謝循 嚴艷華

［摘? 要］ 在當下“問題—情境”教學模式的導向下，存在著重橫向數(shù)學化、輕縱向數(shù)學化的教學認知偏差. 然而，數(shù)學化是學生的數(shù)學學習過程，對發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)具有重要意義. 文章從培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的視角闡述數(shù)學化的具體含義，以一個具體案例——非直線追及問題，揭示數(shù)學化的思想價值，并提出幾點教學反思：一是數(shù)學化與情境化并不相悖，二是數(shù)學化不等于形式化，三是均衡的數(shù)學化教學是一個尋求過程，旨在更好地指導教學.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學化；核心素養(yǎng)；數(shù)學教學

數(shù)學化是荷蘭著名數(shù)學家及數(shù)學教育家弗賴登塔爾（H.Freudenthal）的著作《作為教育任務(wù)的數(shù)學》中的一個核心思想. 弗賴登塔爾首次提出“數(shù)學化”作為數(shù)學教育的三大基本原則之一，并且提出數(shù)學教育的目的應(yīng)該是數(shù)學化. 所謂數(shù)學化就是用數(shù)學方法觀察世界、分析研究各種具體現(xiàn)象并加以整理的過程.簡言之，“數(shù)學化就是數(shù)學地組織現(xiàn)實世界的過程”［1］.

核心素養(yǎng)是學生應(yīng)該具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展所必需的關(guān)鍵能力，培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的核心，也是實現(xiàn)育人價值的重要途徑. 《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》中關(guān)于數(shù)學核心素養(yǎng)的提升主要包括“三會”——會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界［2］. 顯然，讓學生充分經(jīng)歷數(shù)學化過程是培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的重要方式.

在新時代的課程理念背景下，《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》數(shù)次強調(diào)要將現(xiàn)實生活作為學生學習數(shù)學的一個出發(fā)點，無疑，這樣的導向?qū)τ跀?shù)學教育來說是合理的，因為以現(xiàn)實情境為開端引發(fā)學生的認知沖突，激發(fā)學生的學習興趣，這對學生來說是一種極佳的學習方式. 然而，過多關(guān)注情境創(chuàng)設(shè)而忽略問題自身的數(shù)學意義，會導致數(shù)學問題情境化與情境問題數(shù)學化這樣一個“天平”失衡. 數(shù)學化作為學生數(shù)學學習的一種重要方式，其意義何在？對此問題進行思考，有助于教師理解數(shù)學化思想，更好地看待數(shù)學化在核心素養(yǎng)培育中的地位和作用.

數(shù)學化思想

數(shù)學化是指將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言的過程. 在這方面，弗賴登塔爾接受了特萊弗斯（Treffers）關(guān)于數(shù)學化的劃分——將數(shù)學化劃分為兩種，分別為橫向數(shù)學化和縱向數(shù)學化［3］.

1. 橫向數(shù)學化，從現(xiàn)實世界走向數(shù)學世界

橫向數(shù)學化是把現(xiàn)實世界引向數(shù)學世界的過程，是數(shù)學問題解決過程中的重要階段. 具體來說，就是發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實世界中存在的數(shù)學問題及數(shù)學信息，將這些數(shù)學問題及數(shù)學信息用數(shù)學符號表示出來，即把現(xiàn)實問題表述為數(shù)學問題的過程. 如這樣一個實例：“小靜回家的路有幾條？”——小靜從學校到家要經(jīng)過一個商場，從學校到商場有三條不同的路可走，從商場到家有四條不同的路可走，那么小靜放學回家的路一共有多少條呢？這對學生來說是一個十分生活化的案例. 那么橫向數(shù)學化在這里是如何體現(xiàn)的呢？首先每一條路用線來表示，其次學校、商場、家分別用點來表示，最后只要數(shù)出兩點間有多少條線就能解決這個問題，從而自然而然地將這個現(xiàn)實問題抽象成了數(shù)學“組合”問題（如圖1所示）.

2. 縱向數(shù)學化，數(shù)學世界中符號的重塑與使用

縱向數(shù)學化是指經(jīng)歷橫向數(shù)學化將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題后，再運用數(shù)學的方法進行處理，即將符號化問題進一步抽象以達到一般化. 例如，在橫向數(shù)學化中，將現(xiàn)實問題“小靜回家的路有幾條”轉(zhuǎn)化成具有符號特征的數(shù)學“組合”問題后，教師先讓學生親自數(shù)一數(shù)一共有幾條路可以到家：首先學校到商場有3條路，其次商場到家有4條路，因此從學校到家就有3×4=12條路. 然后經(jīng)過一般化可得乘法原理：完成一件事情需要分成n個步驟，做第一步有M種不同方法，做第二步有M種不同方法……做第n步有M種不同方法，那么完成這件事就有M×M×…×M種不同方法.

3. 數(shù)學化具體過程

在數(shù)學化的過程中，橫向數(shù)學化與縱向數(shù)學化不能隨意分開，兩者的作用是相互交織、不可分割的. 數(shù)學化是一種由淺入深，具有不同層次、不斷發(fā)展的過程［4］. 一個完整的數(shù)學化過程包含四個層次，如圖2所示. 橫向數(shù)學化與縱向數(shù)學化體現(xiàn)在這四個層次中.

第一個層次是情境層次（situation level），顧名思義，這個層次與“情境”的關(guān)系密切，即現(xiàn)實世界與數(shù)學世界的聯(lián)系.在這個層次中，學生的活動是從問題情境中去思考如何解決問題. 第二個層次是指涉層次（referential level）或者稱為“model of”層次，學生在這個層次能夠根據(jù)實際情境中提出的問題得到一個數(shù)學模型，也就是說根據(jù)當前的實際背景來構(gòu)建數(shù)學模型. 第三個層次是普遍層次（general level）或者稱為“model for”層次，學生在這個層次能夠得到含有普遍意義的數(shù)學模型，同時將模型策略運用到不同情境中. 最后一個層次是形式層次（formal level），學生在這個層次可以進行純粹思維、反思及欣賞活動，這是數(shù)學對象已經(jīng)引用在數(shù)學范疇內(nèi)規(guī)范化的步驟和符號進行表述和操作的緣故［5］. 前兩個層次屬于橫向數(shù)學化，后兩個層次則屬于縱向數(shù)學化. 總的來說，數(shù)學化就是從現(xiàn)實世界到數(shù)學世界內(nèi)部，從內(nèi)部發(fā)展，再到現(xiàn)實生活中（以及應(yīng)用于其他學科）的全過程［6］. 因此，核心素養(yǎng)是學生經(jīng)歷數(shù)學化活動后得到的產(chǎn)物.

以均衡的數(shù)學化，發(fā)展學生的核心素養(yǎng)

下面以一個具體案例展示數(shù)學化的四個層次，并且揭示其培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)能力的價值.

案例 在一個湖岸邊（可將湖岸看作直線）停放著一條小船，由于纜繩突然斷開，小船被風刮跑，其方向與河岸成15°角，速度為2.5 km/h. 同時岸上有一人從同一地點開始追趕小船，已知他在岸上跑的速度為4 km/h，在湖中游的速度為2 km/h. 問：此人能否追上小船？小船能被追上的最大速度是多少？

1. 通過探究現(xiàn)實情境，學會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界

考慮到人在湖中游的速度小于小船被風刮跑的速度，如果人直接跳入湖中去追小船不可能追得上，因此，一種可行的方法是：先在岸上跑一段路后再跳入湖中去追小船. 這樣追小船的問題就轉(zhuǎn)化成了求三角形三邊關(guān)系的問題——人在岸上跑的軌跡、小船被風刮跑的軌跡以及人在湖中游的軌跡可以構(gòu)成一個三角形. 如圖3所示，AB為人在岸上跑的軌跡，AC為小船被風刮跑的軌跡，BC為人在湖中游的軌跡. 如何解決這個三角形問題呢？這成為解決追小船問題的關(guān)鍵. 此時，現(xiàn)實生活問題與數(shù)學就有了聯(lián)系.

在這個情境層次中，學生經(jīng)過思維活動將已有的生活經(jīng)驗與知識經(jīng)驗結(jié)合起來，把一個實際問題轉(zhuǎn)變成了數(shù)學問題. 這個過程促使學生用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，發(fā)展學生的抽象能力以及想象能力；讓學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學在現(xiàn)實生活中無處不在，感悟數(shù)學的魅力，從而提高學生的數(shù)學學習興趣.

2.經(jīng)歷實際背景下的數(shù)學模型的構(gòu)造，學會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界

由于小船在湖中被風刮跑的時間等于人在岸上跑的時間與在湖中游的時間之和，因此得出一個關(guān)于三角形的數(shù)學模型就是解決問題的關(guān)鍵，并運用所學知識將三角形三邊的數(shù)量關(guān)系表示出來.

如圖4所示，假設(shè)小船的速度為v（單位：km/h），人追上小船所用的時間為t（單位：h），人在岸上跑的時間為kt（0<k<1），則人在湖中游的時間為（1-k）t. 人要追上小船，就有

要使①式（關(guān)于k的方程）在0<k<1內(nèi)有實數(shù)解，則需要滿足：

當學生用數(shù)學關(guān)系式去表示所構(gòu)造的三角形的三邊時，其數(shù)學化就進入了指涉層次，學生的思維在幾何直觀、數(shù)學建模以及數(shù)學運算的過程中得到挖掘和提升. 首先，可以構(gòu)造三角形來描述實際問題并且通過三角形三邊的數(shù)量關(guān)系以及已有的知識經(jīng)驗（如余弦定理）來解決問題. 其次，本例運算量較大，學生可以將未知問題與腦中圖式轉(zhuǎn)化為原本知識體系中存在的關(guān)于一元二次方程的同型問題展開運算，通過運算促進思維的發(fā)展. 最后，學生可以在現(xiàn)實情境中用數(shù)學的眼光發(fā)現(xiàn)問題解決的關(guān)鍵——構(gòu)造三角形，并用符號語言和圖形語言表達所構(gòu)造的三角形，進而解決問題. 這一過程有助于學生深刻體會現(xiàn)實世界與數(shù)學之間的關(guān)系，學會用數(shù)學模型解決實際問題.

可見，在解決這類非直線追及的問題時，學生的思維進入了數(shù)學化的普遍層次，即當兩個物體在某一時刻到達同一位置時，不僅需要把握它們的時間關(guān)系，而且兩個物體不在同一條直線上運動，需要構(gòu)造幾何圖形，比如三角形來解決問題.

無疑，在上述的數(shù)學化過程中，學生能從具體的情境中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題以及解決問題. 整個過程貫穿對數(shù)學問題的思考、數(shù)學方法的運用以及數(shù)學思維的重構(gòu)，促使學生在實際背景下構(gòu)造數(shù)學模型，發(fā)展用數(shù)學思維思考現(xiàn)實世界的意識和能力. 更重要的是，學會用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界，從中感悟數(shù)學對于現(xiàn)實生活的重要意義.

3. 在數(shù)學活動的反思中，欣賞數(shù)學的魅力

反思以上問題的解決過程，通過探討非直線追及問題的共性，揭示該數(shù)學模型的本質(zhì)——構(gòu)造三角形及三角形三邊的關(guān)系，了解數(shù)學以及各個學科的知識在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，由此學生的思維進入了數(shù)學化的形式層次. 在此過程中，學生增進了數(shù)學與其他學科的聯(lián)系——通過與物理知識的融合，形成跨學科的應(yīng)用意識與實踐意識，感悟數(shù)學知識的共性通性以及魅力.

進一步的反思

1. 數(shù)學化與情境化并不相悖

重橫向數(shù)學化、輕縱向數(shù)學化的教學認知偏差即教師在教學過程中過于注重情境——為了聯(lián)系生活而創(chuàng)設(shè)一些無關(guān)數(shù)學本質(zhì)的情境，教師通常以這樣的方式來形式化地完成課堂教學. 然而，數(shù)學化中強調(diào)“情境”是表示對局部的具體情況進行數(shù)學化［6］，也就是說，情境創(chuàng)設(shè)應(yīng)是數(shù)學化中的一部分. 只需要情境創(chuàng)設(shè)合理，學生就有可能從現(xiàn)實世界中獲得數(shù)學知識，用數(shù)學的眼光去觀察現(xiàn)實世界. 上述案例中首先使學生思考現(xiàn)實情境，初步將現(xiàn)實情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題即數(shù)學化的開始.

2. 數(shù)學化不等于形式化

將數(shù)學化的具體含義直接與其中形式層次畫等號，是對數(shù)學化的一種認知偏差. 將數(shù)學化等于形式化是指一味地將現(xiàn)實問題數(shù)學化、強調(diào)數(shù)學的抽象概括與數(shù)學符號化. 在教學中，強調(diào)形式化的結(jié)果而忽略數(shù)學化本該有的“過程”，就會使數(shù)學學習變成一種毫無活力的數(shù)學知識的生搬硬套. 為了彌合這個認知偏差，需要教師全面正確理解數(shù)學化應(yīng)包含生活化，如弗賴登塔爾所說：“教數(shù)學的教室不可能浮在半空中，而學數(shù)學的學生也必然是屬于社會的.”［6］即我們所學的數(shù)學知識終將回到現(xiàn)實中，只有讓數(shù)學與相關(guān)的現(xiàn)實背景緊密相連，學生才能獲得富有生命力的數(shù)學知識.

3. 均衡的數(shù)學化教學是一個尋求過程

弗賴登塔爾將數(shù)學教學分為如圖7所示的四種情況，對應(yīng)著四種不同的教學觀：（1）橫向與縱向數(shù)學化都缺乏發(fā)展的是機械主義教學觀，學習數(shù)學枯燥無味；（2）缺少橫向數(shù)學化、發(fā)展縱向數(shù)學化的是結(jié)構(gòu)主義教學觀，學習充滿數(shù)學道理，但學生難以體會數(shù)學與生活的聯(lián)系；（3）缺少縱向數(shù)學化、發(fā)展橫向數(shù)學化的是經(jīng)驗主義教學觀，學習容易陷入模仿，缺乏數(shù)學思考；（4）橫向和縱向數(shù)學化均得到發(fā)展的是現(xiàn)實主義教學觀，學習既凸顯數(shù)學本質(zhì)又富有生活趣味. 在數(shù)學教育過程中過于注重橫向或縱向數(shù)學化的教學都是數(shù)學化教學的兩極. 而均衡的數(shù)學化教學需要教師在不斷完善橫向數(shù)學化教學的同時，加強經(jīng)驗合理化，強化縱向數(shù)學化的教學因素［7］，即在兩者間找到一個均衡點. 這應(yīng)是教師的一個追求，需要教師不斷去探尋——通過合理把握當下數(shù)學教學本身的意義，理解數(shù)學知識的同時，考慮結(jié)合學生的認知基礎(chǔ)來設(shè)計數(shù)學教學，在不斷的動態(tài)過程中鋪設(shè)發(fā)展數(shù)學教學的“現(xiàn)實主義道路”.

參考文獻：

［1］ 張奠宙，宋乃慶. 數(shù)學教育概論［M］. 北京：高等教育出版社，2004.

［2］ 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［3］ 弗賴登塔爾. 數(shù)學教育再探——在中國的講學［M］. 劉意竹，楊剛，譯. 上海：上海教育出版社，1994.

［4］ 孫雪梅，朱維宗. 數(shù)學化思想及其在數(shù)學問題解決教學中的應(yīng)用分析［J］. 數(shù)學教育學報，2010，19（01）：20-22+102.

［5］ 張國祥. 數(shù)學化與數(shù)學現(xiàn)實思想［J］. 數(shù)學教育學報，2005，14（01）：35-36.

［6］ 弗賴登塔爾. 作為教育任務(wù)的數(shù)學［M］. 陳昌平，唐瑞芬，譯. 上海：上海教育出版社，1973.

［7］ 王永. 尋找均衡的數(shù)學化——評《a能表示什么》一課的得與失［J］. 人民教育，2006（01）：27-29.