施巧凝

【摘 要】小學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握必要的運(yùn)算技能，在探索算理和算法的過程中鍛煉思考問題、解決問題的能力。對(duì)此，文章從“動(dòng)靜結(jié)合，說想法”“圖式對(duì)接，明法理”“對(duì)比辨析，深思考”三個(gè)方面討論中低年級(jí)乘除法的教學(xué)實(shí)踐過程，以期加深學(xué)生對(duì)乘除法意義的理解，提高運(yùn)算能力，進(jìn)而發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】乘除法 小學(xué)數(shù)學(xué) 中低年級(jí)

【中圖分類號(hào)】G623.5? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1002-3275（2023）02-58-03

乘法是一種特殊的加法，除法是乘法的逆運(yùn)算。計(jì)算能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本能力之一，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)其他內(nèi)容的基礎(chǔ)，計(jì)算教學(xué)在小學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)中占有較大比重，學(xué)生的計(jì)算能力影響著他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果。對(duì)此，教師有目的地培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，能促進(jìn)他們心理品質(zhì)、學(xué)習(xí)習(xí)慣、思維能力的發(fā)展。在低年級(jí)加數(shù)求和的基礎(chǔ)上開展乘除法的教學(xué)，是提升小學(xué)生計(jì)算能力的進(jìn)階過程，有助于為后續(xù)的問題求解奠定計(jì)算基礎(chǔ)。

一、小學(xué)中低年級(jí)乘除法教學(xué)目標(biāo)

（一）小學(xué)計(jì)算教學(xué)的總目標(biāo)

在小學(xué)數(shù)學(xué)加減乘除等計(jì)算教學(xué)的總目標(biāo)中，要求學(xué)生能夠了解運(yùn)算意義、運(yùn)算原理、基本法則和關(guān)系，能夠根據(jù)題目要求進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算，按照具體的問題情境判斷并選擇合適的計(jì)算規(guī)則進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而在數(shù)學(xué)計(jì)算學(xué)習(xí)和練習(xí)過程中建立數(shù)感，形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（二）小學(xué)計(jì)算教學(xué)各學(xué)段的分目標(biāo)

在第一學(xué)段（1～3年級(jí)）的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生通過系統(tǒng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，能夠認(rèn)識(shí)并理解萬以內(nèi)的數(shù)，包括整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)，掌握常見的運(yùn)算法則和運(yùn)算技巧。在學(xué)習(xí)加減法算法的基礎(chǔ)上，開始接觸乘除法運(yùn)算法則及意義。

在第二學(xué)段（4～6年級(jí)）的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生需熟練掌握加減乘除運(yùn)算法則，以及數(shù)的表示、數(shù)的大小、數(shù)量估計(jì)等。教師在此基礎(chǔ)上培養(yǎng)小學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)感，進(jìn)而使學(xué)生能夠?qū)で蟊容^簡(jiǎn)單合理的計(jì)算途徑，快速地解決問題。所謂數(shù)感，就是對(duì)數(shù)與數(shù)量、運(yùn)算結(jié)果、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算估量等的感悟。在擁有一定數(shù)感的基礎(chǔ)上鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，更能夠促使學(xué)生理解“數(shù)”在生活中的表示及應(yīng)用意義，進(jìn)而清晰地表述出生活情境中的數(shù)量關(guān)系。

二、小學(xué)中低年級(jí)乘除法教學(xué)需注意的問題

（一）算法意義問題

加法運(yùn)算、乘法運(yùn)算、除法運(yùn)算的知識(shí)點(diǎn)一脈相承，前者為后者的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)。教師教學(xué)乘法時(shí)，要重視溝通乘法與加法之間的內(nèi)在聯(lián)系，即都是計(jì)算“幾個(gè)幾”的和是多少；教學(xué)除法時(shí)，則讓學(xué)生理解除法與乘法之間的聯(lián)系（互逆關(guān)系）。換句話說，乘法和除法知識(shí)都與“幾個(gè)幾”有關(guān)，在具體教學(xué)中，為深化學(xué)生對(duì)“幾個(gè)幾”的印象，應(yīng)注意既讓學(xué)生動(dòng)手操作，又讓學(xué)生靜心思考，通過畫圖說理，深刻理解乘除法的意義。不僅如此，乘除法教學(xué)不能停留在算式外部形式和算法的機(jī)械認(rèn)識(shí)上，要讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握算理算法。直觀模型的運(yùn)用為學(xué)生提供了一個(gè)探索的載體，不僅可以促進(jìn)學(xué)生參與學(xué)習(xí)探索，而且還可以展現(xiàn)學(xué)生的思維，讓抽象的算理看得見、摸得著。

（二）問題設(shè)置的多樣化問題

小學(xué)階段乘除法的問題千變?nèi)f化，并且越到高年級(jí)信息越復(fù)雜，但萬變不離其宗，用數(shù)學(xué)的眼光去審視題目，實(shí)際上都是關(guān)于“幾個(gè)幾的和是多少”“把一個(gè)數(shù)平均分成幾份，每份是多少”“一個(gè)數(shù)有幾個(gè)另一個(gè)數(shù)”的問題。學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì)，就能迎刃而解。

（三）教學(xué)情境化問題

計(jì)算是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)及數(shù)量關(guān)系的抽象，應(yīng)該在具體的情境中理解計(jì)算的意義，并運(yùn)用數(shù)學(xué)計(jì)算知識(shí)來解決實(shí)際問題，避免計(jì)算過程或方法的復(fù)雜化，同時(shí)也避免在數(shù)學(xué)教學(xué)中將運(yùn)算與應(yīng)用割裂。

三、小學(xué)中低年級(jí)乘除法教學(xué)策略

（一）動(dòng)靜結(jié)合，說意義

1．在“圈、數(shù)、說”中理解乘法意義

二年級(jí)上冊(cè)的“數(shù)一數(shù)與乘法”單元的“有多少塊糖”準(zhǔn)備課安排了三個(gè)活動(dòng)，創(chuàng)設(shè)同數(shù)連加的情境，目的在于為學(xué)生學(xué)習(xí)乘法積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。其中活動(dòng)一“擺一擺，數(shù)一數(shù)”，喚醒學(xué)生“數(shù)數(shù)可以1個(gè)1個(gè)地?cái)?shù)，也可以幾個(gè)幾個(gè)地?cái)?shù)”的生活經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生動(dòng)手?jǐn)?shù)時(shí)經(jīng)歷幾個(gè)幾個(gè)地拿的過程。教師此時(shí)可趁熱打鐵，在活動(dòng)二“數(shù)一數(shù)，填一填”環(huán)節(jié)抓住“行”和“列”這兩個(gè)關(guān)鍵字，通過“圈一圈、數(shù)一數(shù)、說一說”（見圖1），加深學(xué)生對(duì)“按行數(shù)”和“按列數(shù)”的理解，為乘法學(xué)習(xí)做鋪墊。

緊接著開展活動(dòng)三“說一說，算一算”（見圖2），讓學(xué)生邊說邊計(jì)算。學(xué)生先橫著數(shù)：“每行有5根棒棒糖，1個(gè)5，2個(gè)5，3個(gè)5，3個(gè)5相加起來等于15。”再豎著數(shù)：“每列有3根棒棒糖，1個(gè)3，2個(gè)3，3個(gè)3，4個(gè)3，5個(gè)3，5個(gè)3相加也等于15?！皫讉€(gè)幾”這樣數(shù)的方法屬于乘法計(jì)數(shù)的策略，在準(zhǔn)備課中引導(dǎo)學(xué)生按“幾個(gè)幾”去理解每份的數(shù)量和份數(shù)，發(fā)揮首因效應(yīng)作用，有利于學(xué)生在腦海中產(chǎn)生“幾個(gè)幾”的記憶圖示，為后續(xù)乘法意義的學(xué)習(xí)做鋪墊。而在整個(gè)“數(shù)一數(shù)與乘法”單元，教師要始終把加深學(xué)生對(duì)乘法意義的理解放在核心地位。

先讓學(xué)生動(dòng)手圈一圈，再列算式，并說一說算式表示的意義。在乘法學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生有了關(guān)于圈出“幾個(gè)幾”、數(shù)“幾個(gè)幾”、說“幾個(gè)幾”的意義的活動(dòng)經(jīng)歷，對(duì)于“幾個(gè)幾相加可用乘法計(jì)算”的體驗(yàn)更加深刻，乘法的意義在學(xué)生的腦海里留下深刻印象，也為除法平均分（每份的數(shù)量是一樣的）的學(xué)習(xí)埋下伏筆。

2．在“分、記、說”中理解除法意義

二年級(jí)下冊(cè)的“除法”單元安排了“分物游戲”“分蘋果”“分糖果”“分香蕉”等一系列分物活動(dòng)。無論是平均分的第一種分法（按份數(shù)分），還是第二種分法（按每份的個(gè)數(shù)平均分），教師都要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注分的過程和分的結(jié)果。分的過程指的是分法，即求每份是多少時(shí)是怎么分的，求幾份時(shí)又是怎么分的。分的結(jié)果指的是分完后，物品（圖形）呈現(xiàn)出“幾個(gè)幾”的狀態(tài)。例如“分蘋果”一課，學(xué)生通過具體操作或畫圖的方法解決平均分的簡(jiǎn)單問題，認(rèn)識(shí)平均分的兩種表示方式，在討論、交流中進(jìn)一步體會(huì)平均分的意義。有了圖示的指引，學(xué)生匯報(bào)操作時(shí)思路更加清晰，對(duì)比兩種分法的異同時(shí)一目了然，對(duì)于平均分的概念更加清晰。這在一定程度上培養(yǎng)了學(xué)生的圖形語(yǔ)言表達(dá)能力，能夠逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（二）圖式對(duì)接，明法理

1．用點(diǎn)子圖學(xué)乘法

點(diǎn)子圖這一直觀模型從二年級(jí)上冊(cè)“有多少點(diǎn)子”一課開始正式出現(xiàn)，三年級(jí)上冊(cè)“螞蟻?zhàn)霾佟保▋晌粩?shù)和三位數(shù)乘一位數(shù)的乘法）和下冊(cè)“隊(duì)列表演（一）”（兩位數(shù)乘兩位數(shù)橫式筆算）這兩節(jié)課中，教材都安排了三個(gè)逐步引導(dǎo)學(xué)生探究乘法計(jì)算的活動(dòng)，并且前兩個(gè)活動(dòng)都借助點(diǎn)子圖進(jìn)行探究，活動(dòng)一的情境可以很自然地抽象成點(diǎn)子圖。學(xué)生在點(diǎn)子圖上分一分、圈一圈，化難為易，再將直觀運(yùn)算的過程和結(jié)果記錄成書面形式，在圖式對(duì)接中理解橫式筆算、口算的算理算法。同樣，乘法豎式學(xué)習(xí)也可以借助點(diǎn)子圖發(fā)掘豎式筆試和橫式筆算（口算）的本質(zhì)聯(lián)系，從而讓學(xué)生理解豎式運(yùn)算每一步的具體含義，進(jìn)而構(gòu)建乘法豎式運(yùn)算模型。

例如“螞蟻?zhàn)霾佟币徽n，教材的活動(dòng)一要求學(xué)生借助點(diǎn)子圖這一直觀模型，在點(diǎn)子圖上圈一圈、算一算有多少只螞蟻，目的在于復(fù)習(xí)一位數(shù)乘兩位數(shù)的直觀運(yùn)算，進(jìn)而在活動(dòng)二中對(duì)比口算、列表、點(diǎn)子圖之間的聯(lián)系，揭示乘法豎式筆算與口算之間的本質(zhì)聯(lián)系——把整體“分塊”求積，再求這些積的和。又如三年級(jí)上冊(cè)“需要多少錢”一課，教材通過生活情境促使學(xué)生理解本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)及問題。學(xué)生自主采用圈點(diǎn)子的方式探索“12×4”。為提高課堂實(shí)效性，教師選擇了畫圖法（見圖3）、表格法（見圖4）進(jìn)行交流，既保證適當(dāng)發(fā)散思維，也凸顯“將兩位數(shù)分為整十?dāng)?shù)和一位數(shù)”乘法豎式計(jì)算的方法，以便借助點(diǎn)子圖理解豎式計(jì)算的每一步，促使學(xué)生用聯(lián)系的眼光去發(fā)現(xiàn)口算與筆算的思維共性，有機(jī)聯(lián)系知識(shí)。

對(duì)于學(xué)困生而言，借助點(diǎn)子圖獨(dú)立探索12×4需要較長(zhǎng)時(shí)間。如此一來，如果教師在教材設(shè)置的活動(dòng)環(huán)節(jié)分配較長(zhǎng)時(shí)間，那么課堂鞏固練習(xí)時(shí)間無法保證。因此，教師可在課前為學(xué)生提供學(xué)習(xí)單，引導(dǎo)學(xué)生回憶以前是否使用過點(diǎn)子圖，聯(lián)想數(shù)學(xué)中點(diǎn)子圖可以代表什么，假如一個(gè)點(diǎn)子代表的是一個(gè)同學(xué)，這些同學(xué)在進(jìn)行隊(duì)列表演，那么這幅點(diǎn)子圖講的是什么故事，可以提出什么問題。引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)點(diǎn)子圖倒推情境，喚醒前經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，對(duì)點(diǎn)子圖這一直觀模型產(chǎn)生更為深刻的印象。教師再選取正確的、有價(jià)值的學(xué)生做法來分享交流，給予正面強(qiáng)化。

引導(dǎo)學(xué)生思考“每個(gè)算式在點(diǎn)子圖的哪里？”“每個(gè)算式表示什么意思？”這兩個(gè)問題，借助點(diǎn)子圖來解釋每步計(jì)算的含義，讓隱藏在計(jì)算中的算理變成看得見的直觀圖示。當(dāng)然，圖式對(duì)接后，教師還需要通過追問來考查學(xué)生是否脫離點(diǎn)子圖也能正確運(yùn)算，是否真正掌握了運(yùn)算方法。因?yàn)辄c(diǎn)子圖雖然有助于學(xué)生直觀理解乘法運(yùn)算，但是直觀運(yùn)算不是計(jì)算教學(xué)的終極目標(biāo)，所以教師應(yīng)幫助學(xué)生擺脫直觀，直接從乘法算式出發(fā)，抽象出直接用數(shù)字和位值進(jìn)行思考和運(yùn)算的方法，引導(dǎo)學(xué)生的思維逐漸深刻。

2．借小棒、方塊圖學(xué)除法

在一位數(shù)除以多位數(shù)的除法探究中，北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材用得最多的直觀模型是小棒和方塊圖。被除數(shù)是兩位數(shù)的采用小棒操作，如80÷4＝20，一捆小棒代表10根，小棒圖可以直觀表示8個(gè)10除以4等于2個(gè)10，2個(gè)10就是20。而被除數(shù)是三位數(shù)時(shí)多采用方塊圖，一個(gè)方塊是1，一條方塊是10，一片方塊是100。在除數(shù)是一位數(shù)的除法計(jì)算中，合理使用這兩種具有十進(jìn)關(guān)系的直觀模型，可以幫助學(xué)生深刻理解口算除法的算理和除法豎式每一步的含義。例如三年級(jí)下冊(cè)“商是幾位數(shù)”練一練的題目，可以引導(dǎo)學(xué)生在圖上逐步將每次分的總數(shù)用大括號(hào)標(biāo)出來，再將每一次分得的數(shù)量圈出來，并將口算的步驟寫出來，再列豎式，進(jìn)一步鞏固直觀模型、口算算式和豎式之間的聯(lián)系。

（三）對(duì)比辨析，深思考

筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，在新授課的課時(shí)練習(xí)中，學(xué)生往往可以正確解答相應(yīng)的問題，然而一到綜合應(yīng)用就困難重重。例如一道除法應(yīng)用題：“有6個(gè)小朋友去植樹，每2個(gè)小朋友一組，一共可以分成幾組？”較多學(xué)生列出乘法算式“6×2”。假如問題表述中沒有“一共”這個(gè)詞，將題目聯(lián)系乘法的學(xué)生就沒有那么多。出現(xiàn)這種情況的原因是學(xué)生對(duì)乘除法的意義理解不夠深刻，分析和解決問題的耐心和能力不足。對(duì)此，教師可以設(shè)計(jì)問題串，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)乘除法的意義進(jìn)行整理復(fù)習(xí)?？赏ㄟ^畫圖說理增強(qiáng)學(xué)生深入分析問題的意識(shí)和能力，加深對(duì)乘除法意義的理解。還可以運(yùn)用直觀圖示，給予學(xué)生充分的時(shí)間和空間探索算法、交流算理，不斷豐富學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，完善數(shù)學(xué)表達(dá)，發(fā)展學(xué)習(xí)能力，體驗(yàn)學(xué)會(huì)、會(huì)學(xué)的樂趣。

總之，小學(xué)乘除法是小學(xué)中低年級(jí)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，學(xué)習(xí)難度相對(duì)較大。在乘除法教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生本位，讓學(xué)生在動(dòng)手動(dòng)腦中感受運(yùn)算的樂趣。通過動(dòng)靜結(jié)合、圖式對(duì)接、對(duì)比辨析的創(chuàng)新教學(xué)方式，幫助學(xué)生更好地理解乘除法的意義及使用方法，學(xué)會(huì)反思和應(yīng)用，進(jìn)而達(dá)到學(xué)以致用、觸類旁通的目的，實(shí)現(xiàn)“做中學(xué)”“學(xué)中樂”，在提高乘除法計(jì)算能力的基礎(chǔ)上提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。