【摘要】圍繞2024年春晚劉謙表演的魔術(shù)《守歲共此時(shí)》展開(kāi)，通過(guò)回顧魔術(shù)步驟，揭示數(shù)學(xué)原理.之后深入探究魔術(shù)與約瑟夫環(huán)的關(guān)系，借助列表歸納、二進(jìn)制分析等方式解釋魔術(shù)牌數(shù)、留存牌、“七字箴言”的關(guān)聯(lián).最后“化身”劉謙，對(duì)魔術(shù)進(jìn)行“改造升級(jí)”，為魔術(shù)與數(shù)學(xué)融合、拓展應(yīng)用及教學(xué)提供新思路.

【關(guān)鍵詞】魔術(shù)；約瑟夫環(huán)；二進(jìn)制

2024年春晚，劉謙表演的魔術(shù)《守歲共此時(shí)》通過(guò)一系列看似隨機(jī)實(shí)則精心設(shè)計(jì)的操作，將撕碎的撲克牌奇跡般地拼接成一張完整的牌.不少學(xué)者紛紛對(duì)其背后的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行了揭秘^[1-4]，本文將在此基礎(chǔ)上更加深入地解釋其原理，并對(duì)魔術(shù)進(jìn)行“改造”與“升級(jí)”，讓大家從模仿、解釋劉謙，邁向?qū)W做甚至“超越”劉謙.

1回顧魔術(shù)過(guò)程，揭秘?cái)?shù)學(xué)“魔力”

步驟一首先把四張不同的撲克牌進(jìn)行對(duì)折，之后撕開(kāi)面向下對(duì)疊起來(lái)，名字里有幾個(gè)字，就按順序從上方拿幾張牌到下方.此時(shí)形成了“12341234”的形式，可以看作是一個(gè)周期為4的數(shù)列.無(wú)論按順序移動(dòng)多少?gòu)埳戏降呐频较路?，撲克牌的周期依然?，第四張牌永遠(yuǎn)與最后一張牌相同，如圖1所示.

步驟二拿起最上方的三張牌，插到剩下卡片中間的任意一個(gè)位置，但不能放在最下面，這樣做的目的是把首尾變成相同的牌.為了方便，把除了首尾的所有牌都記成.之后把最上方的那張牌藏起來(lái)，也就是相當(dāng)于把開(kāi)始的第四張牌藏起來(lái)，后續(xù)我們只需要關(guān)注最后一張牌即可，如圖2所示.

步驟三無(wú)論是南方人、北方人或者不確定自己是南方人還是北方人，拿出一張、兩張還是三張牌插到中間的某個(gè)位置，都不會(huì)影響最后一張牌，結(jié)果如圖3所示.

步驟四男生從最上方拿一張牌，女生從最上方拿兩張牌，扔出去.男生扔完還剩六張牌，女生扔完還剩五張牌，底部這張牌依舊“紋絲不動(dòng)”，如圖4所示.

步驟五七字箴言“見(jiàn)證奇跡的時(shí)刻”，每念一個(gè)字，從最上方拿一張牌放到最下方.男生的目標(biāo)牌來(lái)到了第5張牌的位置上，女生的目標(biāo)牌來(lái)到了第3張牌的位置上，如圖5所示.

步驟六按順序念“好運(yùn)留下來(lái)，煩惱丟出去”，念“好運(yùn)留下來(lái)”時(shí)，把最上方的一張牌放到最下面；念“煩惱丟出去”時(shí)，把此時(shí)最上方的一張牌扔出去.重復(fù)循環(huán)這兩句話，直至只剩最后一張牌.仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，女生每輪牌的“走位”實(shí)際上與男生的下一輪一樣.男生最后再重復(fù)一輪，此時(shí)男女生都成功地扔掉了除目標(biāo)牌外的幾張牌，于是把藏好的牌拿出，可以順利地見(jiàn)證“奇跡”，如圖6所示.

當(dāng)牌有6張時(shí)最后剩下的是第5張牌，當(dāng)牌有5張時(shí)最后剩下的是第3張牌，這有什么一般的規(guī)律嗎？其實(shí)，這涉及到一個(gè)非常經(jīng)典的數(shù)學(xué)游戲——“約瑟夫環(huán)”.

2魔術(shù)與“約瑟夫環(huán)”

我們先從一個(gè)小故事說(shuō)起.傳說(shuō)2000多年前，約瑟夫與他的朋友，以及其他的39名士兵為了不被羅馬軍隊(duì)抓到，決定了一個(gè)自殺方式：他們圍成一個(gè)大圈，編號(hào)為1～41號(hào).從1號(hào)開(kāi)始，每個(gè)人按照順序殺掉自己旁邊的人，如1號(hào)殺掉2號(hào)，3號(hào)殺掉4號(hào)，以此類(lèi)推，一輪輪循環(huán)后直至剩下最后一個(gè)人.最后只剩下了約瑟夫和他的朋友，他倆一起投降保住了性命.

重新審視春晚的魔術(shù)，撲克牌在步驟一對(duì)疊后，這八張牌其實(shí)已經(jīng)形成了一個(gè)首尾相接的“環(huán)”.在魔術(shù)的步驟六中，其實(shí)也就是5個(gè)人或6個(gè)人在執(zhí)行約瑟夫的“殺法”，看誰(shuí)留到最后；也可以說(shuō)約瑟夫和其他的士兵就是41張牌，在進(jìn)行“好運(yùn)留下來(lái)，煩惱丟出去”，看看最后是第幾張牌剩了下來(lái).那么約瑟夫是怎么快速找到“存活”位置的呢？我們不妨用列表的方法，把部分?jǐn)?shù)據(jù)列出（如表1所示），慢慢尋找規(guī)律.

通過(guò)觀察表1，我們可以發(fā)現(xiàn)如下特點(diǎn)：

發(fā)現(xiàn)一當(dāng)總?cè)藬?shù)N=2a時(shí)，最終留下來(lái)的位置f=1.

我們以總?cè)藬?shù)是8人時(shí)為例：如圖7，一圈后偶數(shù)號(hào)位的人被殺；第二圈后只剩下了1號(hào)和5號(hào).也就是說(shuō)，每殺一輪我們可以看作是一次循環(huán)，每一次循環(huán)結(jié)束后都會(huì)保證依然是2的冪次.開(kāi)始是2a，循環(huán)一次變成2^a-1，循環(huán)兩次變成2^a-2，一直循環(huán)最終得到20，也就是1.

發(fā)現(xiàn)二當(dāng)總?cè)藬?shù)是N=2^a+b（b＜2^a）時(shí)，最終留下來(lái)的位置f=2b+1.

總?cè)藬?shù)為2^a時(shí)，“存活”的位置是起始位1號(hào).那其他人數(shù)時(shí)又有什么規(guī)律呢？觀察表一的第二行的數(shù)據(jù)，首先是1這一個(gè)奇數(shù)，之后是1，3兩個(gè)奇數(shù)，接著是1，3，5，7四個(gè)連續(xù)的奇數(shù)，然后是1，3，5，7，9，11，13，15八個(gè)連續(xù)的奇數(shù)，以此類(lèi)推……但是要想得到答案，就必須想辦法驗(yàn)證，不能只靠“片面的歸納”^[5].先猜想后驗(yàn)證是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法.費(fèi)馬大定理、哥德巴赫猜想、四色猜想等數(shù)學(xué)史上著名的猜想引領(lǐng)著數(shù)學(xué)學(xué)者們前仆后繼地研究，從而催動(dòng)了數(shù)論、組合論等重要數(shù)學(xué)分支的發(fā)展及應(yīng)用^[6].我們應(yīng)該如何進(jìn)行驗(yàn)證呢？

我們采取從已知推未知的方式，總?cè)藬?shù)2^a+b實(shí)質(zhì)上就是總?cè)藬?shù)為2^a時(shí)的特殊情況.以7人為例（7=2²+3），開(kāi)始操作后，如圖8所示，先殺3次，當(dāng)2，4，6號(hào)被殺后，此時(shí)剩下4人.而當(dāng)總?cè)藬?shù)為4人時(shí)符合2^a人，依據(jù)發(fā)現(xiàn)一得到的結(jié)論，此時(shí)最終存活的人位置是起始位，也就是7號(hào)位.

也就是說(shuō)，當(dāng)總?cè)藬?shù)是2^a+b時(shí)，我們求最終存活的人的位置時(shí)，可以看作是先殺b次，剩下2^a人，當(dāng)總?cè)藬?shù)N=2a時(shí)，最終留下來(lái)的位置為起始位，如圖9所示，此時(shí)2b+1是起始位置，也就是說(shuō)最終存活的人的位置為2b+1.

當(dāng)總?cè)藬?shù)是N=2^a+b（b＜2^a）時(shí)，最終留下來(lái)的位置f=2b+1.我們可以將其整理為數(shù)學(xué)表達(dá)式f（2^a+b）=2b+1.本文提供另一種角度對(duì)這個(gè)表達(dá)式進(jìn)行思考——二進(jìn)制.我們還是采取從特殊到一般的思路，以數(shù)字100為例，100用二進(jìn)制表示為100（10）=64+32+4=1×26+1×25+0×24+0×23+1×22+0×21+0×20=1100100（2），即二進(jìn)制數(shù)是2的冪次的系數(shù)按一定順序排列組成的數(shù).當(dāng)N=2^a+b=100時(shí)，100=26+36=26+25+22，拿掉最高次冪26，剩下36對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)是100100，這個(gè)數(shù)就是b.所以求2b+1的過(guò)程其實(shí)就是將b對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)整體左移一位，并在后面補(bǔ)1：2（10）×100100（2）+1（10）=1001001（2）.此過(guò)程很容易理解，100100（2）其實(shí)就是25+22，對(duì)其整體乘以2得26+23，也就是1001000（2），最后加上的1把最后一位的0變成1，得到1001001（2）.所以，對(duì)于f（2a+b）=2b+1，我們可以理解為先對(duì)2a+b所表示的數(shù)字用二進(jìn)制來(lái)進(jìn)行表示，之后將二進(jìn)制形式中最前面的數(shù)字1移動(dòng)到最后的位置上，將其轉(zhuǎn)為十進(jìn)制，就得到了2b+1的形式.

我們回到劉謙的魔術(shù)：當(dāng)N=2a+b=6時(shí)，6=22+2，則a=2，b=2，f=2b+1=5;當(dāng)N=2a+b=5時(shí)，5=22+1，則a=2，b=1，f=2b+1=3.所以當(dāng)牌有6張時(shí)，最終剩下的一定是第5張牌；當(dāng)牌有5張時(shí)，最終剩下的一定是第3張牌.

事實(shí)上，當(dāng)剩下的牌數(shù)是2m-1時(shí)，進(jìn)行“約瑟夫殺法”后都會(huì)留下位置為2m-1的牌.這是因?yàn)?m-1=2^m-1+2^m-2+…+2+1用二進(jìn)制表示為111…111m個(gè)1，把最前面的1移到后面，依舊是111…111m個(gè)1.例如春晚魔術(shù)中，剩下的牌數(shù)是7=23-1，7用二進(jìn)制表示為111，把最前面的1移到后面，依舊是111，因此步驟二中一共7張牌且最后一張是目標(biāo)牌，即使不進(jìn)行步驟三、四、五，最終也會(huì)在步驟六中剩下這張目標(biāo)牌.

3“七字箴言”的奧秘

在步驟四和五中，分別丟掉了１張牌和２張牌，我們知道可以通過(guò)“七字箴言”使男生的目標(biāo)牌調(diào)整位置到第５張；女生的目標(biāo)牌調(diào)整位置到第３張.最終為使目標(biāo)牌留下，還可以丟掉其他的牌數(shù)嗎？“知其然”更要“知其所以然”，我們同時(shí)需要知道選擇“七字箴言”的原因，才能做到對(duì)魔術(shù)的“解釋”與“超越”，否則只能是“模仿”.

根據(jù)上述發(fā)現(xiàn)二得到的結(jié)論，手中牌數(shù)是２a+b（b＜２a）時(shí)，最終留下來(lái)牌的位置是２b+1.步驟四中，我們假設(shè)丟掉k張牌，剩下7-k=22+（3-k）張牌，k需要滿(mǎn)足的條件是0≤3-k≤22-1，k∈N，設(shè)箴言的字?jǐn)?shù)是y，整體牌數(shù)通過(guò)箴言字?jǐn)?shù)循環(huán)x次使目標(biāo)牌調(diào)整到需要的位置，則x（7-k）-y=2（3-k）+1，根據(jù)待定系數(shù)法，x=2，y=7，因此劉謙選擇了“七字箴言”.即丟掉0，1，2，3張牌時(shí)，選擇“七字箴言”是成立的.

接下來(lái)我們將結(jié)論一般化，同理對(duì)于2^a+1-1張牌，丟掉k張時(shí)，剩下2^a+1-1-k=2a+（2a-1-k）張牌，對(duì)任意0≤k≤2a-1，k∈N都成立，此時(shí)b=2a-1-k，f=2b+1=x（2^a+1-1-k）-y，通過(guò)待定系數(shù)法，x=2，y=2^a+1-1，因此箴言的字?jǐn)?shù)為2^a+1-1.

4新魔術(shù)“探秘之旅”

以上的討論我們解釋了劉謙的魔術(shù)，接下來(lái)我們“化身”劉謙，對(duì)魔術(shù)進(jìn)行“改造升級(jí)”—“生日奇跡：日期魔法時(shí)刻”.

環(huán)節(jié)一魔術(shù)準(zhǔn)備：準(zhǔn)備8張不同的撲克牌.

環(huán)節(jié)二撕牌：將8張牌對(duì)折、撕開(kāi)，將撕開(kāi)的一共16張牌面向下放好，拿在左手.

環(huán)節(jié)三藏牌：拿起最上面的7張牌，插到剩下卡片中間的任意一個(gè)位置，之后把最上方的牌藏起來(lái).

環(huán)節(jié)四今年生日星期幾：今年生日是周幾，就丟掉幾張牌.

環(huán)節(jié)五送上生日祝福：大家一起念“所求皆所愿，所愿皆所得，所盼皆所期”這15個(gè)字，每念一個(gè)字，就從最上方拿一張牌放到最下方.

環(huán)節(jié)六天天開(kāi)心，煩惱消失：按順序念“天天開(kāi)心，煩惱消失”.念“天天開(kāi)心”時(shí)，把最上方的一張牌放到最下面；念“煩惱消失”時(shí)，把此時(shí)的最上方的一張牌扔出去.重復(fù)循環(huán)這兩句話，直至只剩最后一張牌.

環(huán)節(jié)七見(jiàn)證奇跡的時(shí)刻：拿出最先藏好的牌，與剩下的這張牌恰恰能拼成一張完整的牌.

其實(shí)我們還可以根據(jù)春晚魔術(shù)的原理，生成無(wú)數(shù)的魔術(shù)：比如有16張牌時(shí)，在第四環(huán)節(jié)我們根據(jù)“今年生日是幾月”來(lái)丟牌，并且在第五環(huán)節(jié)送上31字的生日祝福，其他環(huán)節(jié)照常進(jìn)行即可；再比如有32張牌時(shí)，在第四環(huán)節(jié)我們根據(jù)“今年生日是幾號(hào)”來(lái)丟牌，并且在第五環(huán)節(jié)送上63字的生日祝福，其他環(huán)節(jié)照常進(jìn)行即可……無(wú)論是8張牌、16張牌、還是32張牌，箴言字?jǐn)?shù)15，31，63都是2^a+1-1（a=3，4，5）時(shí)的情況，進(jìn)行到第三環(huán)節(jié)“藏牌”后，即使不進(jìn)行四五環(huán)節(jié)，也可以在第六環(huán)節(jié)后剩下目標(biāo)牌.

約瑟夫環(huán)蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，其衍生出的各類(lèi)數(shù)學(xué)題目頻繁出現(xiàn)于眾多地區(qū)的中學(xué)模擬考試中.我們應(yīng)持續(xù)深入探索其中的奧秘，收獲更多的知識(shí)與樂(lè)趣.

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作者簡(jiǎn)介劉揚(yáng)（1999—），女，山西大同人，碩士研究生；主要從事數(shù)學(xué)教育研究.

秦奇（2001—），男，北京人，碩士研究生；主要從事數(shù)學(xué)教育研究.

侯欣（1987—），男，山東濰坊人，副教授，碩士生導(dǎo)師；主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育、教育數(shù)學(xué)的研究，主持科研與教學(xué)項(xiàng)目多項(xiàng).