【摘要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確提出：數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，考試命題要堅(jiān)持素養(yǎng)立意、凸顯育人導(dǎo)向、關(guān)注學(xué)科本質(zhì)、關(guān)注通性通法.2024年河南中考數(shù)學(xué)第23題嚴(yán)格依標(biāo)命制，增強(qiáng)幾何知識(shí)的應(yīng)用體驗(yàn)，彰顯數(shù)學(xué)思維價(jià)值，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，對(duì)數(shù)學(xué)課程的實(shí)施具有很強(qiáng)的導(dǎo)向作用.

【關(guān)鍵詞】圖形性質(zhì)；解法探析；核心素養(yǎng)

中考數(shù)學(xué)壓軸題是中考試題創(chuàng)新的重要體現(xiàn)之一，是一線教師探索數(shù)學(xué)教學(xué)的風(fēng)向標(biāo)，因此，研究中考?jí)狠S題的出題方向、解題策略、試題分析、教學(xué)導(dǎo)向就顯得意義重大.2024年河南中考數(shù)學(xué)壓軸題第23題探究鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形的性質(zhì)及應(yīng)用，以新定義的方式考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.試題強(qiáng)化基礎(chǔ)考查，淡化繁瑣運(yùn)算和解題技巧，解題方法多樣，評(píng)價(jià)維度多元，緊扣學(xué)科本質(zhì)，堅(jiān)持素養(yǎng)立意，培養(yǎng)學(xué)生用已積累的數(shù)學(xué)研究經(jīng)驗(yàn)，建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系.

1試題呈現(xiàn)

（2024年河南中考第23題）綜合與實(shí)踐

在學(xué)習(xí)特殊四邊形的過(guò)程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗(yàn)．請(qǐng)運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)，對(duì)“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”進(jìn)行研究．

定義：至少有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形．

（1）操作判斷

用分別含有30°和45°角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個(gè)四邊形，其中是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形的有（填序號(hào)）．

（2）性質(zhì)探究

根據(jù)定義可得出鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形的邊、角的性質(zhì)．下面研究與對(duì)角線相關(guān)的性質(zhì)．如圖2，四邊形ABCD是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形，AB＝AD，AC是它的一條對(duì)角線．

①寫出圖中相等的角，并說(shuō)明理由；

②若BC＝m，DC＝n，∠BCD＝2θ，求AC的長(zhǎng)（用含m，n，θ的式子表示）．

（3）拓展應(yīng)用

如圖3，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，分別在邊BC，AC上取點(diǎn)M，N，使四邊形ABMN是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形．當(dāng)該鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形僅有一組鄰邊相等時(shí)，請(qǐng)直接寫出BN的長(zhǎng)．圖2圖3

2解法探析

本題第（1）問(wèn)起點(diǎn)低，只要準(zhǔn)確領(lǐng)會(huì)“新定義”的含義，就能得出答案②④；第（2）問(wèn)有一定難度，其中①找出相等的角并說(shuō)明理由是本道壓軸題的關(guān)鍵之處，也是解決問(wèn)題（3）的突破口；第（3）問(wèn)難度較大，綜合考察學(xué)生的作圖能力、幾何直觀、邏輯推理、應(yīng)用意識(shí)等.

2.1對(duì)于第（2）問(wèn)

視角1旋轉(zhuǎn)全等

解法1①∠ACD＝∠ACB.理由如下：如圖4，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E，使BE＝DC，聯(lián)結(jié)AE.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形，所以∠ABC+∠D＝180°.因?yàn)椤螦BC+∠ABE＝180°，所以∠ABE＝∠D，易證△ABE≌△ADC，則∠E＝∠ACD，AE＝AC，所以∠E＝∠ACB，因此∠ACD＝∠ACB.

②如圖4，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥EC，垂足為點(diǎn)F.因?yàn)锳E＝AC，所以CF=12CE=12BC+BE=12BC+DC=m+n2.因?yàn)椤螧CD＝2θ，所以∠ACB＝∠ACD=θ.在Rt△AFC中，cosθ=CFAC，所以AC=CFcosθ=m+n2cosθ.

解法2①如圖5，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E，使得DE＝BC，聯(lián)結(jié)AE，同解法1可證△ABC≌△ADE，從而可得∠ACD＝∠ACB.

②如圖5，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥EC，垂足為點(diǎn)F.同解法1可得AC=CFcosθ=m+n2cosθ.

視角2角平分線的判定

解法3①如圖6，過(guò)點(diǎn)A分別作AM⊥BC于點(diǎn)M，AN⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，同上可得∠B＝∠ADN，易證△ABM≌△ADN，因此AM＝AN，又因?yàn)锳M⊥BC，AN⊥CD，所以點(diǎn)A在∠BCD的角平分線上，故CA平分∠BCD，所以∠ACD＝∠ACB.

②如圖6，由①知△ABM≌△ADN，因此BM＝DN，所以2CM=CM+CN＝BC+CD=m+n，故CM=m+n2，在Rt△AMC中，cos∠ACB=cosθ=CMAC，所以AC=CMcosθ=m+n2cosθ.

視角3四點(diǎn)共圓

解法4①因?yàn)樗倪呅蜛BCD是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形，所以∠B+∠ADC＝180°，所以A，B，C，D四點(diǎn)共圓，如圖7.在同圓中，因?yàn)橄褹B＝AD，所以∠ACB＝∠ACD.

②過(guò)點(diǎn)A分別作AM⊥BC于點(diǎn)M，AN⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，易證△ABM≌△ADN，所以BM＝DN.易知CM=CN，下同解法3②.

2.2對(duì)于第（3）問(wèn)

第（3）問(wèn)首先要根據(jù)題意畫出符合條件的圖形，然后再尋找方法求BN的長(zhǎng).

第一步，畫出圖形.要求四邊形ABMN是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形，且僅有一組鄰邊相等.

當(dāng)AB=AN時(shí)，如圖8，易證MB=MN，此時(shí)鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形ABMN有兩組鄰邊相等，不合題意；當(dāng)MB=MN時(shí)，如圖8，則有AB=AN，仍不合題意;

當(dāng)BA=BM時(shí)，如圖9；當(dāng)NA=NM時(shí)，如圖10；顯然，圖9和圖10符合題意.

第二步，求BN的長(zhǎng).下面分別從三個(gè)視角入手，探究線段BN長(zhǎng)的求解方法.

視角1三角形相似或銳角三角函數(shù)

解法1當(dāng)BA=BM時(shí)如圖9，有MN⊥AC且BA=BM=3，由已知可得MC=1.易知△MNC∽△ABC，所以CNBC=MCAC=MNAB，即CN4=15=MN3，所以NC=45，MN=35，從而AN=215.類比（2）②中的結(jié)論可知，BN=AN+MN2cos∠ANB=215+352cos45°=1225.

當(dāng)NA=NM時(shí)如圖10，有MN⊥AC，設(shè)NA=NM=x，則NC=5-x，由△MNC∽△ABC可得NCBC=MCAC=MNAB，即5－x4=MC5=x3，所以x=157，MC=257，可得BM=37.類比（2）②中的結(jié)論可知，BN=AB+BM2cos∠ABN=3+372cos45°=1227.綜上，BN=1225或1227.

視角2托勒密定理

解法2由于四邊形ABMN是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形，所以∠ABM+∠ANM＝180°，所以A，B，M，N四點(diǎn)共圓.

當(dāng)BA=BM時(shí)，如圖11，則BA=BM=3，AM=32.同解法1可求得MN=35，AN=215.由托勒密定理知，AB·MN+BM·AN=AM·BN，即3×35+3×215=32·BN，解得BN=1225.

當(dāng)NA=NM時(shí)，如圖12，同解法1得，NA=NM=157，BM=37，所以AM=1527，由托勒密定理知，AB·MN+BM·AN=AM·BN，即3×157+37×157=1527·BN，解得BN=1227.

視角3借助45°角構(gòu)造等腰直角三角形

解法3當(dāng)BA=BM時(shí)，如圖13，由（2）的結(jié)論知，此時(shí)對(duì)角線BN平分∠ANM，所以∠ANB=45°.過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AN，垂足為點(diǎn)H，則△BHN為等腰直角三角形.在Rt△ABC中，由等面積法可知BH=AB·BCAC=3×45=125，所以BN=1225.

當(dāng)NA=NM時(shí)，如圖14，由（2）的結(jié)論知，此時(shí)對(duì)角線BN平分∠ABC，所以∠ABN=45°.過(guò)點(diǎn)N作NH⊥AB，垂足為點(diǎn)H，則△BHN為等腰直角三角形，不妨設(shè)BH=HN=x，則AH=3-x，因?yàn)镠N∥BC，所以AHAB=HNBC，即3－x3=x4，解得x=127，所以BN=1227.

分析第（2）①問(wèn)，學(xué)生可以根據(jù)圖形觀察猜想或直接度量得出∠ACB＝∠ACD，第（2）②問(wèn)雖然不太好證明，但是由視角3可知其實(shí)并不影響第（3）問(wèn)的求解，觀察出45°角后可以構(gòu)造等腰直角三角形求解BN，并沒(méi)有用到②的結(jié)論，可見兩問(wèn)之間可以聯(lián)系也可以各自獨(dú)立.解法3簡(jiǎn)單快捷，是直觀感知與理性思考的完美結(jié)合，不失為一種好辦法.

3試題評(píng)價(jià)

3.1突出素養(yǎng)導(dǎo)向，彰顯數(shù)學(xué)本質(zhì)

本題考查數(shù)學(xué)新概念的學(xué)習(xí)，在給出“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”的新定義后，經(jīng)歷研究新知識(shí)的過(guò)程，從特殊到一般有邏輯地開展思考，符合學(xué)生的認(rèn)知路徑，考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解能力、遷移能力及思維嚴(yán)謹(jǐn)性，同時(shí)發(fā)展了學(xué)生的抽象能力、幾何直觀、推理能力、運(yùn)算能力等核心素養(yǎng).該題綜合了四邊形、全等三角形、相似三角形、等腰三角形、銳角三角形函數(shù)、勾股定理、隱圓等知識(shí)，創(chuàng)新了核心知識(shí)的考查方式.這在新教材使用時(shí)，有助于引導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)依標(biāo)扣本，回歸學(xué)科本質(zhì)，關(guān)注綜合實(shí)踐，在情境化教學(xué)中靈活應(yīng)用舊知解決新問(wèn)題.

3.2加大過(guò)程開放，啟迪創(chuàng)新思維

該壓軸題題目取材新穎，思維層次豐富，主要滲透了轉(zhuǎn)化、方程、分類討論、類比探究、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)學(xué)生思維的靈活性、發(fā)散性和創(chuàng)新性進(jìn)行綜合考查，具有較強(qiáng)的選拔功能；尤其是第（3）問(wèn)讓學(xué)生在前面經(jīng)驗(yàn)積累的基礎(chǔ)上先動(dòng)手畫出符合條件的圖形再求線段BN的長(zhǎng)度，可以用相似，可以用三角函數(shù)，也可以借助四點(diǎn)共圓用托勒密定理，甚至還可以用勾股定理，其解題過(guò)程開放、解題方法多元、解題視角多樣，充分彰顯了新課標(biāo)的核心素養(yǎng).

4教學(xué)導(dǎo)向

4.1堅(jiān)持教考一致，引導(dǎo)回歸教材

本題創(chuàng)設(shè)了數(shù)學(xué)知識(shí)之間內(nèi)在關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)情境，在特殊四邊形已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，以“新定義”為背景，要求學(xué)生運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)，對(duì)一類新圖形的性質(zhì)進(jìn)行探究.試題引導(dǎo)教師數(shù)學(xué)教學(xué)要立足課本，用好教材、用活教材，做到“題在書外，理在書中”；關(guān)注課本例、習(xí)題，尤其是課本上關(guān)于知識(shí)點(diǎn)的推理，要重視知識(shí)的習(xí)得過(guò)程，幫助學(xué)生理解知識(shí)背后的數(shù)學(xué)原理.

4.2關(guān)注一題多解，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

本題設(shè)計(jì)具有綜合性、創(chuàng)新性、開放性，著重考查學(xué)生思維過(guò)程以及創(chuàng)新素養(yǎng)發(fā)展水平，不論是第（2）問(wèn)還是第（3）問(wèn)都鼓勵(lì)學(xué)生從多角度、多途徑去思考和解決問(wèn)題，為有不同經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生提供更多的思考切入點(diǎn)，展現(xiàn)思維的廣度.在解題教學(xué)中，教師不僅要發(fā)散學(xué)生思維，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同的解題思路和解題方法、一題多解，更要善于從一道舊題出發(fā)、一題多變，不斷衍生出新問(wèn)題，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)多元思考、掌握思辨能力、鍛煉整合能力、培養(yǎng)遷移能力等.

4.3踐行新課標(biāo)理念，落實(shí)結(jié)構(gòu)化教學(xué)

《課標(biāo)（2022年版）》指出，要改變過(guò)于注重以課時(shí)為單位的教學(xué)設(shè)計(jì)，推進(jìn)單元整體教學(xué)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的整體理解與把握，幫助他們建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，形成科學(xué)的思維習(xí)慣^[1].在本道壓軸題中，學(xué)生能自覺(jué)地循著已積累的“特殊四邊形”的學(xué)習(xí)路徑，探究“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形的性質(zhì)”，形成正確的結(jié)論和方法.在日常教學(xué)中，教師需要對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，引導(dǎo)學(xué)生用“聯(lián)系”的眼光去思考，把“新知”與“已有”和“已學(xué)”聯(lián)系、與“未有”和“未學(xué)”勾連，讓學(xué)生真正理解知識(shí)背后隱藏的思想方法，形成結(jié)構(gòu)化的思維方式.

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2022年版[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：85-86.

作者簡(jiǎn)介化靜靜（1988—），女，河南新鄉(xiāng)人，碩士，中學(xué)一級(jí)教師；主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育.