【摘要】以一道杭州市命題比賽的試題為背景，從問題的解法、思路來源、試題的出處及指向的核心素養(yǎng)進(jìn)行評析.聚焦第3問，對一類線段和最值問題展開探究，挖掘問題背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)本質(zhì)并給出教學(xué)建議.

【關(guān)鍵詞】動(dòng)點(diǎn)問題；幾何最值；轉(zhuǎn)化；阿氏圓；反演變換

在幾何學(xué)習(xí)中，會(huì)經(jīng)常遇到求線段和（差）的最大（?。┲祮栴}，這類問題往往最終依據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”這一基本事實(shí)來求解.因此，解決問題的關(guān)鍵在于如何將多條線段拼接起來轉(zhuǎn)化到一條直線上，而這恰恰是問題的難點(diǎn)所在.文章以一道杭州市初中數(shù)學(xué)命題比賽的試題為例，從問題解法、試題評析、問題背景、教學(xué)建議四個(gè)方面展開，聚焦第3問，揭示問題背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化，從反演變換的視角揭示問題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì).

1知其然——問題和問題解答

1．1問題呈現(xiàn)

如圖1，在正方形ABCD中，AB=42.

（1）M為AD的中點(diǎn)，N為BD上的動(dòng)點(diǎn)，求AN+MN的最小值.

（2）M為AD的中點(diǎn)，O為BD上的動(dòng)點(diǎn)，⊙O的半徑為2，N為⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，求MN的最小值.

（3）O為BD與AC的交點(diǎn)，以O(shè)為圓心AO的一半為半徑畫弧交OD于F，N為弧EF上的動(dòng)點(diǎn)，求12DN+AN的最小值.

1.2問題解答

（1）如圖2，作M關(guān)于BD的對稱點(diǎn)M′，連接AM′.由正方形的對稱性可知，M′為CD的中點(diǎn)，NM′=NM.當(dāng)N在AM′與BD的交點(diǎn)時(shí)，AN+MN最小，此時(shí)AN+MN=AM′=（22）2+（42）2=210.

（2）如圖3，連接OM，交⊙O于點(diǎn)E，當(dāng)N與E點(diǎn)重合時(shí)，MN最小.當(dāng)MO⊥BD時(shí)，MO長度最小為2，此時(shí)，MN=EM=OM-OE=2-2.

（3）如圖4，取OF的中點(diǎn)G，連接AG，GN，ON，設(shè)AG與⊙O交于點(diǎn)H.

因?yàn)镺GON=ONOD=12，∠NOG=∠DON，所以△NOG∽△DON，所以NGDN=ONOD=12，所以NG=12DN.于是求12DN+AN的最小值轉(zhuǎn)化為求AN+NG的最小值，此時(shí)A，G在⊙O的異側(cè)，當(dāng)N與H重合（A，N，G三點(diǎn)共線）時(shí)，12DN+AN的值最小，最小值為AG=17.

2知其所以然——思路來源和試題評析

2.1思路來源

（1）第一問為將軍飲馬問題，兩定點(diǎn)A，M位于直線BD的同側(cè)，利用軸對稱變換，將其中一點(diǎn)轉(zhuǎn)化到BD的另一側(cè)，當(dāng)A，N，M′三點(diǎn)共線時(shí)，MN的值最?。▋牲c(diǎn)間線段最短）.

（2）第二問求定點(diǎn)M到圓上動(dòng)點(diǎn)N距離的最小值，此時(shí)O，N均為動(dòng)點(diǎn).先將雙動(dòng)點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)問題，即當(dāng)O點(diǎn)固定時(shí)，當(dāng)N與E點(diǎn)重合時(shí)，MN最小，再將O點(diǎn)移動(dòng)，問題就轉(zhuǎn)變?yōu)榍驧O的最小值問題，根據(jù)連結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短，作MO⊥BD即可.

（3）第三問求12DN+AN的最小值，而“兩點(diǎn)間距離最短”是處理線段和最短問題的一條重要依據(jù)，當(dāng)看到“A，D都在某界線（⊙O）的同側(cè)”，很容易想到“將軍飲馬”問題，將“A，D轉(zhuǎn)化到⊙O的異側(cè)”.接下來處理的關(guān)鍵問題就是：如何將12DN轉(zhuǎn)化為一條線段，且在界線的另一側(cè)，自然聯(lián)想到“相似三角形”，構(gòu)造為12比例系數(shù)即可.

2.2試題評析

本題考查的主要知識(shí)點(diǎn)是正方形的性質(zhì)、圖形的軸對稱、相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及的知識(shí)點(diǎn)還有勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短等，綜合性較強(qiáng).本題考查的題型為解答題，屬于較難題，區(qū)分度也較大.

課標(biāo)內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)對以上知識(shí)點(diǎn)的要求如下：探索并證明矩形、菱形、正方形的性質(zhì)定理;通過具體實(shí)例了解軸對稱的概念，探索它的基本性質(zhì);了解軸對稱圖形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圓的軸對稱性質(zhì);了解相似三角形的性質(zhì)定理;探索勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用它們解決一些簡單的實(shí)際問題;掌握基本事實(shí)：兩點(diǎn)之間線段最短^[1].對此要求的把握恰到好處，符合課標(biāo)要求.

本題中第（1）小問考察了正方形的的軸對稱性質(zhì)、兩點(diǎn)之間距離最短、勾股定理等知識(shí)，是學(xué)生所熟悉的“將軍飲馬”問題.第（2）小問要將一條線段的最小值問題轉(zhuǎn)化為求⊙O的異側(cè)兩點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離和的最小值，考察了學(xué)生知識(shí)運(yùn)用能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想.第（3）小問根據(jù)相似三角形的性質(zhì)構(gòu)造12DN，同時(shí)將兩定點(diǎn)轉(zhuǎn)移到⊙O的兩側(cè)，對學(xué)生的構(gòu)圖能力有較高要求.上述三個(gè)小題的設(shè)置，由易到難，層層遞進(jìn)，問題在變，解決問題的基本方法不變，指向推理能力、幾何直觀等核心素養(yǎng).

3知何由以知其所以然——命題背景

一個(gè)好的數(shù)學(xué)題，常常是一個(gè)發(fā)人深省，耐人尋味的問題.第三小問是本題的難點(diǎn)，這個(gè)問題是怎么設(shè)計(jì)出來的呢？N在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有NG=12DN，比例系數(shù)可以換成其他值嗎？比例系數(shù)12與⊙O、線段OD到底存在怎樣的聯(lián)系，我們可以進(jìn)一步追問命題的背景.

3.1動(dòng)點(diǎn)N的軌跡：阿式圓

帶著這些思考，我們可以將圖4中的無關(guān)線段擦除，得到圖5.由△NOG∽△DON，可得比例系數(shù)12=ONOD，所以當(dāng)⊙O與點(diǎn)D的位置確定時(shí)，比例系數(shù)也隨之確定，點(diǎn)G的位置也隨之確定.我們不妨設(shè)⊙O的半徑為r，DG長度為a，比例系數(shù)為NGDN=k（k＜1），探究r，a，k三者之間的數(shù)量關(guān)系.由△NOG∽△DON得OG=kr，OD=rk；由DG=OD-OG，得a=rk-kr=r（1-k2）k………①，①式表明圓的半徑和邊比一旦確定，一邊的大小和位置也隨之確定，滿足既定條件的線段有且僅有一條．①式變形可得r=ak1-k2………②，OG=k2a1-k2，OD=a1-k2………③，②③兩式表明當(dāng)a，k確定時(shí)，圓的位置和大小隨之確定，即N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡確定，這即是經(jīng)典的阿波羅尼斯圓（以下簡稱阿氏圓）.阿式圓的圓心位于定邊（DG）的延長線上，半徑r=ak1-k2，圓心距定邊近端距離OG=k2a1-k2，遠(yuǎn)端距離OD=a1-k2.

聚焦阿式圓，進(jìn)行如下變式：

變式1如圖6，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，⊙C的半徑為1，P為⊙C上的一動(dòng)點(diǎn)，AP+13BP最小值為;14AP+BP最小值為.

解題思路：當(dāng)0＜k＜1時(shí)，兩定點(diǎn)在圓外，向內(nèi)構(gòu)造點(diǎn)D，使△CPD∽△CBP，DP=13BP.

變式2如圖7，已知扇形COD，∠COD=90°，OB=1，OA=2，OC=3，點(diǎn)P是弧CD上的一動(dòng)點(diǎn)，求BP+32AP的最小值.

解題思路：當(dāng)k＞1時(shí)，兩定點(diǎn)在圓內(nèi)，向外構(gòu)造點(diǎn)E，使△OPA∽△OEP，EP=32AP.

變式3如圖8，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半徑為2，CD=1，P為⊙C上的一動(dòng)點(diǎn)，求12AP+2DP的最小值.

解題思路：兩條線段的比例系數(shù)均不為1，比例系數(shù)均為圓的半徑與對應(yīng)邊之比，需要分別將A，D兩點(diǎn)向內(nèi)，向外構(gòu)造.

變式4如圖9，在△ABC中，BC=3，AC=4，∠C=60°，⊙C的半徑為2，P為⊙C上的一動(dòng)點(diǎn)，求3AP+2BP的最小值.

解題思路：兩條線段的比例系數(shù)均不為1，比例系數(shù)不是圓的半徑與對應(yīng)邊之比.此時(shí)我們可以通過提取系數(shù)，將一條線段的系數(shù)化為1，另一條線段的系數(shù)化為圓的半徑與對應(yīng)邊之比：3（AP+23BP）.

變式5如圖10，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半徑為2，P為⊙C上的一動(dòng)點(diǎn)，求AP-12BP的最大值.

解題思路：求帶系數(shù)的兩條線段差的最大值，轉(zhuǎn)化方法和變式1完全一樣，只是最后求最大值有所不同，求差最大根據(jù)“三角形兩邊之差小于第三邊”來求解.

小結(jié)：阿式圓中涉及到四個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，即線段的兩端點(diǎn)、圓心、圓與定邊的交點(diǎn)；三個(gè)量，即半徑、定長、定比.解題時(shí)要根據(jù)提供的部分要素，去尋找相關(guān)的其他要素.

3.2點(diǎn)D和構(gòu)造點(diǎn)G的變換關(guān)系：關(guān)于⊙C的的反演點(diǎn)

第3小題的難點(diǎn)在于如何構(gòu)造點(diǎn)G，點(diǎn)D和點(diǎn)G背后又存在怎樣的變換關(guān)系？我們對圖5繼續(xù)擦除無關(guān)線段得到圖11，點(diǎn)G在射線OD上，且由△NOG∽△DON，可知r2=OD·OG，點(diǎn)G和點(diǎn)D是關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)，G是D的反演點(diǎn)，反過來D也是G的反演點(diǎn).通過反演使⊙O的外部點(diǎn)變換為圓內(nèi)部點(diǎn).

3.2.1反演點(diǎn)的幾何作圖

如何用尺規(guī)作一給定點(diǎn)P對⊙O的反演點(diǎn)P′？點(diǎn)P在圓O上，P′和P重合；點(diǎn)P位于圓心O上，P′不存在；點(diǎn)P位于⊙O外時(shí)（圖12），以點(diǎn)P為中心，OP為半徑畫一弧交⊙O于點(diǎn)R，S，以這兩點(diǎn)為中心，r為半徑畫圓弧，相交于點(diǎn)P′.在等腰三角形ORP和ORP′中，∠ORP=∠ROP=∠OP′R.

所以這兩個(gè)三角形相似，因此OPOR=OROP′，即OP·OP′=r2.從而P′為所求的P的反演，這就是我們所要求作的.當(dāng)點(diǎn)P為⊙O內(nèi)的情況，我們可以通過反向求作P′（圖13）.

如圖14，我們還可以作半徑OA⊥OP，連接AP，作BA⊥AP，交PO的延長線于點(diǎn)B，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓弧交OP于P′.由△ABO∽△PAO，得OA2=OB·OP，因此OP·OP′=r2.當(dāng)點(diǎn)P為⊙O內(nèi)的情況，我們可以通過反向求作P′.

3.2.2反演的性質(zhì)

由上述過程，我們可以得到：經(jīng)過反演，把過O的一條直線變成過O的一條直線（直線→直線）.雖然直線上的點(diǎn)是交換了，但直線作為一個(gè)整體仍然變?yōu)樗谋旧?其實(shí)，反演最重要的性質(zhì)是把直線和圓變成圓和直線，我們繼續(xù)推廣，還可以得到如下性質(zhì)：經(jīng)過反演，

（a）不過O的一條直線變成過O的一個(gè)圓（直線→圓）；

（b）過O的一個(gè)圓變成不過O的一條直線（圓→直線）；

（c）不過O的一個(gè)圓變成不過O的一個(gè)圓（圓→圓）.

如圖15，為了證明命題a，作OA垂直于直線l，交直線l于點(diǎn)A，P是l上任意一點(diǎn)，由上述作圖方法可以求得A，P關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)A′，P′.由OA·OA′=OP·OP′=r2，得OA′OP′=OPOA.因此△OP′A′∽△OAP，∠OP′A′=90°.P′在以O(shè)A′為直徑的圓C上，所以直線l的反演就是這個(gè)圓C.反過來，過O的圓C的反演為直線l，命題b得證.

如圖16，接下來證明命題c，設(shè)在平面內(nèi)取任意點(diǎn)M，以M為圓心，半徑為k，作不經(jīng)過點(diǎn)O的⊙M.過點(diǎn)O作⊙M的切線OC，設(shè)OC長為c，作⊙M的割線交⊙M于A，B兩點(diǎn)，作A，B關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)A′，B′.過A′作A′D∥BM交OM于點(diǎn)D.設(shè)OA，OB，OA′，OB′，OM，OD，A′D的長度分別為a，b，a′，b′，m，d，e.由反演的定義得aa′=bb′=r2……①，由切割線定理得ab=c2……②，①÷②得a′b=b′a=r2c2（常數(shù)）……③.由A′D∥BM得△OA′D∽△OBM，則dm=ek=a′b=r2c2，因此d=r2c2·m（常數(shù)），e=r2c2·k（常數(shù)）.這意味著A，B的位置改變時(shí)，D總是在OM的同一位置上，并且A′D的長度保持不變，即⊙M經(jīng)過反演還是一個(gè)圓，命題c得證.

3.2.3反演的應(yīng)用連桿

連桿是一組剛體小桿用軸以某種方式連接在一起，整個(gè)系統(tǒng)有適當(dāng)?shù)幕顒?dòng)自由，使得它上面的某一點(diǎn)能描繪出特定的曲線，比如圓規(guī)就是一個(gè)簡單的連桿.利用平面對圓的反演性質(zhì)可以制作連桿，把圓周運(yùn)動(dòng)變成直線運(yùn)動(dòng).

波西里葉七連桿（圖17），其中O和R是兩個(gè)固定點(diǎn)，OS=OT，SP=PT=QT=QS，PR為任意長，當(dāng)點(diǎn)P以R為圓心，PR為半徑描繪出一個(gè)圓時(shí)，Q將描出一條直線段.

波特五連桿（圖18），其中O和S是兩個(gè)固定點(diǎn)，AB=CD，BC=AD，SP是任意長，點(diǎn)O，P，Q分別固定在桿AB，AD，CB上，且使AOOB=APPD=CQQB=a（定值）.當(dāng)連桿運(yùn)動(dòng)時(shí)，P描出一個(gè)以S為圓心過點(diǎn)O的圓，反演點(diǎn)Q描出一條直線.

4教學(xué)建議

在教學(xué)過程中，解題分析時(shí)做“減法”，挖掘圖形的基本結(jié)構(gòu)，通過類比，轉(zhuǎn)化找到題目的本質(zhì)，通過要素間的數(shù)量關(guān)系來刻畫圖形的性質(zhì)，把握模型全等相似變換的數(shù)學(xué)本質(zhì)，最后結(jié)合知識(shí)點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想方法、課標(biāo)要求完善課堂教學(xué).阿氏圓是平面幾何中的經(jīng)典模型，但是對于“a+kb”型線段和最值問題，系數(shù)k的界定不是隨意的，說明這類題目存在一定局限性.因此，在教學(xué)過程中，教師要根據(jù)學(xué)情，進(jìn)行適度的延伸拓展.

“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同.”在教學(xué)過程中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生能夠像看萬花筒一樣去看問題，在追求問題解的同時(shí)，更要引導(dǎo)學(xué)生從“幾何變換”的一般觀念來看問題，這樣會(huì)使問題更加清晰，并且可以關(guān)聯(lián)到一類問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的奧妙，提高數(shù)學(xué)的素養(yǎng).長此以往，必將能夠展現(xiàn)出“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”的氣勢.

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2022年版[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：63-69.

作者簡介聞國梁（1990—），男，中學(xué)一級(jí)教師;主要從事初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.