吉宏湘

【摘要】《概率初步·隨機(jī)事件》是人教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容，這是一個(gè)與生活密切相關(guān)的內(nèi)容，但同時(shí)從教材呈現(xiàn)的概念：一般地，如果一個(gè)試驗(yàn)有n個(gè)等可能的結(jié)果，事件A包含其中的m個(gè)結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為：P（A）=mn.這是比較抽象的、有一定難度的.因此教師可通過(guò)小組合作將相關(guān)的問(wèn)題分成不同的類別，給他們討論的機(jī)會(huì)，給他們展示各自思維的舞臺(tái)，進(jìn)而促成問(wèn)題的解決，提升他們的解題能力.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);概率初步;隨機(jī)事件

《概率初步·隨機(jī)事件》這一章節(jié)的邏輯性、綜合性較強(qiáng)，這要求學(xué)生不但要了解隨機(jī)事件的基本概念和特點(diǎn);還要有較強(qiáng)的將知識(shí)轉(zhuǎn)化為較高的解決問(wèn)題能力，即要能依據(jù)具體的題目描述，判斷出一件事情是屬于隨機(jī)事件.基于此教師可將學(xué)生分組，讓他們圍繞概念、公式以及實(shí)際問(wèn)題開(kāi)展課堂活動(dòng).一部分在對(duì)比、探究、綜合、分析等能力方面較弱的學(xué)生能在合作中提高解題能力.

1 開(kāi)展小組合作解決綜合性問(wèn)題

就本章節(jié)而言，它所涉及的內(nèi)容涵蓋社會(huì)生活、日常生活的各個(gè)方面，因?yàn)榫褪录远伎煞譃楸厝皇录?、不可能事件、隨機(jī)事件.

通過(guò)本章節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生要能運(yùn)用相關(guān)的認(rèn)知對(duì)事件做出準(zhǔn)確的判斷.但是這些事件往往涉及到多樣的學(xué)科，要解決這些綜合性的問(wèn)題，教師就需要將學(xué)生分組，以讓他們各取所長(zhǎng)，攻克難關(guān).畢竟每個(gè)學(xué)生都有自己的長(zhǎng)處，在某些學(xué)科的某些章節(jié)也會(huì)有自己的不足.小組合作為綜合性問(wèn)題的解決常設(shè)更多可能，因?yàn)樗芫劢垢嗳说闹腔?

當(dāng)前初中階段的合作存在著假合作的現(xiàn)象，就是小組的各個(gè)成員在一起討論、探討他們本來(lái)就會(huì)的問(wèn)題，這樣的合作只能浪費(fèi)時(shí)間.但基于綜合性問(wèn)題的合作卻能將學(xué)生凝聚在一起，商討解決的方案.

例如 以下面這題為例，如圖1所示，電路圖上有四個(gè)開(kāi)關(guān)A、B、C、D和一個(gè)小燈泡，閉合開(kāi)關(guān)D或同時(shí)閉合開(kāi)關(guān)A、B、C都可使小燈泡發(fā)光，則任意閉合其中兩個(gè)開(kāi)關(guān)，小燈泡發(fā)光的概率是多少.

就這道題而言除了最后的問(wèn)題是跟數(shù)學(xué)有關(guān)的，前面的描述都是物理學(xué)科的內(nèi)容.小組里物理學(xué)得不錯(cuò)的學(xué)生就可以從串聯(lián)與并聯(lián)的角度講述其中的原理，以讓組員更深刻理解情境，為解題做鋪墊.

比如一個(gè)學(xué)生說(shuō)串聯(lián)的電路連接電流的只有一條通路，開(kāi)關(guān)可以控制全部的位置的電流，就如燈泡A、B、C;并聯(lián)的電路不止一根電路，它的開(kāi)關(guān)處于一條電路上的時(shí)候，另一條電路的電流不受影響.

當(dāng)學(xué)生弄懂這些綜合性知識(shí)，下面的解題也就順暢起來(lái).先是小組長(zhǎng)提議，每個(gè)成員根據(jù)設(shè)置的題目要求畫(huà)出樹(shù)狀圖，如圖2所示.接著他們相互討論由樹(shù)狀圖求得的所有可能的結(jié)果與小燈泡發(fā)光的情況.

從圖2中他們發(fā)現(xiàn)共有12種等可能的結(jié)果，任意閉合其中兩個(gè)開(kāi)關(guān)，由公式“P（A）=mn”求得，小燈泡發(fā)光的有6種情況.

為了進(jìn)一步鞏固合作能力，促進(jìn)綜合素養(yǎng)的發(fā)展，教師可跟蹤一題，如圖3所示，電路圖上有4個(gè)開(kāi)關(guān)A、B、C、D和1個(gè)小燈泡，假如同時(shí)閉合開(kāi)關(guān)A、B或者同時(shí)閉合開(kāi)關(guān)C、D小燈泡都會(huì)發(fā)光，那么下列操作中，“小燈泡發(fā)光”這個(gè)事件是隨機(jī)事件的是哪一個(gè)？教師設(shè)置四個(gè)選項(xiàng)：只閉合1個(gè)開(kāi)關(guān);只閉合2個(gè)開(kāi)關(guān);只閉合3個(gè)開(kāi)關(guān);閉合4個(gè)開(kāi)關(guān).

同樣地，小組成員中物理好的學(xué)生先講述其中的原理，比如一學(xué)生說(shuō)，只閉合1個(gè)開(kāi)關(guān)，小燈泡不會(huì)發(fā)光，觀看線路圖可得知這屬于不可能事件.另外一學(xué)生說(shuō)，只閉合2個(gè)開(kāi)關(guān)，由電學(xué)知識(shí)可得，小燈泡可能發(fā)光也可能不發(fā)光，這是隨機(jī)事件.同樣地，由線路圖的特點(diǎn)可知只閉合3個(gè)開(kāi)關(guān)，或者4個(gè)開(kāi)關(guān)小燈泡一定會(huì)發(fā)光，這是必然事件.

小組合作中，學(xué)生的綜合能力得到發(fā)展，解題能力水漲船高.

2 開(kāi)展小組合作解決開(kāi)放性問(wèn)題

所謂開(kāi)放性問(wèn)題就是教師所設(shè)置的題目，無(wú)論是條件、結(jié)論亦或是解法都有可能出現(xiàn)不一樣的情況，這給學(xué)生更多創(chuàng)新的空間，也為他們的能力發(fā)展提供了多樣的可能.

小組合作能促進(jìn)學(xué)生多方面的發(fā)展，能讓他們的主觀能動(dòng)性得到發(fā)揮.將小組合作與開(kāi)放性問(wèn)題的融合能讓兩者都獲得發(fā)展，小組合作為開(kāi)放性題目提供更多思維與思路，開(kāi)放性題目豐富了小組合作的內(nèi)容.

本來(lái)小組合作就是開(kāi)放性的學(xué)習(xí)方式，教師將問(wèn)題的解決權(quán)留給學(xué)生，以最大限度地激發(fā)他們的潛能.開(kāi)放式問(wèn)題的解決需要學(xué)生持有開(kāi)放性的學(xué)習(xí)方式，小組合作進(jìn)一步釋放了學(xué)生的思維火花.

就這一章節(jié)教師設(shè)置這樣的題目，已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=3x2-12x+12+2a，

設(shè)事件A：“x<0時(shí)，y隨x的增大而減小”，

事件B：“二次函數(shù)y=3x2-12x+12+2a的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)”.小聰說(shuō)A是隨機(jī)事件，小明說(shuō)B是必然事件，請(qǐng)你表達(dá)自己的看法.

這道題的開(kāi)放性在于結(jié)論的不唯一，需要學(xué)生進(jìn)行一定的猜想先確立一個(gè)結(jié)論，進(jìn)而再開(kāi)展相關(guān)的探究與證明.

合作中，他們先是對(duì)函數(shù)進(jìn)行了整理y=3x2-12x+12+2a=3（x-2）2+2a，且3>0.

接著他們討論在什么情況下y隨x的增大而減小，他們發(fā)現(xiàn)只有當(dāng)x<2時(shí).他們?cè)俎D(zhuǎn)向題目的條件上，他們發(fā)現(xiàn)x<0是x<2的一部分，進(jìn)而他們推斷x<0時(shí)y隨x的增大而減小，即A是必然事件，原來(lái)小聰弄錯(cuò)了.

對(duì)于第二問(wèn)合作中他們想到一個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題就是圖象與x軸有沒(méi)有交點(diǎn)就是看“Δ”的值，因而他們先求出Δ=（-12）2-4×3×（12+2a）=-24a.

他們發(fā)現(xiàn)B可能是隨機(jī)事件，因?yàn)椤癮”存在多種可能.成員一起商量，他們決定將“a”分三種情況討論.

當(dāng)a>0時(shí)，-24a<0，學(xué)生推斷這時(shí)候的二次函數(shù)y=3x2-12x+12+2a的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn).

當(dāng)a=0時(shí)的情況，-24a=0，他們得出此時(shí)二次函數(shù)y=3x2-12x+12+2a的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn);

當(dāng)a<0時(shí)，-24a>0，顯然地二次函數(shù)y=3x2-12x+12+2a的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).

他們的這些分類與推斷是在合作中進(jìn)行的，合作開(kāi)放了思維的空間.由題目可以看出“有沒(méi)有交點(diǎn)”這件事在一定條件下，它是有可能發(fā)生也是有可能不發(fā)生，這其實(shí)就是隨機(jī)事件.

開(kāi)放題的求解強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主導(dǎo)地位，在小組合作中他們根據(jù)題目已知的內(nèi)容，在觀察、計(jì)算、歸納等的過(guò)程中一步步完成猜想出來(lái)的結(jié)論、解法等.

3 開(kāi)展小組合作解決學(xué)生獨(dú)立完成有困難的問(wèn)題

小組合作其實(shí)就是讓學(xué)生成為解決問(wèn)題的主人，讓他們?cè)诒舜私涣髋c幫助中共同提升.合作中學(xué)生自主解決問(wèn)題的能力得到提升，因?yàn)樗麄冃枰孕械亟?gòu)議題、自行地分配任務(wù)，再一起在交流、討論、分享中促成問(wèn)題的解決.

當(dāng)一些學(xué)生獨(dú)立完成有困難的問(wèn)題出現(xiàn)在他們面前時(shí)，他們會(huì)感到緊張，甚至不知所措.合作能讓他們通力前行、共度難關(guān).對(duì)于學(xué)困生來(lái)說(shuō)，在他們遇到難題時(shí)，就有合作伙伴主動(dòng)地伸出援助之手.對(duì)于優(yōu)等生來(lái)說(shuō)，他們?cè)趲椭鷦e人解決問(wèn)題的同時(shí)，也促進(jìn)自身的發(fā)展，比如分析能力、溝通能力都得到提升.

例如 “趙爽弦圖”閃耀著中國(guó)古人的智慧.如圖4所示的弦圖中，四個(gè)直角三角形都是全等的，同時(shí)它們的兩直角邊之比均為2∶3.假如一個(gè)人隨機(jī)地向該圖形內(nèi)擲一枚小針，那么針尖落在陰影區(qū)域的概率會(huì)是多少.

大多學(xué)生接著這樣的題目不知道從何處入手.

教師先讓學(xué)生在合作中討論，最后一句話的實(shí)質(zhì)是什么.

學(xué)生發(fā)現(xiàn)這其實(shí)就是幾何概率問(wèn)題，就是化用公式P（A）=mn，針尖落在陰影區(qū)域的概率就是相應(yīng)的面積與總面積之比.

教師讓他們繼續(xù)合作，他們想到要求出大正方形面積和陰影區(qū)域面積，再由此求出針尖落在陰影區(qū)域的概率.

小組成員想到了之前的勾股定理證明，各成員獨(dú)立地設(shè)勾為2k，則股為3k，弦為13k，

進(jìn)而他們求得大正方形面積為S=13k×13k=13k2，

中間小正方形的面積S′=（3-2）k·（3-2）k=k2，

故陰影部分的面積為：13 k2-k2=12 k2.

有組員做到這一步不知道怎么接下去，別的學(xué)生就提醒他運(yùn)用概率公式，即，針尖落在陰影區(qū)域的概率為：12k213k2=1213.

當(dāng)一些比較難的題目出現(xiàn)時(shí)，教師可采用小組合作的方法，讓大家在彼此幫扶中前行，在彼此的交流與溝通中獲得解題的路徑.

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)本章節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生既要能判斷現(xiàn)實(shí)生活中哪些事件是隨機(jī)事件，同時(shí)他們還要能對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的定性進(jìn)行分析.

在本章節(jié)的學(xué)習(xí)中教師要培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力，譬如分析問(wèn)題的能力、運(yùn)用認(rèn)知的能力、推理結(jié)論的能力等.

小組合作能激發(fā)每個(gè)學(xué)生的潛能，教師將需要合作的問(wèn)題進(jìn)行分類，進(jìn)而進(jìn)一步明確合作的內(nèi)容、方式，在提升合作效率的同時(shí)也提升他們的解題能力.

參考文獻(xiàn)：

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