周躍佳

［摘? 要］ 若直線與圓錐曲線關(guān)系問題涉及直線斜率之和或斜率之積，可以通過平移得到齊次方程，能使問題解決更加便捷. 文章初探平移齊次化方法后進(jìn)行模型建構(gòu)，再以近年高考中出現(xiàn)的此類問題為例探索平移齊次化方法的應(yīng)用.

［關(guān)鍵詞］ 平移齊次化；解析幾何；模型建構(gòu)

問題的提出

對于涉及直線斜率之和為定值或斜率之積為定值的直線與圓錐曲線相交的解析幾何問題，學(xué)生的求解過程往往是先設(shè)定直線方程，將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立消元，得到一元二次方程后利用韋達(dá)定理得到兩根的關(guān)系，再與題設(shè)條件中的直線斜率之和或斜率之積相關(guān)聯(lián)，最后求出結(jié)果. 在求解過程中，聯(lián)立消元得到的方程的正確性以及由韋達(dá)定理得到的式子的形式與題設(shè)條件之間的合理轉(zhuǎn)化是運(yùn)算的關(guān)鍵，這樣的解答思路非常清晰，堪稱“解題套路”，但是其運(yùn)算量較大，考生若算錯(cuò)一步，則步步皆錯(cuò)，或者不能將韋達(dá)定理得到的式子與目標(biāo)式進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，從而以失敗告終. 能否找到一種計(jì)算量較小且容易獲得答案的方法，而且又能一般化？這是一個(gè)值得探索的問題. 本文以近年高考中出現(xiàn)的此類解析幾何問題為例，探索平移齊次化方法的應(yīng)用.

平移齊次化方法之初探

模型建構(gòu)

已知平面內(nèi)一定點(diǎn)A（x，y）和圓錐曲線上兩個(gè)動點(diǎn)P，Q，當(dāng)k+k=k或k·k=k時(shí)，我們可以用平移齊次化方法來解決.

解決步驟整理如下：

第一步，將直線與圓錐曲線平移，使題設(shè)條件中給定的點(diǎn)平移至坐標(biāo)原點(diǎn). 關(guān)于平移后的曲線方程怎么書寫，可以參考“‘x’需要‘左加右減’”“‘y’需要‘下加上減’”.

第二步，將平移后的直線方程設(shè)為mx+ny=1，這樣方便下一步進(jìn)行“1”的代換.

第三步，化簡平移后的曲線方程，按各項(xiàng)次數(shù)排列整理為整系數(shù)方程后，將“mx+ny”乘到一次項(xiàng)上得到齊二次方程，再兩邊同時(shí)除以x2得到關(guān)于k的一元二次方程，進(jìn)而利用韋達(dá)定理解決問題.

平移齊次化方法在近年高考中的應(yīng)用

（1）求l的斜率；

（2）略.

（1）求E的方程；

（2）證明：直線CD過定點(diǎn).

（1）求C的方程；

（2）點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足.證明：存在點(diǎn)Q，使得DQ為定值.

（2）此問的本質(zhì)是：證明直線MN過定點(diǎn)P，點(diǎn)D在以AP為直徑的圓上，存在該圓的圓心Q，使得該圓直徑DQ為定值.

例5 （2018年高考全國Ⅰ卷理數(shù)

（1）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；

（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB.

解析 （1）略.

平移齊次化方法總結(jié)

平移齊次化方法是解決涉及直線斜率之和或斜率之積的直線與圓錐曲線關(guān)系問題的一種簡捷有效的方法，為學(xué)生提供了一種全新的思維視角和運(yùn)算途徑. 在實(shí)際教學(xué)中，教師有必要在學(xué)生對常規(guī)聯(lián)立法掌握良好的前提下展開平移齊次化方法的教學(xué)，以開闊學(xué)生的思維，提升學(xué)生的素養(yǎng).

下面是幾個(gè)相關(guān)問題的結(jié)論，供參考（不要求學(xué)生記憶）.