摘要：“特殊與一般”是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想之一，本文中結(jié)合幾個(gè)教學(xué)探究，從三個(gè)方面介紹了如何培養(yǎng)初中生“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：特殊與一般；初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)思想

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》［1］指出，核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)是對(duì)“四基”“四能”教學(xué)目標(biāo)的繼承和發(fā)展.其中，“四基”指基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).“特殊與一般”作為中學(xué)數(shù)學(xué)的一種重要的基本思想，指的是從特殊到一般、再?gòu)囊话愕教厥馊ヌ骄繑?shù)學(xué)問題.下面筆者從幾方面淺談如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 從公式推導(dǎo)中滲透思想

探究1：推導(dǎo)多邊形內(nèi)角和定理“n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）·180°（n≥3且n為整數(shù)）”.

探究過程：教學(xué)中，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)回顧三角形內(nèi)角和.學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)過三角形的內(nèi)角和是180°.教師在教學(xué)中帶領(lǐng)學(xué)生們把一個(gè)四邊形分割成2個(gè)三角形（如圖1），從而探究出四邊形內(nèi)角和為2×180°=360°，接著又讓學(xué)生嘗試探究五邊形的內(nèi)角和，并且及時(shí)讓學(xué)生說出分割的方法（如圖2）.學(xué)生的探究熱情油然而生.

教師順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生說出“從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行分割”，把多邊形的內(nèi)角和問題從特殊的四邊形、五邊形上升到一般的n邊形的情況進(jìn)行探索總結(jié)，自然地把多邊形的內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和的問題.然后，教師大膽放手讓學(xué)生在合作中探究n邊形內(nèi)角和公式，就這樣，讓學(xué)生感受從特殊到一般的探究過程.學(xué)生很快就探究出多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為（n-2）·180°（n≥3且n為整數(shù)）.

總結(jié)：此探究中，教師靈活地設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，抓住機(jī)會(huì)對(duì)學(xué)生滲透“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想方法，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，增強(qiáng)學(xué)生的合作意識(shí)，相信這種“觀察—概括”的探究過程一定能讓學(xué)生深刻理解定理的內(nèi)涵并無形中已經(jīng)記住了公式，從而大大提高了教學(xué)效果.在以上的探究過程中，教師可以向?qū)W生指出其中的思想是“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想方法，鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)會(huì)把三角形知識(shí)遷移到多邊形的學(xué)習(xí)中.教師讓學(xué)生感受到定理的生成可以借助從特殊到一般的方法，不僅幫助學(xué)生更好、更深刻地掌握定理，還潛移默化地培養(yǎng)了學(xué)生“特殊與一般”的思維.

2 在解決規(guī)律題中形成思想

探究2：

已知

（x-1）（x+1）=x2-1，

（x-1）（x2+x+1）=x3-1，

（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1，

（x-1）（x4+x3+x2+x+1）=x5-1，

（1）根據(jù)前面各項(xiàng)的規(guī)律可得：（x-1）（xn-1+xn-2+……+x2+x+1）=（其中n＞4，且n為整數(shù)）.

（2）根據(jù)（1），求1-2+22-23+……+230-231的值.

探究過程：此題是規(guī)律探究題，教學(xué)中教師讓學(xué)生觀察式子，從特殊到一般歸納出規(guī)律，把問題轉(zhuǎn)化為2個(gè)多項(xiàng)式相乘，其中第一個(gè)多項(xiàng)式是x-1，第二個(gè)多項(xiàng)式是xn+xn-1+……+x+1.學(xué)生從第二個(gè)多項(xiàng)式特殊的最高次數(shù)1，2，3，4幾種情況中輕松發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而得到（x-1）（xn-1+xn-2+xn-3+……+x2+x+1）=xn-1.

教師順勢(shì)說出這是從特殊到一般的思維.而第（2）問，教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從一般到特殊去解決問題.學(xué)生通過對(duì)比觀察發(fā)現(xiàn)，規(guī)律式中第二個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)前面都是正號(hào)，而第（2）問中各項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)的.教師適當(dāng)提示學(xué)生注意第（1）問中的x可為正數(shù)也可為負(fù)數(shù)或零，于是學(xué)生容易想到令x為-2，這樣是從一般到特殊自然地由第（1）問的結(jié)論，得到

（-2-1）［（-2）31+（-2）30+……+（-2）2+（-2）+1］=（-2）32-1.

然后化簡(jiǎn)得到第（2）問的結(jié)果為

232-1-3即1-2323.當(dāng)然，此題還有其他的解法.

總結(jié)：此探究能讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般發(fā)現(xiàn)規(guī)律，又從一般到特殊地去靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題的全過程，從而真正形成“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想.其實(shí)對(duì)于其他規(guī)律題也一樣，不管是代數(shù)方面的，還是幾何方面的，往往都是先從特殊的幾種情況發(fā)現(xiàn)規(guī)律，實(shí)現(xiàn)從特殊到一般的抽象過程，然后又根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律運(yùn)用從一般到特殊的思維解決個(gè)別情況.在規(guī)律題的數(shù)學(xué)中，往往需要教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生積極地從特殊到一般發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后進(jìn)一步鼓勵(lì)學(xué)生大膽地用一般指導(dǎo)特殊解決問題，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律以及運(yùn)用規(guī)律的能力.

3 剖析題目，強(qiáng)化思想

探究3：如圖3，在△ABC中，∠BDC=90°，BE，CE分別平分∠ABD和∠ACD，BF，CF分別平分∠ABE和∠ACE，若∠A=40°，則∠F=.

探究過程：此題通過教師的引導(dǎo)，利用角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理，學(xué)生不難算出

∠1+∠2=180°-90°=90°，

∠ABD+∠ACD=180°-40°-90°=50°.

所以∠F=180°-90°-50°2-50°2×12=52.5°.

此題并不難解決，教學(xué)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步剖析題目，從特殊到一般進(jìn)行探究，舉一反三.若把題目中的條件一般化為∠A=n°，那么

∠ABD+∠ACD=180°-n°-90°=90°-n°，則∠F=180°-90°-90°-n°2-90°-n°2×12=34n°+22.5°

.

另外，在上述基礎(chǔ)上，教師可引導(dǎo)學(xué)生往更深一步進(jìn)行剖析.

若題目中條件繼續(xù)一般化，把∠ABD和∠ACD的平分次數(shù)推廣到m次，即

∠ABF+∠ACF=12m＼5（90°-n°），

那么，則有

∠F=180°-90°-（90°-n°）×12-（90°-n°）×12×12-（90°-n°）×12×12×12-……

-（90°-n°）×12×12×…×12m個(gè)

=90°-90°-n°21+12+122+……+12m-1.

對(duì)于初中生而言，上述式子超出了他們的計(jì)算能力，但此題到這里已經(jīng)讓學(xué)生很好地強(qiáng)化了“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想.

此題也可以從一般到特殊進(jìn)行變式，做法是對(duì)條件中∠A=n°的n具體賦值，或者將∠ABD和∠ACD的2次平分推廣到m次的情況，對(duì)m具體賦值.

總結(jié)：從一般到特殊，能讓學(xué)生學(xué)會(huì)求解一類題目.若教師善于抓住機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生剖析題目，把條件更加一般化，往往能夠抽象出更多的結(jié)論，從而更深層次挖掘出特殊到一般的規(guī)律，真正強(qiáng)化學(xué)生“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》［1］指出，數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)，主要包括三個(gè)方面，即會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.“特殊與一般”的數(shù)學(xué)基本思想體現(xiàn)了“三會(huì)”的要求，教學(xué)中，若教師善于向?qū)W生滲透“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想，并幫助學(xué)生形成和強(qiáng)化此思想方法，這樣必能提高學(xué)生在一般與特殊之間轉(zhuǎn)化的能力，從而更好地發(fā)展學(xué)生的“四基”“四能”，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

從特殊問題引申出一般性問題，通過探究學(xué)習(xí)，獲得解決方法并取得成果［2］.“特殊與一般”思想滲透于每章數(shù)學(xué)內(nèi)容中，只有教師深刻體會(huì)其中內(nèi)涵，并在日常教學(xué)中抓住一切機(jī)會(huì)挖掘相應(yīng)素材，善于運(yùn)用有效的方法進(jìn)行點(diǎn)撥與引導(dǎo)，比如在日常教學(xué)中從公式推導(dǎo)中滲透思想、在解決規(guī)律題中形成思想、通過剖析題目來強(qiáng)化思想等方法，才能讓學(xué)生真正理解從特殊到一般、從一般到特殊的思維方法，從而真正地學(xué)會(huì)“特殊與一般”這種數(shù)學(xué)思想，助力數(shù)學(xué)乃至多學(xué)科的學(xué)習(xí).

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］陳甬，蔣志華 .從特殊到一般的一個(gè)數(shù)學(xué)探究案例[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2007（3）：30-31.