【摘 要】 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出了培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的課程目標(biāo)，界定了初中階段的九大核心素養(yǎng)表現(xiàn).學(xué)生的這些具體素養(yǎng)都是在“過程”中形成并發(fā)展起來的.綜合與實踐是以綜合運用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識與方法解決真實問題的活動，開展綜合實踐活動是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的有效途徑.

【關(guān)鍵詞】 課程目標(biāo)；核心素養(yǎng)；綜合實踐；通風(fēng)窗問題

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2022年版）》）在“課程目標(biāo)”中提出了以“三會”為統(tǒng)領(lǐng)的核心素養(yǎng)目標(biāo)，并且指出了初中階段的核心素養(yǎng)有九大表現(xiàn)^[1].這些具體素養(yǎng)都是在學(xué)生經(jīng)歷各種學(xué)習(xí)“過程”中得到培養(yǎng)的.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容，開展綜合實踐活動，在活動中提高學(xué)生的各種具體數(shù)學(xué)素養(yǎng).本文以一個“通風(fēng)窗問題”為例，首先給出分析與解答，然后指出以此題為“載體”能培養(yǎng)的具體核心素養(yǎng)表現(xiàn)，進一步說明教學(xué)中加強綜合與實踐活動教學(xué)的重要性.

1 問題呈現(xiàn)

案例 通風(fēng)窗的通風(fēng)面積問題^[2].

【閱讀材料】

若a，b都是實數(shù)，則a²+b²≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時“=”成立.

證明：因為（a－b）²≥0，所以a²-2ab+b²≥0.

所以a²+b²≥2ab.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時“=”成立.

利用該結(jié)論，可以求a²+b²的最小值，也可以用來計算ab的最大值.

【問題解決】

如圖1所示的自動通風(fēng)設(shè)施.該設(shè)施的下部四邊形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，且AB為2米，AB，CD之間的距離為1米，CD為3米，上部 CmD是個半圓，固定點E為CD的中點.MN是由電腦控制可以上下滑動的伸縮橫桿（橫桿面積可忽略不計），且滑動過程中始終保持和CD平行.當(dāng)MN位于CD下方（圖1①）和上方（圖1②）時，通風(fēng)窗的形狀均為矩形MNGH（陰影部分均不通風(fēng)）.

（1）設(shè)MN與AB之間的距離為x（0≤x＜52且x≠1）（米），通風(fēng)窗的通風(fēng)面積為S（平方米），請求出S關(guān)于x的函數(shù)表達式；

（2）當(dāng)MN與AB之間的距離為多少米時，通風(fēng)窗的通風(fēng)面積S取得最大值？

2 分析與解答

（1）設(shè)計意圖

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生積極開展綜合與實踐活動，在活動的過程中，發(fā)展學(xué)生的“四能”，從而提高學(xué)生的問題解決能力.為此，我們選取了這個問題作為綜合實踐活動.

“閱讀材料”給出了一個命題，這個命題是四個均值不等式中的一個，均值不等式是高中學(xué)習(xí)的內(nèi)容，為了讓初中學(xué)生理解并能接受這個不等式，材料給出了證明過程.目的在于讓學(xué)生理解這個命題，并能應(yīng)用這個命題解決有關(guān)問題.

“問題解決”部分的材料取自生產(chǎn)實際，把物理學(xué)科中的機械知識巧妙地融合到數(shù)學(xué)學(xué)科中.

函數(shù)是典型的數(shù)學(xué)模型，生活中的很多問題都可以通過建立函數(shù)模型，利用函數(shù)的性質(zhì)進行解決.在學(xué)生學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的有關(guān)知識后，可引導(dǎo)學(xué)生嘗試解決本案例.

（2）題意分析

教學(xué)中，學(xué)生通過閱讀“問題解決”部分的題意，明確下面兩個問題是解決問題的關(guān)鍵：

（1）通風(fēng)窗是一個矩形MNGH，它可以在設(shè)施的下面部分（等腰梯形ABCD），也可以在上面部分（半圓），至于在哪一部分取決于x與1的大小.

（2）當(dāng)滑動伸縮橫桿MN處于DC的位置時，通風(fēng)窗處于關(guān)閉狀態(tài).

①當(dāng)MN向下滑動時，通風(fēng)窗在下面（見圖1①），根據(jù)AB，CD之間的距離為1米，可判斷出MN向下最多可以滑動1米到達AB，此時通風(fēng)窗的面積是個定值2.

②當(dāng)MN向上滑動時，通風(fēng)窗在上面（見圖1②），根據(jù)CD長是3米，可知上面半圓的半徑為1.5米，所以MN向上最多可以滑動2.5米，此時通風(fēng)窗的面積是0.

“問題解決”部分為了避開這兩個極端情況，給定了限制條件“0≤x＜52且x≠1”，于是提出問題（1）.在解答問題（1）時，需要分0≤x＜1和1lt;x＜52兩種情況求出S與x的函數(shù)表達式.問題（2）是在問題（1）的基礎(chǔ)上進行解答，解答時需要對上面兩種情況下對應(yīng)的函數(shù)表達式分別求出最大值.

（3）解答過程

（1）分兩種情況討論：

①當(dāng)0≤x＜1時，如圖2，過A作AF⊥CD，垂足為F.由Rt△DHM∽Rt△DFA得

DHDF=MHAF，DF=12，MH=1-x，AF=1，所以DH=12（1-x），所以GH=3-2DH=x+2，

從而S=MH·GH=（1-x）（x+2）=-x²-x+2（0≤x＜1）.

②當(dāng)1＜x＜52時，如圖3，因為EF=x-1，EN=32，F(xiàn)N=94－（x－1）2，HG=2FN=294－（x-1）2.

所以S=EF·HG=2（x-1）94－（x-1）2.

因此，S與x之間的函數(shù)表達式為S=-x2-x+2，（0≤x≤1），

2（x-1）94-（x-1）2，（1＜x＜52）.

（2）S=-x²-x+2是開口向下的拋物圖4線，頂點坐標(biāo)為（-12，94），但因為是實際問題，題目限制了條件（0≤x＜1），所以S=-x²-x+2的圖象只能是圖4中實線部分，即拋物線在第一象限的部分，而且與x軸不能相交（圖4中交點是個圓圈）.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可知S隨x的增大而減小，由此可以得到S=-x²-x+2在x=0時，達到最大值2.

對于S=2（x-1）94－（x-1）2來說，根據(jù)“均值不等式”可得，當(dāng)x-1=94－（x-1）2，

即x=324+1時，S取得最大值94.

綜上所述，當(dāng)MN與AB之間的距離x=324+1米時，通風(fēng)窗的通風(fēng)面積S取得最大值94.

3 素養(yǎng)分析

（1）幾何直觀

《課標(biāo)（2022年版）》認(rèn)為“幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習(xí)慣”^[1]8.幾何直觀不僅能為學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識、進行幾何探究與推理提供便利，而且能為學(xué)生理解與洞察其他更為抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容與結(jié)構(gòu)搭建橋梁，幾何直觀是啟發(fā)問題解決思路的基本策略.

就本題而言，幾何直觀能幫助我們探索解決問題的思路，主要表現(xiàn)在兩個方面：

一是求S與x的函數(shù)表達式.在求表達式時，需要分為0≤x＜1和1＜x＜52兩種情況.由于自變量分為兩種情況，所以我們就能相應(yīng)的畫出通風(fēng)窗的兩種位置：前者通風(fēng)窗在下面，如圖2所示;后者通風(fēng)窗在上面，如圖3所示.這是正確解答問題（1）的基礎(chǔ).

二是求通風(fēng)面積的最大面積.在確定通風(fēng)面積的最大值時分兩步：首先求出通風(fēng)窗在下面和在上面對應(yīng)通風(fēng)窗面積的最大值，然后通過比較確定出通風(fēng)面積的最大值.

通風(fēng)窗在下面時，對應(yīng)函數(shù)表達式S=-x²-x+2的最大值為2，解答是借助于函數(shù)圖象得到的（圖4），在得到結(jié)果的過程中“形”起了很大的作用.

教學(xué)時，為了讓學(xué)生充分感悟幾何直觀的意義，當(dāng)通風(fēng)窗口在下面（圖3）得到S=（1-x）（x+2）后，可引導(dǎo)學(xué)生用材料給定的方法確定x取何值時，S取最大值.過程如下：

①S=（1-x）（x+2）=2·1－x2（x+2），當(dāng)1－x2=x+2，即x=-1時，S達到最大值2.

②S=（1-x）（x+2）=2（1－x）x+22，當(dāng)1－x=x+22，即x=0時，S達到最大值2.

由于是實際問題，x=-1不符合題意，這是用代數(shù)的方法得到的結(jié)果.如何從“形”的方面驗證這個情況呢？

如果不考慮實際意義的話，S=-x²-x+2的圖象是圖4中的拋物線（含虛線部分），當(dāng)函數(shù)值S=2時，對應(yīng)的自變量有兩個值，分別是x=0或x=-1.但此時x=-1不符合實際問題的題意，應(yīng)舍去.

補充上這個過程，不僅讓學(xué)生利用到“閱讀材料”中給定的命題，而且還能幫助學(xué)生進一步理解“數(shù)形”的聯(lián)系，把握“數(shù)形”的統(tǒng)一，增強幾何直觀.

（2）應(yīng)用意識

《課標(biāo)（2022年版）》指出“應(yīng)用意識主要是指有意識的利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象與規(guī)律，解決現(xiàn)實世界中的問題”^[1]10.教學(xué)中應(yīng)結(jié)合具體學(xué)習(xí)內(nèi)容，適當(dāng)?shù)脑O(shè)計一些實際問題，引導(dǎo)學(xué)生用所學(xué)數(shù)學(xué)知識加以解決，讓學(xué)生“能夠感悟現(xiàn)實生活中蘊含著大量的與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題，可以用數(shù)學(xué)的方法予以解決”^[1]10，這是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識的有效途徑.

本題取材于生活、生產(chǎn)中的真實問題，學(xué)生在解決的過程中用到了很多數(shù)學(xué)知識，在利用這些知識解答本題的同時，一方面鞏固了學(xué)生對這些知識的理解程度，另一方面也增強了學(xué)生的應(yīng)用意識.

（3）抽象能力

《課標(biāo)（2022年版）》指出“抽象能力主要是指通過對現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對象，形成數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則和方法的能力”^[1]8.抽象能力是重要核心素養(yǎng)表現(xiàn)之一，我們知道，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)有助于發(fā)展學(xué)生的抽象能力，另外，在問題解決中感悟數(shù)學(xué)的通性也是培養(yǎng)學(xué)生抽象能力的重要途徑.

在解答第（1）問的過程中，學(xué)生根據(jù)題意，利用幾何直觀分兩種情況建立S與x函數(shù)表達式的過程就是抽象能力的具體表現(xiàn).實際上，建立表達式的過程需要學(xué)生具有較強的抽象能力，同時也促進了抽象能力的進一步提高.

（4）運算能力

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程一刻也離不開數(shù)學(xué)運算，運算能力就是學(xué)生根據(jù)法則和運算律進行運算的過程中逐漸培養(yǎng)起來的能力.

本題要求學(xué)生解答的兩個問題，都離不開學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，如果沒有比較強的數(shù)學(xué)運算能力，很難正確的解答本題.反之，學(xué)生通過解答本題一定程度上也提高了學(xué)生的運算能力.

（5）推理能力

推理能力是重要核心素養(yǎng)表現(xiàn)，代數(shù)運算過程本質(zhì)上就是推理.本案例提供的閱讀材料就是通過嚴(yán)格的論證過程得到的.

在解答“問題解決”部分的兩個問題時，都離不開數(shù)學(xué)推理，學(xué)生在進行數(shù)學(xué)推理的過程中進一步提高了推理能力.

（6）模型觀念

模型觀念是在學(xué)生反復(fù)通過建立數(shù)學(xué)模型解決問題的過程中形成的一種自覺意識.從數(shù)學(xué)觀念層面看，本題主要在于培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念.

本案例屬于典型的建立二次函數(shù)模型解決實際問題的案例，它將引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“問題情境—建立模型—求解驗證”的過程.

在初中學(xué)段，綜合與實踐活動的內(nèi)容將以項目式學(xué)習(xí)展開，教學(xué)時應(yīng)結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容，在現(xiàn)實生活中尋找、發(fā)現(xiàn)、設(shè)計有價值的問題，引導(dǎo)學(xué)生綜合運用數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率的有關(guān)知識加以解決，在解決的過程中鞏固對有關(guān)數(shù)學(xué)知識的理解，提高學(xué)生的抽象能力、運算能力、推理能力，發(fā)展學(xué)生的模型思想，增強模型觀念和應(yīng)用意識等核心素養(yǎng).

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2022年版[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：7.

[2]孫宇.以平面幾何為背景的江蘇中高考應(yīng)用題分析[J].文理導(dǎo)航（中旬），2020（3）：15-16.

作者簡介 韓成云（1976—），女，江蘇宿遷人，中學(xué)高級教師，宿遷市學(xué)科帶頭人，江蘇省優(yōu)秀教育工作者；主要研究方向為大概念引領(lǐng)下初中數(shù)學(xué)教學(xué)與實踐.