掘習(xí)題中的聯(lián)想和意象，培養(yǎng)具象思維創(chuàng)造性和超越性.

關(guān)鍵詞：具象；具象思維；習(xí)題教學(xué)

小學(xué)一年級學(xué)生在學(xué)習(xí)10以內(nèi)的加減法時，通常會借助掰手指的方式來算數(shù)，對于一些超過10的計算，不好掰手指，可以借助“圍棋子”來解決問題.高中生雖然計算能力提升了不少，但是當(dāng)遇到一些復(fù)雜的計算問題也時常會不知所措，不知道去尋找“圍棋子”來實(shí)現(xiàn)問題的突破.比如，某次全市高一年級期中統(tǒng)考考試壓軸第22題“已知f（x）=x（|x－4a|+2），a∈R，若f（x）在［1，3］上的最小值是3，求正數(shù)a的值”，這道題得分很不理想，不少學(xué)生得零分.考試后和一些優(yōu)秀學(xué)生交談，他們感覺無從下手，不知如何去解決，總有”力不從心”之感，思維混淆、表達(dá)混亂、難以取得突破．這些現(xiàn)象都源于學(xué)生大腦成長的規(guī)律以及他們從具象思維到抽象思維的升級，面對抽象性思維問題時，能力欠缺，不知如何去突破，解題時只會“模仿”和“套公式”解題，不會利用具象思維突破問題［1］.筆者認(rèn)為他們在小時就學(xué)會的用具象思維思考與解決問題的方式全部忘記了，這與我們的教學(xué)有關(guān).一些人認(rèn)為具象思維只在低年級學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中起至關(guān)重要作用，而忽視了它也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中一種重要的思維方式.下面以人教A版“一元二次函數(shù)、方程和不等式”習(xí)題為例，探討如何培養(yǎng)學(xué)生具象思維.那么，讓我們首先來認(rèn)識一下具象和具象思維.

1 具象思維及其重要性

具象就是認(rèn)識客體的外部的、現(xiàn)象的特征和關(guān)系，也包括客體的屬性、結(jié)構(gòu)、過程.具象思維就是運(yùn)用具象的材料和因素為達(dá)到認(rèn)識目的而進(jìn)行的思維活動［2］.這個定義有兩個方面的內(nèi)涵：首先，具象的材料是具象思維操作的媒介；其次，有目的的操作活動就是主動操作.從人類思維形式的發(fā)展史來看，最先形成的是具象思維，而后是形象思維，最后是抽象思維.直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教育的熱門話題之一，筆者認(rèn)為，具象思維是直觀想象的初級形式，形象思維是直觀想象的高級形式，抽象思維是直觀想象的最終歸宿.為什么要在數(shù)學(xué)教學(xué)中特別強(qiáng)調(diào)重視數(shù)學(xué)具象思維呢？這是因為具象思維是先于形象思維而存在的，同時也是學(xué)生抽象思維的基礎(chǔ)、源泉，而且是三種思維形式中操作頻率最大的.數(shù)學(xué)具象思維具有概括性、創(chuàng)造性、整體性和滲透性等特點(diǎn)，使得其在解題教學(xué)中具有創(chuàng)造功能、選擇功能、聯(lián)系功能、導(dǎo)向功能、預(yù)見功能等.由此可見，數(shù)學(xué)具象思維作為一種認(rèn)識過程和思維方式，它與形象思維、抽象思維的側(cè)重點(diǎn)有所不同，這三種思維方式不僅不矛盾，而且相輔相成、互為補(bǔ)充.

習(xí)題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要組成部分，通過解題可以促使學(xué)生鞏固和深化所學(xué)知識，培養(yǎng)思維品質(zhì).數(shù)學(xué)解題過程是一個創(chuàng)造性的思維活動過程，如果能在已有知識和經(jīng)驗的基礎(chǔ)上通過具象思維確定問題的研究方向，不僅有利于問題的正確快速求解，而且對于培養(yǎng)、優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)有著非常重要的作用.

2 習(xí)題教學(xué)中學(xué)生具象思維能力的培養(yǎng)途徑

和方法人類思維的進(jìn)化是個不斷從具體到抽象、從抽象到具體，再從具體到抽象的演變過程.具象思維按其自身的進(jìn)化順序，可分為動作思維、表象思維、語言意象思維三個階段.高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)是一個復(fù)雜的認(rèn)識過程，習(xí)題教學(xué)中的演繹推理、概念本質(zhì)或符號規(guī)律等都是抽象思維.學(xué)生解題過程中要做到語言準(zhǔn)確、書寫條理等離不開形象思維，但只有具象思維才能與學(xué)生發(fā)生深層共情［3］.思維的發(fā)展表現(xiàn)為思維的年齡特征，說思維發(fā)展具有年齡特征，并不意味著某一年齡階段的孩子只是培養(yǎng)對應(yīng)年齡特征的思維.高中階段，學(xué)生的思維主要是以理論型為主的抽象思維，其優(yōu)勢表現(xiàn)為高中生思維發(fā)展具有以下五個特點(diǎn)：思維有假設(shè)性、預(yù)設(shè)性、形式化，思維活動中自我意識和監(jiān)控能力的明顯化，以及思維能跳出舊框框.這些特征正好驗證了心理測驗的創(chuàng)始人比納說的“思維具有可訓(xùn)練性”.教學(xué)是作用于思維發(fā)展的決定因素，合理適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)措施能挖掘出高中生思維品質(zhì)的巨大潛力，促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量的提高.

2.1 挖掘習(xí)題中的情境和結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)具象思維直

觀性和概括性 《心理學(xué)大詞典》指出：“感覺是人認(rèn)識事物的開端，是知識的源泉，一切較高級和較復(fù)雜的心理活動都是在感覺的基礎(chǔ)上進(jìn)行的.”具象的兩個重要特征是直觀性和概括性，在探究數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)過程中，教師要用合適的方式引導(dǎo)學(xué)生感知實(shí)物具象即直觀可感的實(shí)物材料，這樣既可幫助學(xué)生獲得第一手的感性具體形“象”，作為思維的具體性元素，又可幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)具象思維工具去解決問題.

例1已知b g糖水中含有a g糖（bgt;agt;0），再添加m g糖（mgt;0）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.請將這一事實(shí)表示為不等式，并證明這個不等式.

教師針對這道例題的教學(xué)片段如下：

師：請各組根據(jù)提供的素材——水杯、糖、水和天平，動手做實(shí)驗并計算、記錄前后溶液濃度.

生：我們小組前后兩次實(shí)驗得出不等式58＜5+58+5和1217＜12+1017+10.

師：你們能抽象得出怎樣的不等式？并說明理由.

生：可得ab＜m+am+b.因為bgt;a，所以ab－m+am+b=（a－b）m（m+b）b＜0，于是ab＜m+am+b.

師：請問還能想到其他的方法證明這個不等式嗎？

生：構(gòu)造函數(shù)f（x）=a+xb+x（bgt;agt;0，xgt;0），證明這個函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù).

人的思維是建立在多種要素基礎(chǔ)之上的，其中最重要的是知識、觀念和習(xí)慣三項.知識是思維形成的重要成分和思維賴以存在的基礎(chǔ)，知識既是思維的內(nèi)容，又是思維的產(chǎn)物，思維與知識是“綱”目關(guān)系.知識是思維的材料，只有用思維之綱，將知識串聯(lián)牽動起來，才能織成一張活的智力之網(wǎng).從思維的發(fā)展角度看，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（簡稱課標(biāo)）明確提出“要創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)環(huán)境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)”.通過動作思維挖掘習(xí)題中的知識情境和結(jié)構(gòu)，是人類各種思維形式演變和發(fā)展的基礎(chǔ).通過動作思維向高層次的具象思維邁進(jìn)，發(fā)展演變?yōu)樾脑吹?、想象的具象思維，也能體現(xiàn)具象思維的直觀性和概括性.

2.2 挖掘習(xí)題中的圖像和圖式，培養(yǎng)具象思維跳躍

性和滲透性黑格爾說：“本質(zhì)并非徘徊具象之外或具象之后.”從具象思維形式開始，主體對具象思維進(jìn)行自由的加工與整合，并借助于邏輯思維的滲透或結(jié)合，對習(xí)題中的圖像和圖式進(jìn)行分析、比較，跳躍性進(jìn)行各種類別和不同深度的概括，產(chǎn)生更一般的表象，形成具象思維.

例2已知p：xgt;y，q：x2gt;y2，則p是q的條件.（請用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”回答.）

解法1：若p成立，假設(shè)x=1，y=－2，則q不成立；若q成立，假設(shè)x=－2，y=1，則p不成立.因此填“既不充分也不必要”.

解法2：建立平面直角坐標(biāo)系，則P={|（x，y）|xgt;y}，Q={|（x，y）|x2gt;y2}，如圖1，可知PQ，QP，所以填“既不充分也不必要”.

數(shù)學(xué)中的圖像和圖式在頭腦中的表象是數(shù)學(xué)對象內(nèi)在本質(zhì)的外現(xiàn)，像變意味著質(zhì)變，像異意味著質(zhì)異，在數(shù)學(xué)具象思維中可通過圖像和圖式的變化來判別他們所反映的數(shù)學(xué)對象性質(zhì)的變化，使數(shù)學(xué)的表象和數(shù)學(xué)性質(zhì)的對應(yīng)形成一個動態(tài)的平衡系統(tǒng).本例由數(shù)學(xué)表象思維外化，反映出相應(yīng)的圖像、模型或結(jié)構(gòu)關(guān)系，并畫出草圖，讓具象思維深化、跳躍和滲透.

2.3 挖掘習(xí)題中的方法聯(lián)想和意象，培養(yǎng)具象思

維創(chuàng)造性和超越性古希臘哲學(xué)家亞里士多德在其著作《記憶與聯(lián)想》一書中指出：“我們的思維是從與正在尋求的事物相似的、相反的或者與它接近的事物開始進(jìn)行的，以后便追尋與它相關(guān)的事物，由此而產(chǎn)生聯(lián)想.”解題過程中，意象是具象思維的形式，聯(lián)想是具象思維的方法.針對數(shù)學(xué)問題的內(nèi)容特點(diǎn)展開聯(lián)想時，從接近性聯(lián)想、相似性聯(lián)想、對比性聯(lián)想這三種方式中一種入手，在思維運(yùn)演時根據(jù)具象思維創(chuàng)造性用到多種不同的方式去解決問題，培養(yǎng)具象思維創(chuàng)造性和超越性.

例3求x（10－x）的最大值.

分析：聯(lián)想將一根直徑為10的圓柱形樹干加工成截面為矩形的柱子，設(shè)截面矩形的一邊長為x，問怎樣取可使截面矩形面積最大？

要使截面矩形面積S最大，即要求內(nèi)接于圓的面積最大的矩形.已知圓的直徑為d，若把矩形的一邊選為自變量x，可推出一個無理函數(shù)表達(dá)的關(guān)系式

S=x（d－x）.①

這時，有幾種解法：

（1）轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最大值問題，用配方法和公式法解決.①式平方，得

S2=x（d－x）=d24－d2－x2.②

可見，當(dāng)x=12d時S取得最大值.

（2）利用“兩個正數(shù)的和為定值，則當(dāng)這兩個數(shù)相等時，其積有最大值”求解.在②中，x與（d－x）的和為定值d，所以當(dāng)x=d－x即x=d2時，S有最大值.

（3）把二次方程的判別式與函數(shù)極值聯(lián)系起來求解.由①，得x2－dx+S2=0，由于x∈（0，10），因此首先需要滿足Δ≥0，即（－d）2－4S2≥0，先求得S的最大值，進(jìn)而可得相應(yīng)的x.

（4）利用導(dǎo)數(shù)求解.對于y=x（d－x），求導(dǎo)得y′=d－2x.當(dāng)y′=0時，求出x=12d，此時S取得最大值.

（5）設(shè)矩形的兩邊、面積及圓的直徑分別為x，y，S及d，則有S2=xy，但x，y必須滿足x+y=d，

xgt;0，ygt;0，當(dāng)且僅當(dāng)曲線S2=xy與直線x+y=d相切時，S有最大值.這時切點(diǎn)滿足方程組x+y=d，

S2=xy.消去y，化簡得x2－dx+S2=0，則Δ=0，即d2－4S2=0，所以S的最大值為d2，進(jìn)而求出x，y.

綜合性問題的解法往往不唯一，可從不同語言意象思維視角切入進(jìn)行解析， 構(gòu)建相應(yīng)的解題思路，而不同解法之間存在差異，因此開展方法對比、解法優(yōu)化是十分必要的.如例3除探索了常規(guī)解法之外，對方法思路也進(jìn)行了優(yōu)化.學(xué)習(xí)不應(yīng)局限于課堂，也不應(yīng)局限于學(xué)習(xí)當(dāng)堂課的知識，應(yīng)該讓學(xué)生用課上學(xué)習(xí)到的方法來探索新知，用喜歡的方式來延續(xù)對學(xué)習(xí)的興趣，這樣可以使課堂教學(xué)有延展性，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維有跳躍性.

3 數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)具象思維能

力時應(yīng)注意的問題首先，教師和學(xué)生要重視具象思維，具象思維是教學(xué)過程，也是學(xué)習(xí)方式.從檢索到的國內(nèi)外文獻(xiàn)看，國外文獻(xiàn)未見到有關(guān)具象思維的研究，國內(nèi)也主要是文獻(xiàn)研究，科學(xué)研究較少.任何思維形式都離不開具象思維，以具體的感覺為先導(dǎo)和基礎(chǔ).從教學(xué)層面看，具象思維是教師引導(dǎo)學(xué)生借助具象的材料進(jìn)行思考和生成經(jīng)驗的過程.從學(xué)習(xí)層面看，學(xué)生用自己的具象思維進(jìn)行思考也是一種學(xué)習(xí)方式.

其次，教師要在習(xí)題教學(xué)中留給學(xué)生具象思維的時間，有計劃地培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用具象思維解決問題的能力.具象思維是先于形象思維而存在的，也是學(xué)生抽象思維的基礎(chǔ)、源泉.具象思維不僅表現(xiàn)在解題的不同階段和形式中，還表現(xiàn)在認(rèn)識的傳遞、檢驗過程中，這種傳遞都以某種具象形式來進(jìn)行的.數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)探究“具象化”之后，學(xué)生的學(xué)習(xí)就會充滿快樂，變苦學(xué)為樂學(xué)，變死學(xué)為活學(xué)，變厭學(xué)為愛學(xué).

最后，我們要遵循學(xué)生“具象—形象—抽象—具象思維—抽象思維”的發(fā)展路徑.美國心理學(xué)家梅耶認(rèn)為，意義學(xué)習(xí)重在幫助學(xué)生領(lǐng)悟自身的經(jīng)驗，充分尊重人類有限的認(rèn)知容量，積極進(jìn)行認(rèn)知加工——主動選擇信息、組織信息和整合信息.在意義學(xué)習(xí)過程中，具象思維起著關(guān)鍵作用.選取教學(xué)具象，承載教學(xué)內(nèi)容，構(gòu)建合適的教學(xué)場景，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析、抉擇、取舍、凝練，最終發(fā)現(xiàn)知識的本質(zhì)，整個學(xué)習(xí)是“從具體到抽象”的過程，學(xué)生的思維品質(zhì)與個體生命成長共同發(fā)展.

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