【摘要】針對(duì)解題教學(xué)中重記憶輕理解，重結(jié)果輕過(guò)程等問(wèn)題，通過(guò)對(duì)一道試題的解題探索，分析知識(shí)結(jié)構(gòu)化整合的過(guò)程，歸納結(jié)構(gòu)化視角下數(shù)學(xué)解題的三個(gè)階段：求解、求源、求新.由此啟發(fā)解題的課時(shí)教學(xué)中，教師應(yīng)該重視鼓勵(lì)學(xué)生開拓思維，一題多解；引導(dǎo)學(xué)生追求本質(zhì)，建立聯(lián)系；帶領(lǐng)學(xué)生變式推廣，更新結(jié)構(gòu).

【關(guān)鍵詞】結(jié)構(gòu)化；解題探索；解題教學(xué)

解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究的基本活動(dòng).隨著教育思想觀念的發(fā)展，數(shù)學(xué)解題不僅僅是獲得結(jié)論或解，更要注重解決問(wèn)題的過(guò)程、策略和思維^[1].《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出課程內(nèi)容要結(jié)構(gòu)化整合，探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑.重視數(shù)學(xué)結(jié)果的形成和過(guò)程，處理好過(guò)程與結(jié)果的關(guān)系^[2].結(jié)構(gòu)化指的是將知識(shí)碎片整合為一個(gè)知識(shí)體系，解題作為關(guān)聯(lián)知識(shí)、思維、問(wèn)題的紐帶，是知識(shí)進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合的重要載體.

然而，受傳統(tǒng)解題觀的影響，實(shí)際解題教學(xué)過(guò)程重記憶輕理解，重結(jié)果輕過(guò)程，忽視了學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的構(gòu)建和遷移，導(dǎo)致知識(shí)碎片化、學(xué)科思維被虛化^[3].波利亞在著作《怎樣解題》中，提出了解題的四個(gè)環(huán)節(jié)：理解題目、設(shè)計(jì)方案、執(zhí)行方案和回顧.眾多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了實(shí)踐，但大多追求一般化推廣，而忽視了揭示如何實(shí)現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)化的路徑^[4].

鑒于此，本文以一道幾何題的解題探索過(guò)程為例，基于結(jié)構(gòu)化視角，揭示通過(guò)數(shù)學(xué)解題實(shí)現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)化的路徑，為解題教學(xué)提供一些啟發(fā).

1結(jié)構(gòu)化視角下的解題理念

在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，由于問(wèn)題的條件多、聯(lián)系多，使得解題的方向多、方法多，故如何找準(zhǔn)方向，精準(zhǔn)定位問(wèn)題的本質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.結(jié)構(gòu)化視角下的數(shù)學(xué)解題，就是要搭建問(wèn)題、條件之間的橋梁，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)，在遇到同一類問(wèn)題時(shí)，能夠迅速調(diào)動(dòng)知識(shí)結(jié)構(gòu)，解決問(wèn)題.基本過(guò)程可以概括如下：

（1）求解.調(diào)動(dòng)已有零碎經(jīng)驗(yàn)或已形成的部分結(jié)構(gòu)，進(jìn)行解題探索，不能滿足于一種方法，而是要從不同視角分析，獲得同一視角下的多種解法，不同視角下的不同解法.

（2）求源.回顧解題的思維過(guò)程，分析每種解法的數(shù)學(xué)本質(zhì).第一，回顧基本路徑，即“一般的解決過(guò)程”；第二，回顧關(guān)鍵原理，即“解決過(guò)程的依據(jù)”；第三，回顧思想方法，即“解決過(guò)程的思維”，層層遞進(jìn).進(jìn)一步的，分析不同解題方法的相同與不同之處，從特殊到一般，建立解決同一類問(wèn)題的知識(shí)結(jié)構(gòu).

（3）求新.結(jié)構(gòu)建立后，回歸到問(wèn)題的變式推廣，經(jīng)歷知識(shí)結(jié)構(gòu)的具體運(yùn)用，在問(wèn)題解決中強(qiáng)化舊結(jié)構(gòu)，在發(fā)現(xiàn)新思路中更新結(jié)構(gòu).變式推廣主要的三個(gè)方向：其一，對(duì)條件的一般化推廣，獲得更一般的規(guī)律；其二，對(duì)條件的特殊化處理，發(fā)現(xiàn)特殊結(jié)論；其三，置換問(wèn)題背景，變中尋找不變.

通過(guò)“求解—求源—求新”三個(gè)進(jìn)階過(guò)程，從組織零碎經(jīng)驗(yàn)，到發(fā)現(xiàn)解決一類數(shù)學(xué)問(wèn)題背后的基本路徑、關(guān)鍵原理和思想方法，進(jìn)而以此為錨點(diǎn)建立結(jié)構(gòu)，通過(guò)一般化、特殊化、置換背景等變式推廣，強(qiáng)化和更新結(jié)構(gòu)，提高遷移水平.下面，以一道幾何題為例，闡明結(jié)構(gòu)化視角下的數(shù)學(xué)解題探索過(guò)程，并總結(jié)歸納經(jīng)驗(yàn)，啟發(fā)解題教學(xué).

2結(jié)構(gòu)化視角下數(shù)學(xué)解題探索

題目如圖1，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使AE=AC，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)F，連結(jié)EF，使∠AFE=∠ADC.

（1）若∠AFE=60°，CD為直徑，求∠ABD的度數(shù).

（2）求證：①EF∥BC；②EF=BD.

2.1求解——多元視角下探索問(wèn)題

本文僅討論該題的最后一問(wèn).最后一問(wèn)直接讓學(xué)生證明線段相等，省去猜想的過(guò)程，簡(jiǎn)化了問(wèn)題難度，但如果改成“線段EF與BD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？”則更有數(shù)學(xué)探究的味道.通過(guò)探索，有以下7種解法.

視角一通過(guò)構(gòu)造全等三角形，證明線段相等

解法1如圖2，在BCD上取點(diǎn)G，使得DG=AC，因?yàn)镈G=AC，所以∠DBG=∠ADC，AC=DG，因?yàn)锳C=AE，所以DG=AE，因?yàn)椤螪GB=∠BCD=∠EAF，所以△DGB≌△EAF（AAS），所以EF=BD.如圖3所示，還可以過(guò)點(diǎn)C作CG∥AD交圓于點(diǎn)G，由圓周角相等易證AC=DG，后續(xù)證明同前.

解法2如圖4，在BCD上取點(diǎn)G，使得BG=AC，所以∠BDG=∠ADC，AC=BG，因?yàn)锳C=AE，所以BG=AE，因?yàn)椤螪GB=∠BCD=∠EAF，所以△BGD≌△EAF（AAS），所以EF=BD.如圖5所示，還可以過(guò)點(diǎn)A作AG∥BC交圓于點(diǎn)G，由圓周角相等易證AC=BG，后續(xù)證明同前.

解法3如圖6，在ADC上取點(diǎn)H，使得AH=BD，所以AH=BD，∠ACH=∠BCD=∠EAF，因?yàn)椤螦HC=∠ADC=∠EFA，AC=AE，所以△ACH≌△EAF（AAS），所以EF=AH=BD.如圖7所示，還可以過(guò)點(diǎn)B作BH∥AD交圓于點(diǎn)H，由圓周角相等易證AH=BD，后續(xù)證明同前.

解法4如圖8所示，在ADC上取點(diǎn)H，使得CH=BD，所以CH=BD，∠CAH=∠BCD=∠EAF，因?yàn)椤螦HC=∠ADC=∠EFA，AC=AE，所以△CAH≌△EAF（AAS），所以EF=CH=BD.如圖9所示，還可以過(guò)點(diǎn)D作DH∥BC交圓于點(diǎn)H，由圓周角相等易證CH=BD，后續(xù)證明同前.

視角二通過(guò)平行構(gòu)造相似三角形，利用等比關(guān)系證明線段相等

解法5如圖10所示，過(guò)點(diǎn)D作DM∥BC，交AF于點(diǎn)M，易得，EF∥BC，所以DM∥EF，所以△ADM∽△AEF，所以ADAE=DMEF，∠AFE=∠AMD=∠ADC因?yàn)椤螦CD=∠ABD，所以△BDM∽△CAD，所以DMAD=BDAC，即DMBD=ADAC，因?yàn)锳C=AE，所以DMEF=DMBD，所以EF=BD.

解法6如圖11所示，延長(zhǎng)CB，EA，交于點(diǎn)N，由上一小題可知，EF∥BC，所以△AEF∽△ANB，所以ANAE=BNEF，所以ANAC=BNEF，因?yàn)椤螦DB=∠ACB，所以△NDB∽△NCA，所以ANAC=BNBD，所以EF=BD.

視角三通過(guò)尺規(guī)作圖發(fā)現(xiàn)等圓心角所對(duì)弦相等

解法7如圖12所示，過(guò)EA作中垂線，以點(diǎn)A或點(diǎn)E為圓心，圓O的半徑長(zhǎng)為半徑作圓，與中垂線交于點(diǎn)P（由AC與點(diǎn)O的位置決定），然后以點(diǎn)P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑作⊙P.假設(shè)點(diǎn)F不在⊙P上，在AQE上取一點(diǎn)Q，因?yàn)椤裀與⊙O為等圓，且EA=AC，所以∠AQE=∠ADC，若點(diǎn)F不在⊙P上，∠AFE≠∠ADC，與條件∠AFE=∠ADC矛盾，所以點(diǎn)F在⊙P上，又因?yàn)椤螧CD=∠EAF，所以EF=BD.當(dāng)然，此處采用正弦定理可以直接得到⊙P與⊙O為等圓，但是在初中階段并不鼓勵(lì)此方法.

2.2求源——不同解法間歸納聯(lián)系

解題除了解決問(wèn)題，還要回顧過(guò)程，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，形成套路.彭達(dá)浩等總結(jié)教解題既要教套路讓學(xué)生明白具體程序；也要教套路背后蘊(yùn)含的原理；還要教套路形成過(guò)程中的數(shù)學(xué)思想^[5].基于此，本文在吸收以上觀點(diǎn)的基礎(chǔ)上，從基本路徑、關(guān)鍵原理和思想方法三個(gè)層面分析不同解法的本質(zhì)，以發(fā)現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系，抽象一般規(guī)律.

首先，分析視角一中的解法.無(wú)論哪種解法，都指向利用全等三角形證明線段相等.基本路徑主要是通過(guò)線段相等的問(wèn)題，聯(lián)想到全等三角形，然后構(gòu)造全等三角形.

在圓內(nèi)通過(guò)平行線構(gòu)造等弦，能夠精準(zhǔn)定位構(gòu)造點(diǎn)的位置，是一種常用的套路，體現(xiàn)課標(biāo)強(qiáng)調(diào)的發(fā)展學(xué)生尺規(guī)作圖能力的要求.但是，無(wú)論是直接構(gòu)造全等三角形，還是通過(guò)作平行線構(gòu)造全等三角形，都是通過(guò)圓周角定理切入，所以全等三角形的性質(zhì)、圓周角定理，是此類解法的關(guān)鍵原理.

從思想方法層面看，將線段長(zhǎng)通過(guò)圓周角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用全等三角形證明線段相等，從二維聚焦到一維，都體現(xiàn)著化歸思想.

其次，分析視角二中的解法.視角二中，無(wú)論哪種解法，都指向利用相似三角形的等比例線段證明線段相等.基本路徑是先根據(jù)平行線條件，聯(lián)想到構(gòu)造相似三角形，然后探索線段比例關(guān)系證明線段相等.此外，解法6的思維起點(diǎn)，也可以是已有兩組角相等，從而聯(lián)想到構(gòu)造相似三角形.

平行線與相似三角形之間的關(guān)系緊密，因?yàn)槠叫芯€為相似三角形提供了角相等的條件，而此題中在已知EF∥BC的基礎(chǔ)上，構(gòu)成相似三角形的平行線有3種可能，即（1）過(guò)點(diǎn)D作平行線；（2）延長(zhǎng)EA和CB交于一點(diǎn)；（3）連接EC并延長(zhǎng)與FB延長(zhǎng)線交于一點(diǎn).但最后只有（1）與（2）可用，關(guān)鍵在于第（3）種思路未將已知條件有效勾連.此外，解法5中將ADAE轉(zhuǎn)化為ADAC，解法6中，將ANAE轉(zhuǎn)化為ANAC也是突破問(wèn)題的關(guān)鍵，因此，利用平行線構(gòu)造相似三角形，以及線段的等量代換，是此類解法的關(guān)鍵原理.

從思想方法層面看，利用一組相似三角形的邊長(zhǎng)比例關(guān)系，通過(guò)等量代換獲得另一組相似三角形，從而獲得線段的等比關(guān)系，巧妙地在數(shù)與形之間轉(zhuǎn)化，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

最后，分析視角三中的解法.在圓背景下，要證明等角所對(duì)的弦相等，容易聯(lián)想到在同圓或等圓中，圓周角相等，所對(duì)的弦相等.因此，從線段相等的問(wèn)題，以及所對(duì)角相等的條件出發(fā)，聯(lián)想到構(gòu)造等圓進(jìn)行證明，是此類解法的基本路徑.

那么如何根據(jù)AE=AC以及∠AFE=∠ADC構(gòu)造等圓呢？方法有2種，第一種是通過(guò)構(gòu)造△AEF的外接圓，證明兩個(gè)圓的半徑相等；另一種是先構(gòu)造等圓再證明點(diǎn)A，E，F(xiàn)均在等圓上.如解法7采用第二種.而無(wú)論是構(gòu)造外接圓還是構(gòu)造等圓，均指向?qū)W生尺規(guī)作圖的能力，所以通過(guò)中垂線交點(diǎn)或中垂線及半徑長(zhǎng)，從而找到另一個(gè)圓的圓心位置，是這此類解法的關(guān)鍵原理.

從思想方法層面看，此類解法將線段相等的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等圓中弧或圓周角相等的問(wèn)題，把直線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為曲線問(wèn)題，體現(xiàn)了化歸思想.

分析三種解題視角本質(zhì)上的區(qū)別與聯(lián)系，構(gòu)建一般化的知識(shí)結(jié)構(gòu)，如圖13所示.在化歸思想的統(tǒng)攝下，從二維到一維，而相似三角形的解法則體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合之美.

2.3求新——變式推廣中更新結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)要重視創(chuàng)新，就是要不斷改變習(xí)慣性思維.知識(shí)的結(jié)構(gòu)化雖有助于遷移，但不能成為限制創(chuàng)新的枷鎖.在不同背景下，有解決問(wèn)題的新方法、新思路應(yīng)該吸收到原結(jié)構(gòu)中，不斷更新結(jié)構(gòu).因此，知識(shí)結(jié)構(gòu)是動(dòng)態(tài)變化的，必須在不斷實(shí)踐中繼承、完善和發(fā)展.

2.3.1對(duì)條件的一般化處理

變式1將問(wèn)題中AE=AC的條件改為AE=2AC，如圖14所示，求線段EF與BD數(shù)量關(guān)系.問(wèn)題起點(diǎn)由相等問(wèn)題變成了比例問(wèn)題，調(diào)整解題思路如下：

條件的一般化處理

思路1將比例問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段相等問(wèn)題.如圖15所示，分別取AE和AF的中點(diǎn)G和H，連接GH為△AEF的中位線，EF=2GH.這樣就將圖形轉(zhuǎn)化為原題的圖形，結(jié)合前述的7種解法，均可以證明GH=BD，得EF=2BD.

思路2直接利用相似三角形處理，如圖16，類比原題視角一的4種全等構(gòu)造法，構(gòu)建△BDG∽△FEA，相似比為1∶2，得EF=2BD.

進(jìn)一步將問(wèn)題中AE=AC的條件改為AE=nAC，求線段EF與BD數(shù)量關(guān)系.有了上述經(jīng)驗(yàn)，思路如下：

思路3將比例問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段相等問(wèn)題.分別取AE和AF的n等分點(diǎn)，G和H，易得EF=nGH.這樣就將圖形轉(zhuǎn)化為原題圖形，易得EF=nBD.

思路4直接利用相似三角形處理.類比視角一的4種構(gòu)造法，構(gòu)建△BDG∽△FEA，相似比為1∶n，得EF=nBD.

通過(guò)條件的一般化推廣，知識(shí)結(jié)構(gòu)可以更新為如圖17所示.

2.3.2對(duì)條件的特殊化處理

條件的特殊化處理變式2在原問(wèn)題基礎(chǔ)上，增設(shè)條件AB∥CD，如圖18所示，則可得特殊的結(jié)論EF=AE=BD=AC.思路如下：

思路5利用平行證明等腰三角形，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)切入.由前述經(jīng)驗(yàn)可得EF=BD，又因?yàn)锳B∥CD，所以∠ADC=∠EAF=∠EFA，因?yàn)镋F=AE，又因?yàn)锳E=AC，所以EF=AE=BD=AC.

思路6利用平行獲得等圓周角，利用圓周角與弦的關(guān)系切入.由前述經(jīng)驗(yàn)可得EF=BD，又因?yàn)锳B∥CD，所以∠BDC=∠ABD，因?yàn)锳D=BC，所以AC=BD，所以EF=AE=BD=AC.

通過(guò)條件的特殊化處理，發(fā)現(xiàn)新思路，知識(shí)結(jié)構(gòu)更新為如圖19所示.

（3）置換問(wèn)題的背景

在不同的背景下，是否所有問(wèn)題都可以遷移此知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行處理呢？因此，有必要進(jìn)一步拓展，改變問(wèn)題背景.

變式3如圖20所示，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連結(jié)AE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE交正方形外角∠DCG的平分線于點(diǎn)F，求證AE=EF.

根據(jù)已有知識(shí)結(jié)構(gòu)，線段相等問(wèn)題，可以關(guān)聯(lián)到構(gòu)造全等三角形、構(gòu)造相似三角形、構(gòu)造隱圓、構(gòu)造等腰三角形，分別進(jìn)行嘗試.

思路1如圖21所示，關(guān)注到∠ECF角度不變?yōu)?35°，聯(lián)想到可以在AB上取一點(diǎn)H，連結(jié)EH，使得∠AHE=135°，可得BE=BH，AH=EC進(jìn)而證明△AHE≌△ECF（ASA），得AE=EF.

思路2如圖22所示，連結(jié)AC，則∠ACF=90°，因?yàn)椤螦EF=90°，所以點(diǎn)A，E，C，F(xiàn)同在⊙O上，又因?yàn)椤螦CB=45°，所以∠AFE=45°，所以△AEF是等腰直角三角形，所以AE=EF.

整體上，在化歸思想指引下，結(jié)合運(yùn)動(dòng)變化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，對(duì)條件進(jìn)行加工，指向問(wèn)題解決的一般過(guò)程.如構(gòu)造全等三角形時(shí)，不僅可以考慮線段轉(zhuǎn)化，還可以考慮角度的轉(zhuǎn)化，但尋找的線段、角度都是變化中的不變量.如構(gòu)造隱圓后，眼光不僅要關(guān)注圓周角，還應(yīng)該關(guān)注弦、弧等不變的量，從而獲得其他相關(guān)要素的關(guān)系.

3教學(xué)啟示

通過(guò)對(duì)一道幾何題的解題探索過(guò)程，揭示了數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)化建構(gòu)的過(guò)程，將其歸納為求解、求源、求新三個(gè)階段.基于此，在解題教學(xué)中，有如下啟示.

3.1一題多解組織零碎經(jīng)驗(yàn)

解題過(guò)程要注重探究到位，形成一題多解.教師的思維要開放，不要固化思想，而限制了學(xué)生的思路.解題教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生從不同條件或問(wèn)題為起點(diǎn)聯(lián)想.如本題中從平行線條件出發(fā)聯(lián)想到相似三角形，從等邊等對(duì)角條件聯(lián)想到隱圓，從線段相等問(wèn)題出發(fā)聯(lián)想到全等三角形、等腰三角形等.

3.2求同存異構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)

事物都有聯(lián)系，而尋找不同解法的聯(lián)系，是對(duì)解題過(guò)程的進(jìn)一步抽象.解題教學(xué)中，教師應(yīng)在已有多解的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)，發(fā)現(xiàn)不同解法的相同與相異之處，構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu).如本題分析了三種視角下不同解法共通的基本路徑、關(guān)鍵原理和思想方法，挖掘本質(zhì)，然后又聯(lián)系三種不同視角，從相等線段出發(fā)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

3.3變式推廣更新固有觀念

通過(guò)一道或幾道題的經(jīng)驗(yàn)構(gòu)建的知識(shí)結(jié)構(gòu)是不完善的，通過(guò)學(xué)習(xí)的深入，認(rèn)知提高，知識(shí)結(jié)構(gòu)必定要不斷被更新.因此，解題教學(xué)中，學(xué)生構(gòu)建的知識(shí)結(jié)構(gòu)，需要通過(guò)變式推廣獲得更一般的結(jié)論、發(fā)現(xiàn)特殊結(jié)論等.如本文通過(guò)對(duì)條件的一般化、特殊化、置換問(wèn)題背景等處理，對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了更新.

3.4尺規(guī)作圖創(chuàng)新思維方式

平面幾何問(wèn)題，特別是運(yùn)動(dòng)問(wèn)題背景下，尺規(guī)作圖能夠體現(xiàn)幾何圖形構(gòu)成對(duì)象之間的內(nèi)在關(guān)系，是分析幾何圖形結(jié)構(gòu)的重要有效手段.幾何教學(xué)中，教師應(yīng)該要讓學(xué)生親身體驗(yàn)尺規(guī)作圖，提升尺規(guī)作圖能力.

總之，數(shù)學(xué)解題的一般過(guò)程可以分為求解、求源、求新三個(gè)階段，而在三個(gè)階段不斷交替的過(guò)程中，解題能力才能循序漸進(jìn)的提升.因此，在解題的課時(shí)教學(xué)中，教師也應(yīng)基于解題的這三個(gè)階段，設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化.

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作者簡(jiǎn)介

李德寶（1972—），男，安徽宿州人，中學(xué)高級(jí)教師；主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)及教材教法研究.

謝耀聰（1994—），男，浙江杭州人，中學(xué)一級(jí)教師；主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)及教學(xué)方法研究.