張芝悅

［摘? 要］ 圓錐曲線壓軸題的綜合性強，解題探究可分三大環(huán)節(jié)進(jìn)行：定位解讀考題、過程構(gòu)建分析、多解深入探究. 實現(xiàn)考點、過程、多解的系統(tǒng)串聯(lián). 研究者以2022年新高考全國Ⅰ卷的圓錐曲線壓軸題為例，開展解題探討，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

［關(guān)鍵詞］ 圓錐曲線；雙曲線；斜率；三角形；面積

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重點知識，實際考查時常從知識綜合視角進(jìn)行，與幾何相關(guān)聯(lián)構(gòu)建復(fù)合圖形，解題過程有兩大特點：一是運算量大，推理過程繁雜；二是解析視角多樣，可從不同視角切入，均可構(gòu)建方法和思路. 開展解題探究，總結(jié)思路十分重要，本文結(jié)合一道考題進(jìn)行深入探究.

呈現(xiàn)考題，定位考點

定位 本題以直線與雙曲線相交為背景，題設(shè)兩問，分別求直線的斜率和三角形的面積，將雙曲線與直線、三角形相融合，數(shù)形結(jié)合思想突出，側(cè)重考查學(xué)生的邏輯推理與分析運算等能力.

面積模型. 由于本題兩問的綜合性強，因此可結(jié)合圖象分段構(gòu)建解題過程.

分段構(gòu)建過程，詳解問題

1. 方程聯(lián)立簡化，斜率構(gòu)建處理

第一步，繪制圖象.

位置：雙曲線的焦點位于x軸上；

交點：直線l與雙曲線有兩個交點，分別為點P和點Q；

直線：涉及直線AP和AQ.

根據(jù)上述分析繪制圖1所示的圖象.

第二步，確定雙曲線的方程.

第三步，設(shè)定直線的方程，聯(lián)立方程進(jìn)行處理.

設(shè)P（x，y），Q（x，y），易知直線l的斜率存在，可設(shè)直

綜上可知，直線l的斜率k=-1.

2. 轉(zhuǎn)化三角函數(shù)值，構(gòu)建三角形面積模型

第一步，設(shè)定角度關(guān)聯(lián)推導(dǎo).

采用分段構(gòu)建的方式求解，從求解過程來看有三大特點：一是運算量大，需要采用整體代換、分類討論等簡化方法；二是數(shù)形結(jié)合緊密，需要借助圖象把握直線與曲線的位置關(guān)系；三是分段過程較多，涉及方程聯(lián)立、模型構(gòu)建、簡化處理等過程. 總之，綜合性問題的破解過程，要把握圖象，合理轉(zhuǎn)化處理條件，準(zhǔn)確構(gòu)建模型，充分簡化處理代數(shù)式.

思路拓展，多解探究

上述求解過程采用的是傳統(tǒng)解法，聯(lián)立方程簡化處理條件求斜率，分類討論三角函數(shù)值構(gòu)建面積模型. 本題求解還可以從不同視角、采用多種方法構(gòu)建思路，下面結(jié)合問題開展多解探究.

1. 構(gòu)建參數(shù)方程，切入條件求斜率

核心條件是直線AP，AQ的斜率之和為0，可采用參數(shù)方程法設(shè)定兩直線的方程，通過參數(shù)方程的聯(lián)立并簡化來求斜率.

評析 這采用的是參數(shù)方程法，共三步：第一步，設(shè)定兩直線的參數(shù)方程；第二步，推導(dǎo)點P和Q的參數(shù)；第三步，將直線PQ的斜率轉(zhuǎn)化為與點P和Q的參數(shù)相關(guān)的代數(shù)式，整理后消去參數(shù)求出斜率. 參數(shù)方程法最大的特點是對直線參數(shù)方程的設(shè)定.

2. 點差法轉(zhuǎn)化構(gòu)建，向量法轉(zhuǎn)化破題

對于第（2）問的三角函數(shù)值條件下的面積問題，可以結(jié)合點差法和向量法來分別構(gòu)建直線方程和面積模型. 其中點差法主要用于直線l方程的求解，而向量法主要體現(xiàn)面積模型的轉(zhuǎn)化. 由于上述已經(jīng)確定點P，Q只能位于雙曲線右支，在此不再討論，方法構(gòu)建具體如下.

解法1 點差法.

解法2 向量法.

評析 上述呈現(xiàn)的是用點差法和向量法求解第（2）問（面積問題）的過程. 利用點差法可較為簡潔地構(gòu)建直線的斜率，利用向量法可調(diào)用正切值條件直接構(gòu)建面積模型. 若實際求解時能融合這兩種方法，則可高效快速處理面積問題.

解后反思，教學(xué)思考

筆者探究時將過程分析與多解探討相融合，全方位呈現(xiàn)了解題過程，這對于同類型問題的破解有參考價值. 下面結(jié)合教學(xué)實踐提出幾點建議.

1. 定位分析考題，明晰知識考點

綜合性強是圓錐曲線壓軸題最典型的特點，涉及眾多知識考點. 解題探究環(huán)節(jié)中需要充分分析考題，定位考查重點，明晰知識要點，為后續(xù)的知識調(diào)用與思路構(gòu)建做基礎(chǔ)，同時有利于復(fù)習(xí)備考. 如上述解題分析，定位直線與雙曲線相交，以交點與直線為基礎(chǔ)構(gòu)建三角形，融合了三角函數(shù)、斜率等知識. 教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生解讀題干信息，梳理問題條件，把握圖象關(guān)系，系統(tǒng)串聯(lián)考點.

2. 數(shù)形結(jié)合推理，分步構(gòu)建過程

數(shù)形結(jié)合、分步構(gòu)建是破解綜合性問題的核心方法，即采用數(shù)形結(jié)合法，解讀條件，轉(zhuǎn)化條件，構(gòu)建模型. 思路構(gòu)建分步呈現(xiàn)，將復(fù)雜問題細(xì)化為眾多的小問題，充分降低思維難度. 以上述第（2）問為例，原解法共四步——設(shè)定條件、討論交點、推導(dǎo)直線、構(gòu)建模型，解析過程調(diào)用公式定理，實現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化. 探究教學(xué)中同樣建議采用數(shù)形結(jié)合法，將問題拆解，結(jié)合圖象引導(dǎo)學(xué)生思考，形成系統(tǒng)的解題思維.

3. 深入思考考題，拓展探究解法

圓錐曲線綜合題的解法思路不唯一，采用不同方法或思路均可完成求解，教學(xué)中有必要引導(dǎo)學(xué)生深入思考，全面審視問題，探尋不同解法. 如上述多解探究環(huán)節(jié)，采用點差法轉(zhuǎn)化斜率求直線方程，利用向量法調(diào)用正切值條件構(gòu)建面積模型. 尤其對于綜合性強的圓錐曲線與直線壓軸題，可從函數(shù)、向量、方程、不等式等視角審視條件、構(gòu)建思路. 教學(xué)中可結(jié)合實例開展多解探究，引導(dǎo)學(xué)生深刻理解問題，拓展學(xué)生的思維.