夏戀

【摘 要】 ?深度教學(xué)旨在提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的維度與深度，讓學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)潛在的魅力.而模型思想能夠?qū)⒊橄蠡臄?shù)學(xué)知識(shí)歸類統(tǒng)一，從而獲得模型化的問(wèn)題解決方案，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.在深度教學(xué)視域下滲透模型思想，能夠有效拓寬學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)理解上的深度與廣度，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)技能，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 ?初中數(shù)學(xué)；深度教學(xué)；模型思想

深度學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)者深入知識(shí)內(nèi)在的邏輯，在更深的領(lǐng)域展開數(shù)學(xué)思考活動(dòng)，促進(jìn)思維的發(fā)展 ?[1] .在深度教學(xué)視域下，教師需要重視學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的探究式學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)內(nèi)容的有效整合和高效遷移.數(shù)學(xué)模型則是將實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行思考和分析，而后獲得其模型化的解答方案，同時(shí)針對(duì)模型進(jìn)行拓寬、完善，以此獲得更加全面的數(shù)學(xué)理解.在深度教學(xué)視域下滲透模型思想需要教師結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，設(shè)置合理的教學(xué)環(huán)節(jié)，在引導(dǎo)學(xué)生感悟知識(shí)的同時(shí)提高學(xué)生的綜合能力.

1 創(chuàng)設(shè)良好情境，感受模型思維

深度教學(xué)提倡在教學(xué)中提高學(xué)生的學(xué)習(xí)深度，因此對(duì)學(xué)生個(gè)人的知識(shí)背景以及學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化也有一定的要求 ?[2] .因此，教師需要合理借助實(shí)際情境，這樣既能方便學(xué)生從中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，提煉更深層次的數(shù)學(xué)知識(shí)，也能讓學(xué)生將生活中的模型與數(shù)學(xué)問(wèn)題相聯(lián)系，體會(huì)到數(shù)學(xué)模型思想在實(shí)際生活中的應(yīng)用價(jià)值.

2 實(shí)施問(wèn)題引導(dǎo)，形成模型思想

深度教學(xué)強(qiáng)調(diào)學(xué)生在教學(xué)過(guò)程中的主體地位，主要以學(xué)生的思考活動(dòng)為主.因此教師可以實(shí)施問(wèn)題引導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的深度思考以及問(wèn)題背后數(shù)學(xué)模型的建構(gòu).而后教師可以通過(guò)問(wèn)題的變形對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維進(jìn)一步深化，同時(shí)幫助學(xué)生拓寬并完善數(shù)學(xué)模型，這樣既能有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，還能培養(yǎng)學(xué)生提煉解題模型和解題方法的習(xí)慣，促進(jìn)深度教學(xué) ?[3] .

3 注重教學(xué)交流，深化模型思想

深度教學(xué)是在完成本職教學(xué)任務(wù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，因此教學(xué)交流必不可少.有效的教學(xué)交流一方面可以拉近師生距離，活躍課堂氛圍，另一方面還能促進(jìn)學(xué)生的正向思考，讓學(xué)生在教師的正確指引下高效完成學(xué)習(xí)任務(wù) ?[4] .而在教學(xué)交流中，學(xué)生也可以針對(duì)模型的構(gòu)建步驟有一個(gè)更加清晰化、層次化的認(rèn)知，這對(duì)于學(xué)生以后的模型建立可以提供良好的范例，讓學(xué)生真正獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的自我效能感.

4 教學(xué)案例

現(xiàn)筆者以人教版八年級(jí)上冊(cè)第13章“軸對(duì)稱”第4小節(jié)課題學(xué)習(xí)“最短路徑問(wèn)題”為例，簡(jiǎn)述如何在初中教學(xué)深度教學(xué)中滲透模型思想，讓學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)提升自身的模型思維.

4.1 教學(xué)分析

“最短路徑問(wèn)題”為人教版八年級(jí)上冊(cè)第十三章中最后一節(jié)的內(nèi)容，既涉及了該章節(jié)所包含的軸對(duì)稱的概念與性質(zhì)，又囊括了三角形的三邊關(guān)系判斷等重要的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn).在學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題的過(guò)程中，教師應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生形成轉(zhuǎn)化、分類、抽象以及模型建立等多種數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生將陌生、復(fù)雜的問(wèn)題熟悉、簡(jiǎn)單化，同時(shí)形成一套解決該類問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，為以后類似知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)建立良好的基礎(chǔ).在深度教學(xué)視域下，教師也應(yīng)該注重教學(xué)“質(zhì)”與“量”的雙重發(fā)展，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中形成對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題更深層次的認(rèn)知.

4.2 教學(xué)目標(biāo)

（1）學(xué)生能夠在教師所創(chuàng)作的教學(xué)情境在運(yùn)用對(duì)稱軸解題，并結(jié)合兩點(diǎn)之間線段最短這一概念解決最短路徑問(wèn)題；

（2）學(xué)生能夠結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，利用轉(zhuǎn)化思維抽象出問(wèn)題中的數(shù)學(xué)概念，然后構(gòu)建模型解決問(wèn)題，從而培養(yǎng)自身的數(shù)學(xué)模型思維；

（3）借助模型思維的建構(gòu)培養(yǎng)學(xué)生對(duì)特定數(shù)學(xué)問(wèn)題的思考積極性以及趣味性，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中感知數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)的奧妙之處，培養(yǎng)學(xué)科素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)深度教學(xué).

4.3 教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生掌握利用對(duì)稱軸知識(shí)解決兩點(diǎn)之間線段最短的問(wèn)題；教學(xué)難點(diǎn)是針對(duì)該類問(wèn)題建立模型，獲得解題方法的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的模型思維.

4.4 教學(xué)步驟

4.4.1 情境引入，思考模型

在進(jìn)行最短路徑問(wèn)題的深度教學(xué)時(shí)，為了方便學(xué)生理解該問(wèn)題實(shí)質(zhì)并思考合理的解題模型，教師應(yīng)該結(jié)合實(shí)際生活場(chǎng)景進(jìn)行情境引入，幫助學(xué)生更快、更準(zhǔn)確地對(duì)問(wèn)題本質(zhì)進(jìn)行定位.

教師 ??已知在一條小河河岸的同側(cè)，有A、B兩點(diǎn)，牧民在A點(diǎn)處放牛，牛棚設(shè)置在B點(diǎn)處.A、B兩點(diǎn)距離河岸均有一段距離.現(xiàn)牧民需要將牛放至河邊讓牛飲水，然后回到牛棚.請(qǐng)問(wèn)牧民應(yīng)該如何做？

學(xué)生 A ???牧民可以先從A點(diǎn)以直線方向?qū)⑴＠梁舆叄ｏ嬐晁罄^續(xù)以直線方向從河邊回到牛棚.

教師 ??沒(méi)錯(cuò)，將牧民的路程進(jìn)行二段劃分，分別以直線方向行走看似是省時(shí)省力的好方案.那請(qǐng)同學(xué)們?cè)偎伎家幌?，這樣的方案是最佳方案嗎？是否存在一種方案使得牧民行走的路程最短呢？這類“牛飲水”問(wèn)題就是我們今天需要思考并學(xué)習(xí)的“最短路徑問(wèn)題”.

設(shè)計(jì)意圖 ??通過(guò)問(wèn)題情境的引入吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為學(xué)生后續(xù)的深度學(xué)習(xí)提供動(dòng)力，同時(shí)具體情境的引入也能讓學(xué)生將問(wèn)題模型化，將“最短路徑問(wèn)題”視為“牛飲水”問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生思考解題模型.

4.4.2 問(wèn)題引導(dǎo)，建構(gòu)模型

教師 ??“最短路徑問(wèn)題”作為“對(duì)稱軸”這一章節(jié)的最后一小節(jié)，其中也需要我們利用對(duì)稱軸的概念去解決問(wèn)題.如圖1所示分別為小河l，牧民所在點(diǎn)A和牛棚所在點(diǎn)B.現(xiàn)以小河l為對(duì)稱軸，做點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn) A ′，并連接 A ′B，令 A ′B與小河的交點(diǎn)為點(diǎn)P.請(qǐng)同學(xué)們思考并回答下列問(wèn)題：

問(wèn)題1 ??三角形 A ′AP為什么三角形？線段 A ′P和AP之間有什么大小關(guān)系？

學(xué)生思考 ??結(jié)合對(duì)稱軸的概念可知線段l是線段 A ′A的垂直平分線，再根據(jù)等腰三角形判定定理可知三角形 A ′AP為等腰三角形，即線段 A ′P=AP.

問(wèn)題2 ??既然點(diǎn) A ′是點(diǎn)A關(guān)于小河的對(duì)稱點(diǎn)，那么從點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短路徑問(wèn)題是否相當(dāng)于從點(diǎn) A ′到點(diǎn)B的最短路徑問(wèn)題？從點(diǎn) A ′到點(diǎn)B的最短路徑應(yīng)該如何規(guī)劃？

學(xué)生思考 ??已知 A ′P=AP，則有 A ′P+PB=AP+PB=AB，因此從點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短路徑問(wèn)題可以相當(dāng)于從點(diǎn) A ′到點(diǎn)B的最短路徑問(wèn)題.然后結(jié)合兩點(diǎn)之間直線最短的概念可以得知點(diǎn) A ′到點(diǎn)B的最短路徑就是直線 A ′B.因此牧民應(yīng)該先將牛拉到P點(diǎn)喝水，然后從P點(diǎn)以直線方向回到B點(diǎn).

問(wèn)題三 ??在解決問(wèn)題過(guò)程中，是否可以得出一個(gè)解決最短路徑問(wèn)題的簡(jiǎn)略模型呢？

學(xué)生思考 ??模型大致為：（1）尋找對(duì)稱點(diǎn)（變同側(cè)為異側(cè)）；（2）連接異側(cè)兩點(diǎn)（兩點(diǎn)之間線段最短）.

設(shè)計(jì)意圖 ??通過(guò)一系列問(wèn)題的設(shè)置引導(dǎo)學(xué)生利用對(duì)稱點(diǎn)性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短的概念解決最短路徑問(wèn)題，并將思考的過(guò)程模型化，獲得解決這類問(wèn)題的簡(jiǎn)要模型，訓(xùn)練學(xué)生模型思維的同時(shí)激發(fā)學(xué)生對(duì)這類問(wèn)題更深入的認(rèn)識(shí)，促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí).

4.4.3 變式思考，完善模型

教師 ??剛剛我們解決的“最短路徑問(wèn)題”是較為簡(jiǎn)單的情況，為了加強(qiáng)大家對(duì)這類問(wèn)題解決模型的深入認(rèn)識(shí)并完善這類模型，我們可以通過(guò)幾個(gè)變式問(wèn)題的設(shè)計(jì)來(lái)深入探究.

變式1 ??在原有問(wèn)題情境上，如果牛在河邊一邊飲水一邊會(huì)沿著河邊走a米，然后再返回牛棚，那么位于何處開始飲水才能使得牧民所走的路徑最短？

師生討論 ??變式1只增加了牛需要順著河邊行走a米的條件，由于a米為固定的水平平移，該問(wèn)題實(shí)質(zhì)上仍是兩點(diǎn)同側(cè)的問(wèn)題，因此可以先做平移，繼續(xù)沿用之前的模型先做對(duì)稱點(diǎn)然后進(jìn)行直線連線即可解決問(wèn)題，具體圖象如圖2所示.

變式2 ??在原有問(wèn)題情境下，如果河寬b米，牛在河邊飲水后會(huì)馱著牧民垂直河岸橫游過(guò)河，待上岸后再回到對(duì)岸的牛棚B點(diǎn)處，那如何規(guī)劃才能使牧民所走路徑最短？

師生討論 ??該變式不同于前兩個(gè)問(wèn)題，為異側(cè)問(wèn)題.因此無(wú)需考慮模型中尋找對(duì)稱點(diǎn)這一步驟，只需要先豎直平移b米，然后進(jìn)行直線連接即可.具體圖象如圖3所示.

變式3 ??已知點(diǎn)P為牛棚，OA為一條長(zhǎng)滿小草可供牛進(jìn)食的小路，OB為一條可供牛飲水的小河.假設(shè)牛需要從牛棚出發(fā)在OA小路上進(jìn)食然后到OB小河邊喝水，最后回到點(diǎn)P牛棚處，試問(wèn)如何規(guī)劃才是最短路徑？

師生討論 ??該變式雖然看似復(fù)雜，實(shí)則只需要利用模型中兩點(diǎn)之間直線最短概念即可解決.具體圖象如圖4所示.

變式4 ??在變式3的問(wèn)題情境下，假設(shè)牛棚P位于∠AOB之內(nèi)，試問(wèn)如何規(guī)劃才是最短路徑？

師生討論 ??該變式相對(duì)于最初的牛飲水問(wèn)題只是多了個(gè)牛進(jìn)食的問(wèn)題，因此可以分解為兩個(gè)同側(cè)問(wèn)題，即將原有模型：尋找對(duì)稱點(diǎn)、直線連線進(jìn)行兩遍即可.具體圖象如圖5所示.

設(shè)計(jì)意圖 ??通過(guò)變式問(wèn)題的設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行模型的使用和完善，讓學(xué)生針對(duì)各類問(wèn)題都能有一個(gè)清晰的認(rèn)知，同時(shí)在解決問(wèn)題的過(guò)程中對(duì)“最短路徑問(wèn)題”有更加深入的思考，在完善深度教學(xué)的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的模型思維.

5 結(jié)語(yǔ)

總之，模型思想作為數(shù)學(xué)學(xué)科教育中十分重要的一類數(shù)學(xué)思想，無(wú)論是對(duì)學(xué)生的知識(shí)學(xué)習(xí)還是問(wèn)題解決都能起到促進(jìn)作用.因此在實(shí)施深度教學(xué)的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)該幫助學(xué)生完成模型思想的啟發(fā)和培養(yǎng)，讓學(xué)生養(yǎng)成深度探索的習(xí)慣，進(jìn)而學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué).

參考文獻(xiàn)：

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