李春梅 張昆

［摘? 要］ “數(shù)學(xué)現(xiàn)實”“數(shù)學(xué)化”與“再創(chuàng)造”是弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育理論的三個重要特征，其要求把“講數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)換為引導(dǎo)學(xué)生“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu). 文章以“圖形的旋轉(zhuǎn)”教學(xué)為例，說明弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育思想的精髓.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)現(xiàn)實；數(shù)學(xué)化；再創(chuàng)造；圖形的旋轉(zhuǎn)

國家出臺了“雙減”政策，明確要求減輕學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān). 在此背景下，教師如何在不增加學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)的同時，提升數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量呢？教師要以引領(lǐng)者的角色有指導(dǎo)地帶領(lǐng)學(xué)生通往奇妙的數(shù)學(xué)世界，鼓勵學(xué)生有意識地、不由自主地觀察數(shù)學(xué). 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)也提出，課程內(nèi)容的組織與選擇要以學(xué)生為主體，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和數(shù)學(xué)現(xiàn)實［1］，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷新知識產(chǎn)生和發(fā)展的過程. 其中體現(xiàn)的教育理念與弗賴登塔爾（以下簡稱“弗氏”）數(shù)學(xué)教育思想相融合，本文著眼于弗氏“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”“數(shù)學(xué)化”“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)教育理論與實際課堂教學(xué)的結(jié)合，探究如何進(jìn)行教學(xué)設(shè)計以及課堂教學(xué)活動的展開，目的是促使學(xué)生成為數(shù)學(xué)課堂的主人，同時避免依靠“題海戰(zhàn)術(shù)”提高學(xué)習(xí)成績，減輕學(xué)生的數(shù)學(xué)課業(yè)負(fù)擔(dān).

弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育理論概述

弗賴登塔爾在數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育方面都做出了極大的貢獻(xiàn)，對荷蘭乃至當(dāng)今世界都有著深遠(yuǎn)的影響. 他在中國短短幾個月的講學(xué)，為我國的數(shù)學(xué)教育注入了新鮮的血液，打開了數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的另一扇門. 其教育思想、觀念極大地啟發(fā)了當(dāng)時的數(shù)學(xué)教育工作者，被學(xué)者們所鉆研、探究. 弗氏倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)教育觀是把“教”轉(zhuǎn)換為“學(xué)”，把教師的教學(xué)活動轉(zhuǎn)換為學(xué)生的學(xué)習(xí)活動，把“講數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)換為“創(chuàng)造數(shù)學(xué)”［2］. 張奠宙先生將弗氏數(shù)學(xué)教育理論歸結(jié)為“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”“數(shù)學(xué)化”與“再創(chuàng)造”三個特征［3］，這就為教師開展課堂教學(xué)活動奠定了重要的理論基礎(chǔ)，同時改進(jìn)了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂“灌輸式”“被動式”的教學(xué)模式.

1. 數(shù)學(xué)現(xiàn)實

“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”是指學(xué)生已有的數(shù)學(xué)概念、方法等對客觀世界現(xiàn)實情況的認(rèn)識而形成的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 弗氏認(rèn)為數(shù)學(xué)教育應(yīng)該為不同的人提供適合不同專長所需要的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，使其能夠運用自如地解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問題［3］. 數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實、寓于現(xiàn)實，并用于現(xiàn)實，即現(xiàn)實的數(shù)學(xué). 所以，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)從學(xué)生已有的生活現(xiàn)實、數(shù)學(xué)現(xiàn)實出發(fā)，在已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上將生活中的問題抽象成數(shù)學(xué)問題，并加以解決.

2. 數(shù)學(xué)化

弗氏說道，與其說讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，還不如說讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化［4］. “數(shù)學(xué)化”是指運用數(shù)學(xué)思想和方法研究現(xiàn)實生活中的各種具體情境，從情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，并加以整理、分析與解決的過程. “數(shù)學(xué)化”包括兩方面，即橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化，橫向數(shù)學(xué)化是將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再對其進(jìn)行抽象形成概念或公理體系，完成縱向數(shù)學(xué)化.

3. 再創(chuàng)造

“再創(chuàng)造”與杜威的“做中學(xué)”是相通的，弗氏認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需經(jīng)歷“抽象化”的過程，即“做中學(xué)”中“做”的過程，將學(xué)習(xí)者看作創(chuàng)造主體，主動參與知識生成過程，同時在教師的指導(dǎo)下進(jìn)行再創(chuàng)造. “再創(chuàng)造”常被譯為發(fā)現(xiàn)或是再發(fā)現(xiàn)，但又不等同于“發(fā)現(xiàn)法”. “再創(chuàng)造”不僅是一種教學(xué)方法，還是一項教學(xué)原則，是任何數(shù)學(xué)知識的教學(xué)活動都可以得到的抽象的方法；“發(fā)現(xiàn)法”則是教學(xué)中的一種具體方法，著重教師提前設(shè)計好一個個問題，引導(dǎo)學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)、探索，但在這個過程中教師施教稍有不慎可能會導(dǎo)致學(xué)生走向被動［5］.

下面簡要探討“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”“數(shù)學(xué)化”與“再創(chuàng)造”三者之間的關(guān)系（如圖1所示）. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，三者是相互依存、緊密聯(lián)系的整體. 首先，“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”是進(jìn)行數(shù)學(xué)活動的背景，是“數(shù)學(xué)化”的基礎(chǔ)和前提，為進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”提供現(xiàn)實材料；其次，“數(shù)學(xué)化”與“再創(chuàng)造”相互促進(jìn)，在學(xué)生做數(shù)學(xué)、動手實踐的過程中達(dá)到“再創(chuàng)造”的目的，即透過橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化的視角解釋“再創(chuàng)造”的過程；最后，通過對知識的“再創(chuàng)造”，又反作用于“數(shù)學(xué)化”的進(jìn)行，完成縱向的“數(shù)學(xué)化”. 總之，可以說“再創(chuàng)造”是“數(shù)學(xué)化”的有效方法和手段.

基于弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教學(xué)思想的“圖形的旋轉(zhuǎn)”教學(xué)設(shè)計案例

弗氏認(rèn)為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的主、客觀基礎(chǔ)來自數(shù)學(xué)知識形成過程的本身和學(xué)生所擁有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實及智力活動，學(xué)習(xí)者在處理、加工數(shù)學(xué)化信息的過程中，憑借自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實、認(rèn)知結(jié)構(gòu)與思維方式，再創(chuàng)造出具體的數(shù)學(xué)知識，如此，數(shù)學(xué)教學(xué)須依據(jù)“再創(chuàng)造”的途徑展開，這既是擴展客觀的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)需求，也是擴充學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)認(rèn)知過程的心理結(jié)構(gòu)需求［6］.

下面以“圖形的旋轉(zhuǎn)”教學(xué)為例，力求盡可能體現(xiàn)弗氏“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”“數(shù)學(xué)化”與“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)教學(xué)思想的精髓.

“圖形的旋轉(zhuǎn)”是滬科版九年級下冊第一章第一節(jié)的內(nèi)容，雖然學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)接觸過旋轉(zhuǎn)，但對于旋轉(zhuǎn)只是初步認(rèn)識. 現(xiàn)在要求學(xué)生能由具體實例認(rèn)識平面圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)，并探索其基本性質(zhì)［1］. 學(xué)習(xí)“旋轉(zhuǎn)”，能促進(jìn)學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活息息相關(guān)，能調(diào)動他們的探究欲望. 如果教師只是平平無奇地向?qū)W生講授旋轉(zhuǎn)及其性質(zhì)，沒有讓學(xué)生經(jīng)歷知識的萌生、發(fā)現(xiàn)、形成過程，那么知識只停留在學(xué)生從短時記憶進(jìn)入長時記憶的“中途”，沒能在學(xué)生的頭腦中留下深刻的記憶，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性也就無法實現(xiàn). 因此，教師要將“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”“數(shù)學(xué)化”與“再創(chuàng)造”教學(xué)思想滲透進(jìn)“圖形的旋轉(zhuǎn)”教學(xué)中，讓學(xué)生經(jīng)歷橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化兩個階段，即“橫向”應(yīng)用日常生活中與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的實例，“縱向”引導(dǎo)學(xué)生一步步經(jīng)歷抽象幾何圖形并形成概念的過程，從而在這一過程中探索出旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，達(dá)到“再創(chuàng)造”的目的.

【環(huán)節(jié)一】創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實情境：生活中物體的旋轉(zhuǎn)——數(shù)學(xué)現(xiàn)實

教師通過多媒體向?qū)W生展示日常生活中常見的有關(guān)旋轉(zhuǎn)的實例，如玩具風(fēng)車、自行車車輪以及時鐘的轉(zhuǎn)動（如圖2所示），這些都是學(xué)生平時所能接觸到的物體的旋轉(zhuǎn)，能幫助他們感受到數(shù)學(xué)無處不在.

師：同學(xué)們還能想到生活中其他與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的例子嗎？（引導(dǎo)學(xué)生思考）

生1：我知道！游樂園中摩天輪的轉(zhuǎn)動，以及電風(fēng)扇的轉(zhuǎn)動.

生2：還有汽車方向盤的轉(zhuǎn)動、指南針……

生3：原來我們生活中有這么多與旋轉(zhuǎn)相關(guān)的物體呀！

設(shè)計意圖從學(xué)生的生活現(xiàn)實、已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)良好的環(huán)境狀態(tài)，激發(fā)學(xué)生的情感動機，讓學(xué)生真切感悟到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活是自然貼合、密切聯(lián)系的，即“現(xiàn)實的數(shù)學(xué)”. 于學(xué)生而言，呈現(xiàn)生活中的情境，把生活中的問題“現(xiàn)實化”，能幫助他們在頭腦中建立新問題與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系.

【環(huán)節(jié)二】抽象出圖形的旋轉(zhuǎn)——數(shù)學(xué)化

小學(xué)階段學(xué)生只是了解到一些物體繞著一個點順時針或逆時針運動的現(xiàn)象是旋轉(zhuǎn)，現(xiàn)在教師要引導(dǎo)學(xué)生抽象現(xiàn)實世界中幾何圖形的旋轉(zhuǎn)，通過觀察具體實例來認(rèn)識旋轉(zhuǎn)，并探索其性質(zhì).

師：通過這些同學(xué)的回答，大家有沒有發(fā)現(xiàn)這些圖形的運動有什么共同特點？它們是怎樣轉(zhuǎn)動的？

生4：它們都是圍繞一個點運動的.

生5：它們是逆時針或順時針繞著一個點轉(zhuǎn)動一個角度.

師：你們觀察得很仔細(xì)！那根據(jù)生4和生5的觀點，你們可以嘗試著給旋轉(zhuǎn)下一個定義嗎？

生6：一個圖形繞著一個定點O轉(zhuǎn)動一個角度θ，得到另一個圖形的變換就是旋轉(zhuǎn).

師：你們認(rèn)為這個同學(xué)說的有道理嗎？

生（齊）：有道理.

師：對，這位同學(xué)說得非常好. 我們把其中的定點O稱為旋轉(zhuǎn)中心，θ稱為旋轉(zhuǎn)角度.

師：從上面的具體實例中我們認(rèn)識了旋轉(zhuǎn)，再繼續(xù)觀察，要描述圖形的旋轉(zhuǎn)，我們需要關(guān)注哪些要點？我們?nèi)我猱嬕粋€△ABC，把它繞著點A旋轉(zhuǎn)60°，會得到怎樣的結(jié)果？

生7：因為旋轉(zhuǎn)方向不確定，所以我畫出了兩個不同位置的三角形（如圖3所示）.

師：那把△ABC繞著它的頂點順時針旋轉(zhuǎn)60°，會得到怎樣的結(jié)果？

生8：因為旋轉(zhuǎn)中心不確定，所以我畫出了不同位置的三角形（如圖4所示）.

師：把△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，又會得到怎樣的結(jié)果？

生9：因為旋轉(zhuǎn)角度不確定，所以可以畫出無數(shù)個三角形.

師：那怎樣才能使旋轉(zhuǎn)后的圖形唯一確定呢？

生10：把△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，這樣就能畫出唯一的三角形了（如圖5所示），所以要確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)角度.

師：非常好！旋轉(zhuǎn)的這三個要素缺一不可，這樣才能讓旋轉(zhuǎn)后的圖形“唯一確定”.

師：那旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形有何關(guān)系呢？

設(shè)計意圖創(chuàng)造合適的問題串情境，促使學(xué)生積極投入解決問題的氛圍中，經(jīng)歷由生活實物旋轉(zhuǎn)到數(shù)學(xué)圖形旋轉(zhuǎn)的抽象化過程，這樣的設(shè)計符合當(dāng)前知識階段的圖形轉(zhuǎn)化促使橫向數(shù)學(xué)化的發(fā)生. 接著從中抽象出旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)屬性，獲得旋轉(zhuǎn)概念，并借助“問題串”，在理解旋轉(zhuǎn)概念的同時，明晰“唯一確定性”，從而理解旋轉(zhuǎn)的三要素，完成縱向的數(shù)學(xué)化. 最后，由此引起的疑問為學(xué)生提供了探究旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的動機.

【環(huán)節(jié)三】知識的生成：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)——再創(chuàng)造

師：其實研究旋轉(zhuǎn)前、后兩個圖形的關(guān)系就是研究旋轉(zhuǎn)的性質(zhì). 那圖形旋轉(zhuǎn)具體有哪些性質(zhì)？

生：……（思維暫時中斷）

師：我們學(xué)習(xí)平移、軸對稱的性質(zhì)時，是從哪些角度進(jìn)行探究的？（通過這樣的類比啟發(fā)學(xué)生，指引學(xué)生找到明確的方向）

生11：可以從點、角和線段出發(fā).

師：生11的思維很敏捷！研究旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就是研究這些對應(yīng)點、對應(yīng)角、對應(yīng)線段之間的關(guān)系，研究它們在形狀、大小和位置方面有何變化. 下面我們一起觀察△ABC旋轉(zhuǎn)的過程（如圖6所示）. △ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)后得到△A′B′C′，旋轉(zhuǎn)后得到的△A′B′C′與原△ABC有何關(guān)系？OA與OA′、OB與OB′、OC與OC′，以及∠AOA′，∠BOB′，∠COC′分別有什么數(shù)量關(guān)系？

生12：△ABC和△A′B′C′的形狀和大小都相同，所以△ABC≌△A′B′C′；∠AOA′，∠BOB′，∠COC′都等于旋轉(zhuǎn)角，所以∠AOA′=∠BOB′=∠COC′；OA與OA′、OB與OB′、OC與OC′的長度也分別相等.

學(xué)生利用類比思想方法，探究出了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)中心是唯一不動的點.

設(shè)計意圖教師鼓勵學(xué)生動手操作三角形旋轉(zhuǎn)的全過程，又適當(dāng)啟發(fā)學(xué)生采用類比思想方法，促使學(xué)生獲得真實有效的數(shù)學(xué)化信息，調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，找出對應(yīng)點、對應(yīng)角、對應(yīng)線段之間的關(guān)系，最終探究出旋轉(zhuǎn)的性質(zhì). 在這一教學(xué)環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生自主探究，在“再創(chuàng)造”中得到旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，充分發(fā)揮了學(xué)生的主體地位，學(xué)生也在此過程中經(jīng)歷了知識的生成過程.

結(jié)束語

“圖形的旋轉(zhuǎn)”教學(xué)過程契合弗氏數(shù)學(xué)教育理論. 上述案例，從環(huán)節(jié)一“創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實情境”，引起學(xué)生共鳴；過渡到環(huán)節(jié)二“抽象出圖形的旋轉(zhuǎn)（即抽象出數(shù)學(xué)概念）”，學(xué)生經(jīng)歷了由生活實物旋轉(zhuǎn)到數(shù)學(xué)圖形旋轉(zhuǎn)的抽象化過程，獲得了旋轉(zhuǎn)的概念，并理解了旋轉(zhuǎn)的三要素；最后過渡到環(huán)節(jié)三“知識的生成”，學(xué)生在“再創(chuàng)造”中探究出了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì). 教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計的首要任務(wù)是充分利用學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”，從學(xué)生當(dāng)前的數(shù)學(xué)現(xiàn)實出發(fā)，有選擇地向?qū)W生提供橫向數(shù)學(xué)化的合適信息，在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生組織、探究信息，并進(jìn)行整合，生成數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，以達(dá)到“再創(chuàng)造”的目的，同時為縱向的數(shù)學(xué)化提供方法和手段. 簡而言之，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程就是基于學(xué)習(xí)者已有的數(shù)學(xué)知識、領(lǐng)悟與經(jīng)驗而生成的“再創(chuàng)造”過程［5］. 這個探索過程，不僅能沖破學(xué)生思維的消極定式，還能啟發(fā)學(xué)生“再創(chuàng)造”建構(gòu)新的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，從而促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展.

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［2］吳開朗，朱茱，許夢日. 論漢斯·弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育觀［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，1995（03）：17-21.

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［4］弗賴登塔爾. 作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)［M］. 陳昌平，唐瑞芬，等譯. 上海：上海教育出版社，1995.

［5］張昆. 指向以學(xué)定教的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計示例——透過弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”教學(xué)思想的視點［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（12）：61-64.

［6］張昆. 實現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有效性的思考——透過弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”教學(xué)原則的視點［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（09）：5-7.