趙平海

摘 要：培養(yǎng)學生的數學應用意識是初中數學學科教育的主要目標。在初中，建模思想是學生學習與解題的主要思想，在課堂中融入建模思想能夠有效培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識、思維能力、運用意識。基于此，文章介紹了初中數學教學中滲透建模思想的原則，并重點闡述了在數學概念課、原理課、習題課教學中如何滲透模型思想，以期促進學生多方面的發(fā)展。

關鍵詞：初中數學；教學；模型思想

中圖分類號：G633.6?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1673-8918（2023）21-0119-04

一、 引言

傳統(tǒng)初中數學教學以講解為主，很少滲透數學模型思想，導致學生對模型理解不透徹，沒有形成數學模型思想。這是因為一些一線教師對模型思想的認知還存在誤區(qū)，認為這會讓解答數學問題變得復雜。其實不然，先建立數學模型再學習或者解答數學題可以幫助學生減少很多思考的步驟。

二、 初中生數學建模的一般過程

（一）探尋實際問題情境

這一過程指學生在現(xiàn)實情境中觀察有關信息，確定實際問題的結構、類型，總結實際問題的表征。接著通過觀察與概括等形式，確定實際問題中有哪些條件，厘清實際問題的條件與目的，為下一步抽象現(xiàn)實問題模型奠定基礎。

（二）抽象現(xiàn)實問題模型

在上一探究過程后，學生能夠清晰地表達實際問題，并能刨除一些無用信息，抽象出實際問題和關鍵信息。有時學生們不能抽象出更精簡的數學條件，則要再次分析，用圖形、文字模型等形式進行表達，理清要解決的實際問題中的數量關系，化繁為簡，以此抽象出現(xiàn)實問題模型，便于學生將問題模型數學化。

（三）將現(xiàn)實問題數學化

在構建問題模型之后就可進行數學化，將實際問題轉化成數學問題，實現(xiàn)數量關系的結構化、符號化。在此可以教授學生利用數學概念、定理與公式表達情境，然后就可運用數學方法來解決。也就是說學生在建模的過程中要先將實際問題數學化，將與生活相近的實際問題轉換成新的數學問題，然后構建模型，嘗試解決問題。

（四）將數學問題模型化

在確定好數學問題后就要建立數學模型，將問題中的條件與學生已學的數學概念、規(guī)則、公式等聯(lián)系，構成基本數量關系，進而建立方程（組）、不等式（組）、函數等模型。

（五）求解數學模型

一般情況下數學模型是對數學材料的重組，在弄清楚變量之間的變化后，就可以制定數學模型解題的方案，找到一個徹底解答數學模型的方案，得到最終的數學結果。最后通過反思與檢驗的形式驗證建模與解答模型過程的正確性。

三、 初中數學教學中滲透模型思想的原則

（一）情境性原則

數學來自人們的生活實際，如果脫離現(xiàn)實，數學只代表數字與符號，所以教師開展的數學教學不能脫離現(xiàn)實情境。學生們建立數學模型解決實際問題是一種學習策略，有很強的抽象性，教師在教學的時候通過將數學知識與實際生活結合，能夠幫助學生將感性與理性認知聯(lián)系起來，加強對知識的理解。

（二）循序漸進原則

不同學生的數學認知能力也有很大的差異，教師在教學的時候，不能因為模型思想滲透難度大而放棄教授這部分知識，也不能指望學生能夠短時間掌握數學模型思想。而是要在學生掌握基礎知識之上，由教師循序漸進地進行教學，讓學生通過學習逐漸感悟模型思想，提升建模能力。

（三）數學化原則

初中數學中的知識來自生活中的多個方面，而學生學習數學，是為了能夠在實際生活中運用數學解答問題，同時運用數學改造生活。模型思想的本質也是通過數學語言與符號、圖形，將生活中的問題轉化為數學問題，然后通過函數、方程、不等式等表示數學中變量之間的關系，獲得問題的結果。

四、 初中數學教學中滲透模型思想的策略

（一）數學原理課中模型思想的滲透

數學原理有數學公式、數學定理、數學法則等。數學公式有完全平方公式、平方差公式、平均數公式、方差公式、扇形面積公式與弧長公式等；數學定理有三角形內外角定理、角平分線定理與逆定理、全等三角形的性質與判定、勾股定理、直角三角形HL判定定理、分式的基本形式、四邊形與特殊四邊形的性質與判定、韋達定理等；數學法則有加減乘除法則、有理數的混合運算、整式的加減乘除、冪的乘除與乘方、分式的加減乘除法則。

由此可知數學原理課占整體教學內容比重較大，教師要重視此部分課程的教學，并能運用適合的資源在課堂中滲透數學模型思想，讓學生在數學原理課中體會建模的重要性。此類課型教授給學生的知識不只有定理與公式、法則，更重要的是對這些知識探索的過程，能夠讓學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后利用模型表達。自此經歷從特殊到一般的過程獲得數學知識。數學原理課中模型思想的滲透過程為：觀察實例、提出猜想、驗證推理、形成原理、運用實踐。課堂中為學生提供的實例要簡單，易于猜想，然后推理驗證。因為初中生的推理能力有限，所以可以運用實驗驗證與歸納推理法，確定猜想形成原理后，就可進行簡單的推廣運用。

例如“有理數的加法”教學內容是在小學階段的正數加法的基礎上增加了負數，有負數+正數、負數+負數、負數+0，這三種類型的加法問題算理就是確定結果的符號、絕對值。在實際案例中學生可以根據生活經驗了解這些相反意義的量，例如：“乒乓球比賽中，晨晨贏了3個球+3分，輸了1個球-1分，她一共得了多少分？”表示為3+（-1）=2，此處運用的計算思維是正負抵消。這可以加強學生對正負數加法算理的認知，然后教師可再設置一個學生難以跨越的“障礙”，讓學生建立構建模型的意識。如設置問題諸如-23+34，讓學生在之前經驗基礎上，自己想辦法解決問題。例如：算式3+6=9、-6+0=-6、3+（-2）=1、6+（-3）=3、-4+3=-1、0+3=3、-4+1=-3、-4+（-1）=-5、-1+（-4）=-5。第一步，制定模型標準。有正數+正數，這部分是小學學習的內容，如3+6=9；正負數+0，0與任何一個數相加都等于這個數，如-6+0=-6、0+3=3；正數與負數相加，如3+（-2）=1、6+（-3）=3、-4+3=-1、-4+1=-3；負數與負數相加，如-4+（-1）=-5、-1+（-4）=-5。第二步，提出猜想。對上面模型進行細致分析，本次課程原理課主要是為了解決第三、第四類問題，即確定負數與另一個數相加確定結果的符號與絕對值。下面要思考的是怎樣確定符號、怎樣確定絕對值。學生們會發(fā)現(xiàn)，大的負數加小的正數結果是負數、小的負數加大的正數結果是正數、負數加負數結果是負數。這時學生們說的“大的”“小的”就是指絕對值的大小。雖然學生的語言不規(guī)范，但是認知是正確的，教師表揚的同時要客觀指出問題，然后引導學生規(guī)范表達。第三，推理驗證模型，教師出示問題-12+3、-12-3、-12+0等問題，讓學生利用自己的猜想解答，然后驗證猜想。第四，形成原理。在驗證無誤之后，運用規(guī)范性的數學語言表達有理數加法法則，讓學生在此過程中感受數學語言的嚴謹性。第五，應用推廣，就是運用模型的過程，再出示習題讓學生運用有理數加法法則進行計算，教師盡量鼓勵學生摒棄舊的計算習慣，使用法則來計算，學生剛開始改變計算習慣可能有一些錯誤，所以需要教師帶領學生反復使用法則運算，慢慢讓學生內化成習慣，快速提升計算能力。

（二）數學概念課中模型思想的滲透

七、八年級有很多概念形成的課型，如一元一次方程、有理數、函數、不等式、分式等概念。在這些概念的教學中要讓學生經歷概念生成的過程，就像偉大數學家發(fā)現(xiàn)概念一樣，概念形成的過程就是建模的過程。例如無理數概念的教學，學生們對整數知識理解得比較透徹，對分數也知道分子分母。他們會經常產生這樣的疑問，有沒有既不是分數又不是整數的數？這樣的數叫什么？基于此，教師可以滲透數學模型思想進行無理數概念的教學。

第一，發(fā)現(xiàn)問題。在勾股定理教學之后，學生們經常遇到這樣的問題，一個等腰直角三角形的兩條直角邊為1，那么根據勾股定理得到第三條邊a的長為a2=2，這里的a是有理數嗎？則讓學生產生數學“危機”，知道a不是整數，是介于1～2之間的數；也不是分數，因為分數的平方也是分數，卻不知道a到底是什么數。所以既不是分數也不是整數，它的平方還是2，根據有理數的概念，a不能是有理數，既然不是有理數，a是什么數呢？

第二，分析問題。對a2=2中a的值，通過計算機計算可知a=1.41421356…，與π相似，都是無限不循環(huán)小數，除此之外還有這樣的數嗎？教師提出例子，正方形的面積為5平方厘米，它的邊長是有理數嗎？設邊長是x，x2=5，可知x不是有理數。再如正方體的體積為5立方厘米，它的邊長是有理數嗎？設邊長是y，y3=5，可知y不是有理數，以此形成概念，然后教師帶領學生找出這些數的共同點。即使用計算機計算他們都是無限不循環(huán)小數，不能用以前學習過的數來表示。詳細分析，分數可以轉化為有限小數、無限循環(huán)小數；有限小數也能轉化成分數。但是無限循環(huán)小數轉化為分數卻是比較困難的，教師可以多列舉幾個例子讓學生體會轉化方法。如：0.3·=0.333…①0.3·×10=3.333…②，②-①得到0.3·×9=3，所以0.3·=13。同理可證0.13·=215，0.3·4·=3499。這種轉化過程有些許難度，但是為了讓學生能夠知道無限循環(huán)小數是可以轉化成分數的，所以教師要在課堂中做這種示范，為滲透建模思想提供充分的契機，讓學生知道像上面x、y這樣的數的本質是無限不循環(huán)小數。

第三，解決問題。教師可以再列舉無限不循環(huán)小數的例子，讓學生知道這種數有很多，思考如何下定義，就是建模的過程。自此“無限不循環(huán)小數是無理數”這個定義自然生成，學生能夠充分地區(qū)分有理數與無理數。

在此過程中可知，在教師的引導下學生主動思考形成概念，同時在發(fā)現(xiàn)問題與突破問題中還能發(fā)現(xiàn)更多的未知要素，經歷抽象概括環(huán)節(jié)后形成新的概念，在這個過程中就滲透了建模思想，對相同屬性的事物構建模型，讓概念形成更有條理。

（三）數學解題課中建模思想的滲透

初中數學解題教學占的比重大，每一節(jié)新課教學之后都要有對應的解題課，這也是培養(yǎng)學生建模思維的最佳時機。教師在解題教學課中要指導學生如何解題，找共性，建立模型，讓學生能夠用模型來解題，舉一反三。下面從代數與幾何兩方面闡述如何在數學解題課中滲透模型思想。

1. 代數解題教學中滲透建模思想

代數類問題解答常用的模型是A·B=C，這個模型也是最簡單的，學生從小學階段就開始接觸了，如行程問題中的路程=速度×時間、工程問題中的工作量=工作效率×工作時間等。在小學階段知道三個量中的兩個，學生可以輕松求出第三個量，直接列出算式求解。到了初中階段則是通過設未知數列方程模型，或者通過變量表示函數模型等，加大了學生學習的難度。

例如問題：“商場內出售一款褲子為80元，晨晨買這款褲子一共花了240元，請問晨晨買了幾條這款褲子？”此問題的解答是通過設置未知數，晨晨買了x條褲子，然后列出一元一次方程80×x=240來解答。再如問題：“商場內出售一款褲子80元，一款襯衫150元，晨晨一共買三件，花了310元，求晨晨各買了幾件襯衫和褲子？”此問題增加了一個研究對象，就變成二元一次方程組問題了。可以直接運用模型A·B=C，詳細來說，就是價格模型：總價格=售價×個數。

再加深難度，例如問題：“商場內出售一款褲子為80元，進價為30元，每天可賣100條，據市場調查可知，褲子每降價1元，可以多賣4條，要想每天獲得利潤5600元，每條褲子降價多少元最合適?！边@個問題看似復雜，卻仍然可以使用模型A·B=C來計算，此時的模型是總利潤=單條褲子的利潤×銷售量。設每條褲子降價x元，那么每條褲子的利潤是80-30-x=50-x（元），銷售量則為100+4x。對每條褲子的利潤和銷售量算式的表達對學生來說難度有些大，分析起來就是學生對模型的認知不足。每一個新知識點的教學，都需要教師引導學生在學習新知識的同時還要與舊知識形成對比，找出異同，挖掘知識本質，在舉一反三中鞏固所學。當學生學會A·B=C這個模型后，自然就能自己分析代數應用題。

除了方程之外還可用函數表示應用題中的條件關系，在A·B=C模型中將C作為變量y，A或者B作為未知數x，如此一個函數模型就產生了，即y=A（B）x。例如問題：“商場內出售一款褲子為80元，進價為30元，每天可賣100條，據市場調查可知，褲子每降價1元，可以多賣4條，每條褲子降價多少才能獲得最大的利潤？”之前的問題中給出利潤是5600元這個條件，現(xiàn)在沒有了這個條件，可以將總利潤用y表示，函數關系式為y=（100+4x）（50-x）。通過對一系列銷售問題的分析，能幫助學生深刻地認識到函數與方程之間的聯(lián)系與區(qū)別，對兩種模型的認知也會更加深入。

2. 幾何解題教學中滲透建模思想

初中幾何題中的模型較多，幾乎每一種基本圖形都能夠當做模型運用到解題中，如扇形公式、等腰三角形的三線合一等，在復雜的幾何問題中可以幫助學生找到基本模型，挖掘有效信息，科學解題。

初中階段的幾何證明題涉及三角形相似的知識點較多，學生在學習平行線分線段成比例的學習后過渡到相似三角形的知識點。學生在做這類題型的時候往往難以在復雜的圖形中找到或者通過做輔助線的形式制作相似三角形。

例如問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB=3，點D、E在BC邊上，連接AD，AE，若∠DAE=45°，BE=52，求CD的長。

圖1

此題目中涉及一個相似三角形的模型，即“半角”模型，教師先帶學生解答這個問題，在Rt△ABC中，因為∠BAC=90°，AC=AB=3，所以∠B=∠C=45°，∠BAE=∠BAD+∠DAE=∠BAD+45°。∠CDA=∠BAD+∠B=∠BAD+45°。所以∠BAE=∠CDA，所以△ABE～△DCA，所以ABDC=BECA。因為AB=AC=3，BE=52，所以3DC=523，CD=185。解答完問題后，學生在了解解題思路之后，師生一同分析，在等腰直角三角形中，∠DAE=12∠BAC=45°時，能夠得到△ABE、△DCA、△DAE是相似的。記住這個幾何模型后，以后再接觸相似圖形的時候，可以馬上得到相似的結論，解題過程會更加順利。

五、 結語

在初中數學課堂中滲透數學模型思想，對學生來說有以下意義：一方面，在構建數學模型思想的每一個環(huán)節(jié)都需要學生主動參與，對其良好學習習慣的培養(yǎng)有重要意義；另一方面，對初中生來說在學習數學知識的時候建立模型思想，能夠幫助他們舉一反三，鍛煉轉化意識，解答更多沒有見過的數學問題。可見，在初中數學教學中滲透數學模型思想是可行的、值得推廣的。

參考文獻：

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