【摘要】小結課亦即以小結為載體的復習課.從單元整體教學的視角，通過大概念的統(tǒng)攝，借助數學內部及現(xiàn)實生活情境，運用抽象、轉化等思想，通過類比、遷移等策略幫助學生用方程的眼光構建方程模型，發(fā)現(xiàn)單元知識之間的內在邏輯關系，打通知識通道，進行“數—式—方程”等知識的整體建構，從而在這一系統(tǒng)內加深對方程知識的理解，提升學生學習力，進而促進學生數學核心素養(yǎng)的形成.

【關鍵詞】一元一次方程；大概念；整體化；小結課；教學實錄

1教學現(xiàn)狀簡析

孔子云：溫故而知新，可以為師矣.這句話告訴我們要通過復習舊知，習得新知.但通過調研發(fā)現(xiàn)，目前小結課教學的課堂樣態(tài)多以知識點梳理、重點題型講解、隨堂練習等形式為主，過多注重分析問題、解決問題，造成教學體驗感差、結構關聯(lián)弱，問題聚焦域弱，遇到題型變化就不會等現(xiàn)象^[1]，獲取新知更是難上加難.究其原因，筆者認為主要存在以下兩點：首先，教師對小結課重視不夠，認識不到位；其次，不能夠以整體化、結構化觀念統(tǒng)領學生已有認知經驗，進行系統(tǒng)化梳理，不能幫助學生找準思維盲區(qū)，更難以從全新視角切入，通過知識再建構幫助學生突破思維障礙，實現(xiàn)見木又見林的目的.

2小結課功能定位

小結課亦即以小結為載體的復習課.文獻[2]基于整體化教學提出課堂實踐的六類課型：整體統(tǒng)領課、深度探研課、訓練提升課、統(tǒng)攝復習課、分層考核課、異步達標課.其中統(tǒng)攝復習課是對整章內容進行再次整體認知，加固并重構已有的知識結構，多角度形成對本章“終端”的認知^[3].《義務教育數學課程標準（2022版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）在教學建議條目二整體把握教學內容中也指出：在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現(xiàn)數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系.因此數學復習課不但承載著梳理基礎知識、查缺補漏、遷移運用、拓展延伸等作用^[4]，更重要的應從單元整體教學的視角，通過大概念的統(tǒng)攝，借助情境，運用抽象、轉化等思想及類比、遷移等策略幫助學生用數學的眼光發(fā)現(xiàn)單元知識之間的內在邏輯關系，打通知識通道，進行知識的整體建構，從而加深對知識的理解，提升學生學習力，促進學生數學核心素養(yǎng)形成.在濱州市優(yōu)質課評選中，執(zhí)教者王偉燕老師以“一元一次方程”小結課奪得本次賽課本課題的第一名，整個課堂精彩展現(xiàn)了小結課的功能定位.邢成云老師對此教學作了點評.

3教學內容分析

初中數學課程內容是按照螺旋式上升方式編排的，方程知識分別位于不同年級不同冊中.“一元一次方程”位于七上，“二元一次方程組”位于七下，“分式方程”位于八上，“一元二次方程”則位于九上，這樣就構成了隱形的縱向大單元.因此在學習方程相關知識時應抓住一條邏輯主線，將不同階段的方程內容串聯(lián)起來，將這條“隱線”顯性化，讓學生感悟到散落在不同分冊中的方程知識共同的本質，為學生形成方程核心大概念“用方程的眼光看世界”積淀經驗.初中階段方程知識邏輯主線的建立關鍵在于一元一次方程小結課，所以本節(jié)課教師要引導學生建構方程知識脈絡，明確研究路徑、研究內容，形成方程知識學習的套路，抓住邏輯主線，在后續(xù)方程知識學習時教師可運用轉化、遷移、類比等手段將本單元內容與同主題單元內容聯(lián)系起來，一以貫之地實施教學，從而深化方程知識大概念，為后續(xù)相關知識學習奠定基礎.因此本節(jié)課起著啟后的作用.基于以上分析確定本小結課復習目標：

（1）通過創(chuàng)設數學內部情境并合實際問題情境，聯(lián)通數、式與方程，進一步認識一元一次方程及其相關概念，明確解方程步驟，以及利用一元一次方程解決實際問題等基礎知識的復習.

（2）通過“用方程眼光看世界”大概念的統(tǒng)攝，厘清方程知識研究內容、研究路徑以及研究方法，經歷形成方程知識學習的一般過程，構建初中階段方程知識學習框架，從中體會抽象、化歸及模型思想.

點評以終為始的教學目標，是落實評價的抓手，作為單元復習目標不但要關注復習內容，還應指向學科育人，但現(xiàn)實中經常出現(xiàn)僅把目標作為一個擺設，隨性地進行課堂教學現(xiàn)象，更談不上目標明確.而王老師的目標定位合理，尤其彰顯出了濃濃的復習課味道，作為復習課不是簡單地重復已學，而是利用好本章小結的課程定位，通過核心大概念的統(tǒng)領，把數、式與方程進一步關聯(lián)起來，結構化知識，系統(tǒng)化思維.

4課堂教學過程

環(huán)節(jié)1數式創(chuàng)境，立根固本

師：請同學們從下列式子中任選兩個，能組成哪些方程？

（1）4x+2；

（2）2y－x；

（3）3x2；

（4）4x；

（5）12.

生：能夠組成10個方程，分別是：

（1）4x+2=2y－x；

（2）4x+2=3x2；

（3）4x+2=4x；

（4）4x+2=12；

（5）2y－x=3x2；

（6）2y－x=4x；

（7）2y－x=12；

（8）3x2=4x；

（9）3x2=12；

（10）4x=12.

追問1：這10個方程你都認識嗎？你能說出它們的名稱嗎？

生：（1）（7）是二元一次方程，（2）（9）是一元二次方程，（3）（6）（8）（10）是分式方程，（4）是一元一次方程，（5）是二元二次方程.

師：回答的很全面，對于方程中的“元”“次”認識很到位.（1）（7）（2）（9）（4）（5）屬于整式方程，（3）（6）（8）（10）是分式方程.現(xiàn)對（4）進行變式，請根據學過的方程知識完成.

變式：關于x的方程（m－1）x^m+2=12，請根據方程提出問題并解決.

生1：當m為何值時是一元一次方程？

生2：當m=－1時為一元一次方程.

追問2：為什么m=－1時是一元一次方程？

生2：當這個方程為一元一次方程時，需要滿足兩個條件：m=1且m－1≠0，所以m=－1.

追問3：還有提出其他問題的嗎？

生3：當m為何值時是一元二次方程？

生4：若方程為一元二次方程時，需滿足m=2，且m-1≠0，所以m=±2.

追問4：還有其他問題嗎？

生5：當m=－1時，方程的解是多少？

生6：x=－5.

師：很好，大家回顧剛才的數學情境，思考我們是怎么樣得到方程的？

生：將兩個代數式用等號連接就形成方程.

師：很好，這位同學能夠用方程的眼光去看數學世界.剛才情境中有數，也有式子，在它們之間建立相等關系，若含有未知數就形成方程.這就是為什么第一章學習了有理數，第二章學習整式，第三章才是方程，其實知識是生長的，相互關聯(lián)的（漸進性板書成圖1）.

點評這一教學環(huán)節(jié)很重要，通過數學內部情境的創(chuàng)設，把“數—式—方程”的進階路徑揭示出來，讓學生感知到了方程獲取的另一維度，而不是單單停留在實際問題情境上.作為教材文本，自始至終是通過實際問題引入課題的，充分體現(xiàn)了從實踐中來到實踐中去的設計思路，但僅有此還不足，這樣處理對方程的理解還不夠全面，王老師敢于突破教材，通過數學內部情境形成與實際問題情境的有機結合，值得稱道.另外，教學過程中滲透了排列組合原理，并把整個初中學段的方程有序呈現(xiàn)出來，通過問題變式和教師的追問，加固了方程的概念以及對方程意義的感知，進一步彰顯出數、式與方程的聯(lián)系性、進階性和方程系統(tǒng)的結構化、整體性，與章起始課遙相呼應，很好地實現(xiàn)了“整—分—整”的課標定位.

師：以上我們用方程的眼光看數學世界得到了方程，那我們還可以從哪里得到方程呢？

生：從實際問題中抽象出方程.

師：好，那我們一起用方程的眼光看現(xiàn)實世界.以下問題先獨立思考然后小組交流.

情境2：黃山實驗初級中學打算把一些圖書分給七年級某班學生閱讀，如果每人分4本，則剩余30本；如果每人分5本，則還缺15本．這個班級共有多少名學生？（只列方程不計算）

生1：設這個班級共有x名學生，可列方程：4x+30=5x-15.

追問5：還有其他方法？

生2：可設一共有y本書，可列方程：

y－304=y+155.

追問6：用方程解決實際問題的步驟是什么？

生2：先審題，然后設未知數，再找等量關系，列出方程，然后求解方程.

師：我們可以簡單的歸納為：審、設、列、解、答.大家一起解y－304=y+155這個方程，請一位同學進行板演.

生：y－304=y+155，

5（y-30）=4（y+15），

5y-150=4y+60，

5y-4y=60+150，

y=210.

追問7：每一步的依據是什么？

生：y－304=y+155，

5（y-30）=4（y+15），（等式性質2）

5y-150=4y+60，（乘法分配律）

5y-4y=60+150，（等式性質1）

y=210.（乘法分配律逆用）

追問8：再怎樣求班級人數？

生：把y=210代入等號的左邊或者右邊式子都能求出班級人數為45人.

追問9：解決這個問題時你會選擇哪種方法？為什么？

生：第一種，第一種直指問題，并且計算也簡單.

師：對，我們在解決問題時應學會選擇最優(yōu)方案，這樣不但可以提高正確率，而且節(jié)省時間.

追問10：解一元一次方程最終是把方程轉化成什么形式？

生：化成x=m的形式.

師：很好，這體現(xiàn)了數學中轉化思想，也就是把復雜的方程轉化成簡單方程，化繁為簡，化未知為已知的過程.那你能解出（9）3x²=12嗎？

生：兩邊除以3，得到x2=4，從而得到x=±2.

追問11：你是怎么想到的？

生：先系數化為1，然后根據乘方的意義得出.

師：很好，3x2=12是一元二次方程，最終把二次方程轉化成了一次方程，也就是進行了降次，這個過程也就是把未知的轉化成已知的，把不熟悉的轉化成熟悉的，從而求解.

追問12：你能嘗試解方程（10）4x=12嗎？

生：兩邊同時乘以x得，4=12x，求出x=13.

師：對，通過去分母把分式方程轉化成整式方程求解，當然以后學習分式方程還需要進行檢驗.這一過程也是把未知轉化成已知進行求解.猜想二元一次方程組求解思路是怎樣的？

生：應該是把二元的轉化成一元的，然后求解.

點評這一教學環(huán)節(jié)是本節(jié)課的核心地帶.通過具有現(xiàn)實意義的實際問題獲得兩類不同的一元一次方程，然后選擇含分母的一般意義上的方程，把列方程、解方程來了個大貫通，喚醒了列方程的基本步驟和解方程的一般步驟，并通過追問解方程每一步的依據，讓學生弄清所以然.這顯然是引導學生知法明理的舉措，其間滲透了方法的優(yōu)化，尤其是通過追問，讓學生明確了解方程的本質——化未知為已知，成為最基本的模型x=m，這為后繼簡單的一元二次方程嘗試求解的降次、分式方程嘗試求解轉化為整式方程以及二元一次方程組的消元蓄足了遷移之力，化歸的思想得以升華（圖2）.

師：剛才從實際問題中我們抽象出方程4x+30=5x-15，你能再賦予這個模型不同的情境嗎？

生：植樹節(jié)去植樹，如果每人植樹4棵，還剩30棵；如果每人植樹5棵，則差15棵，這個班級一共有多少名學生？

師：很好，通過這個問題我們體會到，方程是刻畫現(xiàn)實世界的模型，情境只是外在的“套裝”，方程結構才是實質.

追問13：研究方程的路徑是什么？

生：由實際問題→列方程→解方程→實際問題解.

師：這樣方程的研究路徑就明確了.

點評這是個富有創(chuàng)造力的教學環(huán)節(jié)，通過讓學生對同一個方程賦予新的情境，學生從反面感知模型

的作用與價值，具身體驗方程是刻畫現(xiàn)實世界的重要模型，并通過追問，進一步明確了用方程眼光看生活

實際問題的處理思路（圖3），把處理這一類問題路徑的種子種下，與用方程的眼光看數學內部世界形成自洽.

環(huán)節(jié)2深植厚培，枝繁葉茂

師：請同學們獨立解決以下問題.

1.已知關于x的一元一次方程12x+1=2x+m的解為x=-4，那么關于y的一元一次方程12（y－2）+1=2（y－2）+m的解為.

2.現(xiàn)規(guī)定一種新的運算ab

cd=ad－bc，那么232-x4=5時，則x=.

3.解方程x－40.3=x－30.5+1.

生：它們的解分別為：

（1）y=-2，（2）x=1，（3）x=254.

追問14：第一題的解題思路是怎樣的？

生：把x=－4代入方程12x+1=2x+m，求出m，然后把m代入方程12（y－2）+1=2（y－2）+m，然后進行解方程.

追問15：還有其他做法嗎？

生：通過觀察這兩個方程可以發(fā)現(xiàn)將第一個方程中的x換成了y－2，所以x=－4，也就是y－2=-4，可得y=－2.

師：這是數學中常用的換元的方法，體現(xiàn)了一種整體思想.我們在做題時要善于用數學的眼光觀察、思考問題，選擇最優(yōu)的方案解決問題.

點評這是解方程的鞏固提升環(huán)節(jié)，王老師的設計不是單純的解方程演練，而是通過設置不同背景的數學問題讓學生多角度去思考處理問題.第1題把方程解的概念與解方程有機地融在一起，并把整體代換植入，滲透了換元方法；第2題把解方程嵌入到行列式新運算中，體現(xiàn)了方程的內在應用性；第3小題是一個含小數分母的解方程，這可以稱之為解一元一次方程的高地，對學生是一種挑戰(zhàn)，以此擺出分數的基本性質及等式性質的不同，規(guī)避它們的相互干擾，增強學生對它們的深入理解.

環(huán)節(jié)3漸成板書，加固結構

教師引導學生從方程研究思路、研究內容、研究方法、思考問題的角度、數學思想方法等方面進行梳理.結合教學推進中形成的板書，完善并勾勒出結構圖（圖4）.

點評最后通過多視角的梳理，引導學生完善本章的知識結構，在漸進性板書的導引下，讓學生見到本章知識的全貌及其內在關聯(lián)，如此處理有助于學生形成優(yōu)化的認知結構，為深化記憶和有效提取蓄能.

總評

1.大概念統(tǒng)攝

單元大概念一旦產生或形成，知識點之間便發(fā)生了有意義的聯(lián)系，就會成為一個有組織的整體，這就是單元大概念的組織性和系統(tǒng)性.另外，單元大概念還具有統(tǒng)攝性，能統(tǒng)領整個單元知識內容.小結課作為“整—分—整”鏈條上的第二個“整”，自然擔負著歸納梳理的重任，但要把整個單元統(tǒng)攝起來，就需要大概念的前后貫通.基于此，王老師定位于“用方程的眼光看世界”這一大概念，既看現(xiàn)實生活世界，又看數學內部世界，通過引導學生關注知識之間的聯(lián)系，構建知識框架，在方程的系統(tǒng)內形成一種自然生長，在生長中全面認識方程，從而探索出了方程系統(tǒng)思維生長進階的有效路徑.

2.整體化建構

因為本章是方程系統(tǒng)的開篇，擔負著從無到有的系統(tǒng)建構，我們要通過小結“總結、反思、再認識”^[5]的過程，以“由厚到薄”的復習提煉把結構立起來，就能為后面的方程教學用結構提供優(yōu)質的支架.而傳統(tǒng)的復習教學過于注重大水漫灌式的刷題，難以發(fā)揮單元的結構性、整體性功能，基本停留在單一、狹隘、淺層的教學結構中，復習的效果堪憂.王老師定位于“整體性教學”與“結構化教學”^[5]，通過助力學生系統(tǒng)化梳理、歸納和整合一元一次方程相關知識及初中學段方程架構，將離散、斷裂、碎片化的知識連成線、結成網、筑成塊、構成體，從而使學生看到數、式到方程知識的發(fā)生、發(fā)展的全過程，習得化歸、模型等重要的數學思想.這種整體化建構有“熟書生溫”的味道.

參考文獻

[1]周煉.大概念視域下初中數學復習課的設計策略：以“二次函數的圖象和性質”為例[J].中小學課堂教學研究，2023（9）：61-65.

[2]邢成云.“整體統(tǒng)攝·快慢相諧”的整體化教學[J].中國教師，2021（10）：38-41.

[3]邢成云.整體統(tǒng)攝·快慢相諧：初中數學整體化教學20年探索[J].中小學班主任，2022（22）：72-74.

[4]崔英梅.關聯(lián)·解析·貫通：指向內容結構化的單元復習策略[J].湖北教育（教育教學），2023（12）：5-7.

[5]鄭毓信.“整體性教學”與“結構化教學”：中學視角下的“數學教學的關鍵”（4）[J].中國數學教育，2022（Z1）：3-5，22.

作者簡介王偉燕（1984—），女，山東陽信人，中學高級教師，濱州市名師、濱州市優(yōu)秀教師、濱州市教學能手，獲濱州市優(yōu)質課一等獎（本案例），多次執(zhí)教省、市級公開課；主要研究方向為課堂教學；發(fā)表論文10余篇，其中1篇被中國人民大學書報資料復印中心全文轉載.

邢成云（1968—），男，山東無棣人，二級教授，中國人民大學書報復印中心《初中數學教與學》編委，國家“萬人計劃”教學名師，全國領航名師，山東省有突出貢獻的中青年專家，齊魯名師，山東省特級教師，山東省教學能手，曾獲國家教學成果二等獎;主要研究方向為課堂教學理論，發(fā)表論文260多篇，其中20篇被中國人大書報資料復印中心全文轉載.