摘 要：高中新課程標(biāo)準(zhǔn)的實施，目的在于培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，新教材的使用，對學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和教師的教學(xué)方法提出了更高要求.

本文通過“基本不等式”進(jìn)行問題式教學(xué)設(shè)計實例，闡述了問題式教學(xué)過程中如何利用問題串來幫助學(xué)生分析和解決問題，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的目的.

關(guān)鍵詞：問題式教學(xué)；核心素養(yǎng)；教學(xué)設(shè)計

中圖分類號：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）21-0047-03

收稿日期：2023-04-25

作者簡介：張青萍（1990.11-），女，福建省漳州人，學(xué)士，中學(xué)二級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

問題設(shè)計的質(zhì)量高低是問題式教學(xué)是否能成功的關(guān)鍵.部分教師設(shè)計了很多問題，但有些屬于無效提問，無法引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確找到答題采分點，最終教師只能強行將知識塞給學(xué)生，不利于培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).為此，筆者以“基本不等式”教學(xué)設(shè)計為例，探討在問題式教學(xué)中問題串應(yīng)該如何設(shè)計，學(xué)生應(yīng)該如何引導(dǎo).

1 教學(xué)內(nèi)容及目標(biāo)分析

1.1 內(nèi)容分析

本節(jié)課內(nèi)容為“基本不等式”，選自人民教育出版社A版普通高中數(shù)學(xué)教科書必修第一冊第二章《一元二次函數(shù)、方程和不等式》第2節(jié)，學(xué)生在本節(jié)課之前掌握了不等式的性質(zhì)，并學(xué)習(xí)了重要不等式，為本節(jié)課學(xué)習(xí)基本不等式奠定了基礎(chǔ).

1.2 教學(xué)目標(biāo)

（1）引導(dǎo)學(xué)生從實際問題出發(fā)，總結(jié)出基本不等式，并掌握代數(shù)法、幾何法證明.

（2）注意基本不等式的適用范圍及取等條件，并能夠利用基本不等式解決一些簡單的最值問題和實際問題［1］.

（3）培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想、證明、抽象概括、分析問題和解決問題的能力.

2 教學(xué)過程

2.1 情境引入

媽媽讓小圓去市場買一斤蘋果.媽媽想看小販有沒有缺少斤兩，就想稱一下蘋果重量，但家里沒有秤，只找到一臺左右臂不等長的天平，其余均精確.媽媽先將蘋果放在左邊托盤稱了一次，重量為450 g，再將蘋果放在右邊托盤又稱了一次，重量為550 g，于是媽媽得到結(jié)論：蘋果重量剛好是兩次所稱重量的和的一半，即500 g，小販沒有缺少斤兩.媽媽的說法對嗎？如何證明？

設(shè)計意圖：從生活實例出發(fā)，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)來源于生活，引導(dǎo)學(xué)生從中抽象出數(shù)學(xué)模型，解決數(shù)學(xué)問題，激發(fā)學(xué)生的探索欲望和學(xué)習(xí)興趣.

2.2 分析問題

問題1：大家知道天平稱重的原理嗎？

學(xué)生：杠桿原理.

追問：具體是如何操作的？

學(xué)生：在天平的兩端各有一個盤子，一端盤子放砝碼，一端盤子放物體，當(dāng)兩端平衡時，砝碼的重量即為物體的重量.

問題2：能利用天平精確稱重的關(guān)鍵在哪里？

學(xué)生：天平的左右力臂等長.

追問：為什么？能否給出數(shù)學(xué)解釋？

學(xué)生：假設(shè)左右力臂長均為l，物體重量為M，砝碼重量為m，重力加速度為g.由lMg=lmg可得M=m，即物體重量與砝碼重量相等.

師：很好，這樣可以得到當(dāng)左右力臂不等長時，物體的重量和砝碼的重量是不相等的.

問題3：媽媽的做法能否得到正確的重量呢？大家討論一下.

2分鐘以后，老師請同學(xué)們舉手發(fā)表意見.

學(xué)生1回答預(yù)設(shè)：我覺得可以，因為左右力臂不等長，兩次稱得的重量一次偏輕，一次偏重，兩次相加取平均應(yīng)該正好.

學(xué)生2回答預(yù)設(shè)：我覺得不可以，因為雖然兩次稱得的重量一次偏輕，一次偏重，兩次相加取平均不一定能剛好等于實際重量，可能還與力臂具體長短有關(guān).

學(xué)生3回答預(yù)設(shè)：我也覺得兩次相加取平均不一定能剛好等于實際重量，但是與力臂具體長短應(yīng)該也無關(guān).

師：能否從原理入手驗證上述三位同學(xué)的說法究竟誰對誰錯？真實重量應(yīng)該如何計算？

問題4：我們不妨假設(shè)物體實際重量為M，天平左右兩臂長分別為l1和l2，兩次稱量結(jié)果分別為450 g和550 g，大家能否得到這些量之間的關(guān)系？

學(xué)生：l1M g=450l2 g，l2M g=550l1 g.

追問：能否消去l1，l2？

學(xué)生：兩式相乘得M2=247 500.

追問：根據(jù)這一計算結(jié)果，哪位同學(xué)的想法是對的？小圓媽媽的方法是否正確？

學(xué)生：5002=250 000>247 500，不難看出小圓媽媽的做法不能得到精確的重量，實際重量應(yīng)該要偏輕，并且與力臂具體長短無關(guān)，第三位同學(xué)想法正確.

問題5：大家能不能從這一實例中抽象出一個一般的數(shù)學(xué)不等式？

學(xué)生：兩次稱量結(jié)果設(shè)為a和b，則a+b22>ab即a+b2>ab.

追問：其中a和b有什么限制嗎？有沒有滿足什么關(guān)系？

學(xué)生：a和b都是正數(shù)，并且a與b不相等.

追問：那如果a與b相等，不等式會發(fā)生改變嗎？

學(xué)生：a=b時a+b2=ab.

追問：那大家能否將這個不等式補充完整？

學(xué)生：a+b2≥ab（a>0，b>0），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立.

師：很好，這個不等式我們稱為基本不等式.大家能否給出證明？

設(shè)計意圖：設(shè)置問題1和2引導(dǎo)學(xué)生回答出天平稱重的原理，為下一問作鋪墊；設(shè)置問題3讓學(xué)生自主思考、討論；設(shè)置問題4引導(dǎo)學(xué)生自行論證觀點的正確性；設(shè)置問題5引導(dǎo)學(xué)生將特殊轉(zhuǎn)化為一般，提高學(xué)生的抽象概括能力.通過追問，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行更深入的思考.

2.3 解決問題

問題1：我們學(xué)過哪些方法可以證明不等式？

學(xué)生：作差法，分析法，綜合法，反證法等等.

問題2：此不等式可以考慮用什么方法來證明？

學(xué)生：a+b2-ab=a+b-2ab2=a2+b2-2ab2=a-b22≥0，

所以a+b2≥ab（a>0，b>0），當(dāng)且僅當(dāng)a=b即a=b時等號成立.

師：很好，這樣我們可以得到基本不等式的證明.

師：那大家還有其它證明方法嗎？

為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，設(shè)置如下折紙實驗：

師：現(xiàn)在請同學(xué)們拿出讓你們事先準(zhǔn)備好的三張正方形卡紙，兩大（一樣大）一小.先拿出一大一小的兩張正方形卡紙，我們不妨假設(shè)大的正方形面積為a，小的正方形面積為b.先將兩張正方形卡紙分別沿對角線折成等腰直角三角形，再將兩個等腰直角三角形沿對角線拼在一起，構(gòu)造一個兩邊分別等于兩個直角三角形直角邊的矩形，將多出來的部分切除，如圖1.

圖1 大小正方形

問題：思考兩個直角三角形的面積和與矩形面積的關(guān)系，大家能得到什么結(jié)論？

學(xué)生：兩個正方形的邊長分別為a和b，四個直角三角形的面積之和a+b2大于矩形的面積ab.

教師借助PPT動態(tài)演示，直觀展現(xiàn)折紙過程，得到ab

師：接著請大家拿出另外一張大的正方形紙片也沿對角線折成等腰直角三角形，將兩個大三角形沿對角線拼在一起，看看又能得到什么結(jié)論？

學(xué)生：動手折紙拼接后得到a·a=a+a2即當(dāng)a=b時ab=a+b2.

師：很好，這樣我們就得到了基本不等式ab≤a+b2（a>0，b>0）的一種幾何證明.

設(shè)計意圖：通過折紙實驗，激發(fā)同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生通過自己動手、觀察，得出基本不等式的幾何證明，印象深刻［2］.

2.4 實際應(yīng)用

例題1 （1）用一根鐵絲做一個矩形框，當(dāng)框的面積為36 cm2.所用鐵絲最短多少？

（2）用一根長為36 cm的鐵絲做一個矩形框，問這個矩形的長和寬各為多少時，矩形的面積最大，最大面積是多少？

追問：例題中的定量是什么，變量是什么？能求解什么樣的最值問題？

設(shè)計意圖：實際應(yīng)用題可以提高學(xué)生的讀題、析題能力，并將所學(xué)知識應(yīng)用到實際生活中.通過追問，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)能夠利用基本不等式求解最值問題的特征，得出結(jié)論：對于任意的正實數(shù)x，y，若xy=m（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，x+y有最小值2m；若x+y=m（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，xy有最大值m24.鼓勵學(xué)生自己探索推導(dǎo)，可以讓學(xué)生加深對基本不等式的理解，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

例題2 求y=x+1x（x>0）的值域.

變式：若x>2，求x+1x-2的最小值.

2.5 回顧總結(jié)

你在這節(jié)課上學(xué)到了什么？運用了哪些數(shù)學(xué)思維方法？學(xué)生概括總結(jié)后，教師補充完善.

設(shè)計意圖：讓學(xué)生能夠形成這節(jié)課的知識框架，對探究過程及方法有一個清晰的認(rèn)識.

2.6 課后鞏固

已知x>0，y>0，且2x+8y=1，求xy的最小值.

設(shè)計意圖：通過課外作業(yè)的布置，實現(xiàn)對課堂知識鞏固和加強的目的.不僅考查了基礎(chǔ)，還探索了實際問題，作業(yè)呈現(xiàn)方式多樣，較好地調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，感受數(shù)學(xué)帶來的樂趣，并讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活，能利用所學(xué)知識解決生活中的實際問題，做到真正學(xué)有所用，學(xué)以致用.

3 教學(xué)反思

在本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計中，教師以提出問題和解決問題為主線，使學(xué)生一直處在思考探索中，有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高課堂效率.教師圍繞教學(xué)目標(biāo)精心設(shè)計每一個教學(xué)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生自主完成基本不等式的探究和證明.在教師創(chuàng)設(shè)的問題情境中，教師只是在適當(dāng)?shù)臅r候引導(dǎo)學(xué)生，給學(xué)生留下思考和探索的空間.通過一式多證鍛煉學(xué)生思維，拓寬學(xué)生思路.設(shè)置折紙實驗，讓大家直觀的感知并證明基本不等式，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.利用多媒體使課堂更加生動活潑，例如折紙實驗中借助PPT動畫使整個過程更加清晰明了.通過讓學(xué)生自己編寫問題，引導(dǎo)學(xué)生自主提問，體現(xiàn)了以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 王禹桐，孔德宏.問題驅(qū)動式教學(xué)在微課設(shè)計中的應(yīng)用探究：以“拋物線的光學(xué)性質(zhì)”為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2022（04）： 29-31.

［2］ 王燕.以問題設(shè)計為手段 發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)：以“兩角和與差的余弦公式”教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2022（02）：37-39.

［責(zé)任編輯：李 璟］