常自然

【摘要】正弦平方差公式是關(guān)于三角函數(shù)里的一個重要的二級結(jié)論，在解決三角函數(shù)問題時可以大大節(jié)約時間，起到事半功倍的作用，因而大受學(xué)生歡迎，又因其與平方差公式結(jié)構(gòu)類似而得名.當(dāng)三角函數(shù)條件中出現(xiàn)了關(guān)于兩個角的一個類似關(guān)系時，我們可以直接代入正弦平方差公式求解對應(yīng)關(guān)系.

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù);初中數(shù)學(xué);解題方法

sinα+βsinα-β=sin2α-sin2β .

上述公式在解決很多三角函數(shù)問題時，可以有效的減少運算難度，化繁為簡，好記好用，大大節(jié)約解題時間，因此應(yīng)用頻繁，又因其結(jié)構(gòu)與平方差公式非常相似，被稱為正弦平方差公式，本文給出其證法：

證法1 由正弦的和（差）公式及萬能公式，可得：

sinα+βsinα-β

=sinαcosβ+cosαsinβsinαcosβ-cosαsinβ

=sin2αcos2β-cos2αsin2β

=sin2α1-sin2β-1-sin2αsin2β

=sin2α-sin2β

證法2 由平方差公式及和差化積公式，倍角公式，可得

sin2α-sin2β

=sinα+sinβsinα-sinβ

=2sinα+β2cosα-β2·2cosα+β2sinα-β2

=2sinα+β2cosα+β2·2sinα-β2cosα-β2

=sinα+βsinα-β

例1 函數(shù)fx=sin22x+π12-sin22x-π12是（）

（1）周期為π2的偶函數(shù)

（2）周期為π2的奇函數(shù)

（3）周期為π的偶函數(shù)

（4）周期為π的奇函數(shù)

解 由正弦平方差公式，可得

fx=sin2x+π12+2x-π12·

sin2x+π12-2x-π12

=sin4xsinπ6=12sin4x

故選（B）

練習(xí) 求sin2712π-sin2112π=

解 sin2712π-sin2112π

=sin112π+712π·sin712π-112π

=sin23π·sinπ2=32.

練習(xí) 已知sinπ6+αsinπ6-α=18，α∈π16，π8，求tan2α的值.

解 由正弦平方差公式得

sinπ6+αsinπ6-α=sin2π6-sin2α=18sin2α=18

所以，cos2α=78.由α∈π16，π8，

有2α∈π8，π4，

從而tan2α=sin2αcos2α=2sinαcosα2cos2α-1

=2×18×782×78-1=73

本知識點在三角函數(shù)的化簡中有著廣泛的應(yīng)用

小練（1）已知sin2x+π12-sin2x-π12=12，x∈0，π4，求tan2x

解：原式化簡為

sin22x+π12-sin22x-π12

=sin2x+π12+2x-π12

sin2x+π12-2x-π12

=sin4xsinπ6=12sin4x=12

可得，sin4x=1，又因為x∈0，π4，

所以4x=π2，x=π8，

所以tan2x=tanπ4=1.

小練（2）函數(shù)y=sin2x+π6+cos2x-π6的最大值為

解 由萬能公式及正弦平方差公式，原式可化簡為

y=sin2x+π6+cos2x-π6

=sin2x+π6+1-sin2x-π6

=sinx+π6+x-π6

sinx+π6-x-π6+1

=sin2x·sinπ3+1=32sin2x+1

所以，原式最大值為32+1.

例2 在△ABC中，若sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC，則A的取值范圍是（）

（A）0，π6.（B）π6，π .

（C）0，π3.（D）π3，π.（2011年四川卷）

解 由公式②知，題設(shè)即

sinA+BsinA-B≤sinCsinC-sinB

sinB≤sinA+B-sinA-B，

sinB≤2cosAsinB，

cosA≥12=cosπ3，

所以0<A≤π3，選（C）.

練習(xí) a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，滿足a2=bb+c，又已知A=100°，求C=（）

解 由正弦定理得，sin2A-sin2B=sinBsinC由正弦平方差公式及三角形內(nèi)角和定理，原式可轉(zhuǎn)化為：

sinA+BsinA-B=sinBsinC得：

sinA-B=sinB>0其中A-B，B∈0，π

可得A-B=BA=2B或A-B+B=π（舍）.所以，B=50°，C=30°.

例3 在銳角ΔABC中，角A，B，C的對邊長分別是a，b，c.若a2+2abcosC=3b2，則

tanAtanBtanC+6tanA的最小值是.

解 由題設(shè)及余弦定理，得a2+（a2+b2-c2）=3b2，2（a2-b2）=c2.

再由正弦定理，得2sin2A-sin2B=sin2C

又由公式②，得

2sinA+BsinA-B=sin2C，

2sinA-B=sinC=sinA+B，

2sinAcosB-2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，

sinAcosB=3cosAsinBcosAcosB≠0.

tanA=3tanB>0.

可設(shè)tanB=x（ x>0 ） .得tanA=3x.

由A+B+C=π，得tanC=-tanA+B=tanA+tanBtanAtanB-1=4x3x2-1，

所以 tanAtanBtanC+6tanA =3xx·4x3x2-1+63x=149x+5x ≥14·29x·5x=325 .

當(dāng)且僅當(dāng)9x=5x（x>0），即x=53，也即tanA=5，tanB=53，tanC=25時，等號成立.

練習(xí) 設(shè)a，b，c是三角形ABC的角A，B，C的對邊，已知c2=3a2-b2，且tanB=12，

求A的值.

解 由正弦定理，正弦平方差公式及三角形內(nèi)角和定理，原式可化為

sin2C=3sin2A-sin2B

即sin2C=3sinA+B·sinA-B

整理得sinA+B=3sinA-BsinAcosB+cosAsinB=3sinAcosB-3cosAsinB

即2sinAcosB=4cosAsinB

可得tanA=2tanB，又tanB=12，

所以tanA=1，A=π4.

例4 已知函數(shù)fx=x3-3x-1

（1）求證：函數(shù)fx的零點個數(shù)是3;

（2）設(shè)函數(shù)fx的三個零點從小到大依次是x1，x2，x3，求證：x23-x22=x3-x1.

證明 （1）由恒等式cos3θ=4cos2θ-3cosθ可以驗證：-2cos40°，-2cos80°，2cos20°

均是函數(shù)fx的零點.而三次函數(shù)fx的零點個數(shù)至多是3，所以所證結(jié)論成立.

（2）由（1）的解答，可得x1=-2cos400

=-2sin500，x2=-2cos80°=-2sin10°，

x3=2cos20°=2sin70°，

所以即證 2sin70°2--2sin10°2

=2sin70°+2sin50°

sin270°-sin210°=12sin70°+sin50°，

由公式②及和差化積公式，可得

sin270°-sin210°=sin70°+10°sin70°-10°

=32sin80°=sin60°cos10°

=12sin70°+sin50°.

所以所證結(jié)論成立.

例5 △ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC，求A的大小.（2020年全國卷）

解 由正弦平方差公式sin2α-sin2β=sinα+βsinα-β及題設(shè)，可得

sinA+BsinA-B-sin2C=sinBsinC，sinA-B-sinA+B=sinB，

-2cosAsinB=sinB（sinB>0）cosA=-12（0<A<π），A=2π3.

例6在△ABC中，角A，B，C的對邊長分別是a，b，c.已知A=π4，

bsinπ4+C-csinπ4+B=a

求證：B-C=π2.（2021年江西卷）

證明 由題設(shè)及正弦定理，得

sinBsinA+C-sinCsinA+B=sinA，sin2B-sin2C=sinA.

再由公式②，得sinB+CsinB-C=sinA=sinB+C，sinB-C=1

又B-C∈-π，π，所以B-C=π2.

例7 求函數(shù)y=2cosx+π4cosx-π4+3sin2x的值域.

解 y=2sinπ2+x+π4sinπ2-x-π4+3sin2x

=2sin3π4+xsin3π4-x+3sin2x

=2sin23π4-sin2x+3sin2x

=1-2sin2x+3sin2x

=3sin2x+cos2x

=2sin2x+π6.

所以，函數(shù)的值域為-2，2.

綜上所述可知，正弦平方差公式在三角函數(shù)問題中有著廣泛的應(yīng)用，題型主要以利用正弦定理實現(xiàn)邊化角后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理應(yīng)用的居多，因其可以大大的降低運算難度，節(jié)約解題時間，受到學(xué)生們的青睞，因此當(dāng)三角函數(shù)條件中出現(xiàn)了關(guān)于兩個角的一個類似關(guān)系時，我們可以直接代入正弦平方差公式求解對應(yīng)關(guān)系.同時，要根據(jù)不同的題型靈活的正用或逆用，達到最好的解題效果.