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        注重推理過程,提升推理能力

        2023-11-15 20:04:48潘敬貞錢耀周
        關(guān)鍵詞:試題分析立體幾何邏輯推理

        潘敬貞 錢耀周

        [摘? 要] 立體幾何是發(fā)展學(xué)生直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)的重要載體,也是每年高考必考的內(nèi)容.文章從考查思路、求解思路和解法評析等方面對2023年全國新高考Ⅰ卷“立體幾何解答題”進(jìn)行分析,提出幾點教學(xué)建議與大家交流、探討.

        [關(guān)鍵詞] 立體幾何;試題分析;邏輯推理;教學(xué)思考

        邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā),依據(jù)規(guī)則推出其他命題的方法. 推理形式有歸納推理、類比推理和演繹推理.邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式,是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證,是人們在數(shù)學(xué)活動中進(jìn)行交流的基本思維品質(zhì)[1].立體幾何是發(fā)展學(xué)生直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)的重要載體,也是每年高考必考的內(nèi)容. 立體幾何解答題的第(1)題一般是證明平行或垂直的問題,求解這類問題先直觀感知點、線、面的位置關(guān)系,然后根據(jù)相關(guān)的幾何性質(zhì)、定理和推理規(guī)則進(jìn)行證明. 論證過程要環(huán)環(huán)相扣,一步一步地推進(jìn),每一步都有理有據(jù),語言表述要準(zhǔn)確精練,符合推理規(guī)則.

        然而很多學(xué)生證明立體幾何中的平行與垂直時,卻表現(xiàn)出:邏輯思維混亂,說理過程不連貫,缺乏論據(jù);語言表述啰唆,不精煉,不準(zhǔn)確. 本文從考查思路、求解思路和解法評析等方面對2023年全國新高考Ⅰ卷“立體幾何解答題”進(jìn)行分析,提出幾點教學(xué)建議與大家交流、探討.

        試題呈現(xiàn)與分析

        1. 試題呈現(xiàn)

        (2023年全國新高考Ⅰ卷第18題)如圖1所示,在正四棱柱ABCD-ABCD中,AB=2,AA=4.點A,B,C,D分別在棱AA,BB,CC,DD上,AA=1,BB=DD=2,CC=3.

        (1)證明:BC∥AD;

        (2)點P在棱BB上,當(dāng)二面角P-AC-D為150°時,求BP.

        2. 試題分析

        本題以正四棱柱為載體,第(1)題證明線線平行,第(2)題通過二面角的大小來確定動點P的位置并求線段BP的長度. 試題背景熟悉,問法常見. 試題難度不大,但有一定的靈活性和綜合性,而且具有良好的信度和區(qū)分度. 試題主要考查正四棱柱的概念與性質(zhì)、面面平行的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、線線平行的性質(zhì)、二面角的定義、向量法等基本知識,以及直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng).

        求解思路分析

        第(1)題的求解思路比較多,為學(xué)生解決問題提供了廣闊的思維空間. 可以結(jié)合正四棱柱的性質(zhì)證明線線平行,也可以結(jié)合面面平行的性質(zhì)定理證明線線平行;可以先構(gòu)造平行四邊形,再利用線線平行的傳遞性證明結(jié)論成立;還可以利用向量法進(jìn)行證明. 第(2)題先設(shè)動點P的坐標(biāo),再求兩個平面的法向量,利用向量的夾角公式列方程,最后解方程獲解. 第(2)題還可以用幾何法求解,但求解過程比較復(fù)雜.

        1. 解答第(1)題

        (1)思路1(向量)

        評析 由于第(2)題可以用向量法求解,因此第(1)題可依題意建立空間直角坐標(biāo)系用坐標(biāo)法求解. 解法1的思路自然,過程簡潔,效率高,是一種不錯的解法;解法2是求解本題的通法.這兩種解法簡單好用,但有不少學(xué)生漏掉了“A,B,C,D四點不共線”這一重要步驟,使得說理不夠充分,邏輯推理不夠嚴(yán)密. 另外,大部分學(xué)生證明線線平行時習(xí)慣用幾何法,這向教師提示:在平時教學(xué)中,要引導(dǎo)學(xué)生從多角度思考問題,并比較各種方法的優(yōu)缺點.

        (2)思路2(平行四邊形)

        解法1(平行四邊形的性質(zhì)) 如圖3所示,連接AC,BD,設(shè)AC∩BD=O,取AC的中點O,連接OO. 因為ABCD是正方形,所以O(shè)是AC的中點.由題設(shè)條件可知OO是梯形AACC的中位線,所以O(shè)O=2.又DD=BB=OO=2,DD∥CC//BB∥OO,所以D,O,B三點共線,即A,B,C,D四點共面. 又O是BD的中點,所以O(shè)是BD的中點,所以ABCD是平行四邊形,所以BC∥AD.

        評析 解法1先證四點共面,再證對角線相互平分,最后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明對邊平行. 然而不少學(xué)生由于各種原因漏掉了四點共面的證明,導(dǎo)致結(jié)論不成立(對角線相互平分有可能是空間四邊形).解法1對數(shù)學(xué)綜合能力的要求比較高,一般學(xué)生很難做到:條理要清晰,說理要充分,推理要嚴(yán)密.

        解法2(棱形概念) 如圖4所示,連接AC,BD,設(shè)AC∩BD=O,取AC的中點O,連接OO. 因為ABCD是正方形,所以O(shè)是AC的中點. 由題設(shè)條件可知OO是梯形AACC的中位線,所以O(shè)O=2.又DD=BB=OO=2,DD∥CC∥BB∥OO,所以D,O,B三點共線,所以A,B,C,D四點共面. 作AE⊥DD,垂足為E;作AF⊥BB,垂足為F. 取CC的中點H,連接DH,BH,則DH⊥CC,BH⊥CC. 在直角三角形中利用勾股定理易得AD=AB=

        評析 不少學(xué)生求出四邊形ABCD的邊長后發(fā)現(xiàn)四條邊相等就認(rèn)定其是菱形,漏掉了四點共面的證明,自然結(jié)論不成立.

        (3)思路3

        評析 解法1與解法2的思路基本一致,求解思路雖然清晰,但涉及的知識面比較廣泛,不僅要用到平面向量基本定理,還要用到面面平行的性質(zhì)定理. 在表述過程中,不少學(xué)生漏掉了“平面AADD∩平面ABCD=AD,平面BBCC∩平面ABCD=BC”,使得推理不嚴(yán)密,說理不充分,結(jié)論站不住腳.

        解法3(全等+面面平行) 如圖5所示,作AE⊥DD,垂足為E;作BF⊥CC,垂足為F. 由題設(shè)條件可得DE=CF,∠DEA=∠CFB,AE=BF,所以△AED≌△BFC,所以∠EAD=∠FBC. 因為平面AADD∥平面BBCC,且=,=,所以BC∥AD.

        評析 解法3先證明兩個三角形全等得到兩個角相等,然后根據(jù)空間等角定理得到結(jié)論. 不少學(xué)生的求解思路與解法3基本一致,但推理過程漏洞百出,有的沒指出面面平行,有的沒指出角的兩邊方向相同,這樣推理得到的結(jié)論是不成立的,很容易舉出反例.

        (4)思路4(線線平行的傳遞性)

        如圖6所示,分別設(shè)線段BB,CC的中點為E,F(xiàn),連接EF,AE,DF,由題設(shè)條件可得BE=CF,BE∥CF,所以四邊形BCFE是平行四邊形,所以BC∥EF. 因為AE∥AB∥CD∥DF,且AE=AB=CD=DF,所以四邊形AEFD是平行四邊形,所以AD∥EF. 所以BC∥AD.

        評析 思路4符合大部分學(xué)生的思維習(xí)慣,解答過程簡潔,也容易表述,解答效率高.思路4可以說是第(1)題最優(yōu)的幾何法.

        2. 解答第(2)題

        (1)思路1(解析法)

        評析 解法2根據(jù)二面角的定義,先在兩個半平面內(nèi)分別作交線的垂線,然后用向量法解決兩條異面直線的夾角問題. 解法2接地氣,解答過程簡潔,效率高,是不錯的解法,但很少有學(xué)生能想到該解法,這需要教師在平時教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生思考,積累這方面的解題經(jīng)驗.

        (2)思路2(幾何法)

        作PS⊥AC于S,連接QS,則QS⊥

        評析 該解法具有一定的靈活性,關(guān)鍵是掌握并運用正四棱柱的性質(zhì)轉(zhuǎn)化問題,需要學(xué)生具備完整的邏輯鏈條以及較強(qiáng)的運算求解和推理論證能力,一般的學(xué)生很難想到該解法,利用該解法并順利解決問題的學(xué)生就更少. (幾何法)還可以在兩個半平面分別作交線的垂線,再平移垂線使其相交于一點,然后連線得三角形,求出三角形的邊長(用參數(shù)表示出來),由余弦定理列出關(guān)于參數(shù)的方程,最后求出參數(shù)的值即可得BP的值. 但該解法方程較多、字母較多,求解過程繁雜,效率不高. 相對而言,向量法(解析法)的求解過程更簡潔,效率更高,凸顯了向量法(解析法)的優(yōu)越性.

        教學(xué)建議

        1. 提出新的問題——培育深度思考

        2. 加強(qiáng)技能訓(xùn)練——實現(xiàn)熟能生巧

        數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開必要的技能訓(xùn)練[2],選擇不同的幾何體(圓錐、棱錐、圓柱、棱柱、圓臺、棱臺)為載體,設(shè)置不同的證明路徑為問題情境,讓學(xué)生運用不同的幾何知識證明不同的問題,深化知識的理解,構(gòu)建知識體系.在證明平行的問題中,設(shè)置三角形的中位線、平行四邊形、相似三角形、線面平行的性質(zhì)定理、面面平行的性質(zhì)定理等證明路徑為問題情境;在證明垂直的問題中,設(shè)置線面垂直的性質(zhì)定理、菱形的對角線、等腰三角形“三線合一”、面面垂直的性質(zhì)定理、圓周角是直角等證明路徑為問題情境. 在推理證明訓(xùn)練中培養(yǎng)學(xué)生的說理能力、推理能力,實現(xiàn)推理過程熟能生巧;鼓勵學(xué)生多角度思考問題、解決問題,讓學(xué)生體會問題的本質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和理性精神.

        3. 重視推理過程——提升推理能力

        立體幾何是培育學(xué)生邏輯推理能力的好素材,立體幾何證明問題的求解教學(xué)切不可“蜻蜓點水”走過場,更不能停留在知識表層機(jī)械式操作,沒有上升到數(shù)學(xué)概念內(nèi)部的思維演繹層面,沒有直擊核心素養(yǎng)內(nèi)核的重復(fù)練習(xí)是無益的,要讓學(xué)生真實參與推理證明過程,體驗思維發(fā)展過程,彰顯推理論證的學(xué)習(xí)價值.因此,在立體幾何證明問題的求解教學(xué)中,教師要重視推理過程,要循序漸進(jìn)地開展教學(xué),先引領(lǐng)學(xué)生弄清推理的依據(jù)是什么、推理的規(guī)則是什么、推理的目標(biāo)是什么,然后帶領(lǐng)學(xué)生一步一步地推理,討論每一步推理的充分性與必要性,逐漸提升推理能力,形成推理素養(yǎng).

        4. 注重數(shù)學(xué)表達(dá)——培育理性思維

        圖形是從實物和模型抽象后的產(chǎn)物,也是形象、直觀的語言;文字是對圖形的描述、解釋與討論;符號則是對文字語言的簡化. 因此,教學(xué)立體幾何時要重視幾何語言表達(dá)的訓(xùn)練與培育,要特別注意“模型→圖形→文字→符號”這一抽象過程[3]. 求解問題時,要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考問題,用數(shù)學(xué)語言表述問題,表達(dá)過程要注意語言的連貫性與準(zhǔn)確性. 在訓(xùn)練與規(guī)范數(shù)學(xué)表達(dá)的過程中培育學(xué)生的理性思維,提升學(xué)生的思維品質(zhì).

        參考文獻(xiàn):

        [1] 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)[M]. 北京:人民教育出版社,2017.

        [2] 李剛. 在問題探究中構(gòu)建知識的整體關(guān)聯(lián)——以“圓錐曲線中一類定點定值問題”為例[J]. 數(shù)學(xué)通報,2023,62(02):16-21.

        [3] 李海東. 基于核心素養(yǎng)的“立體幾何初步”教材設(shè)計與教學(xué)思考[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2019,28(01):8-11.

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