[摘? 要] 錯題是優(yōu)質(zhì)的教學(xué)資源，以其為生長契機，融入學(xué)習(xí)心理，合理追溯根源，在容錯、識錯、糾錯中彰顯育人、育才的內(nèi)在價值和外在品質(zhì)，為落實立德樹人根本任務(wù)作出努力.

[關(guān)鍵詞] 教學(xué)做合一;學(xué)習(xí)心理;數(shù)學(xué)錯題

現(xiàn)代教育堅持以學(xué)生為主體，圍繞著學(xué)生的生活經(jīng)驗，開展教與學(xué)的教學(xué)工作. 教師教育的目的是讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)，學(xué)生學(xué)習(xí)的目的是讓自己會做、會創(chuàng)造. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，以錯題為有效抓手，運用逆向思維，積極從學(xué)生心理層面，重建與分析其思維、心理、情感、態(tài)度等精神結(jié)構(gòu)，在追溯根源、科學(xué)矯正、改進模型、豐富經(jīng)驗等實施過程中，轉(zhuǎn)變教學(xué)思路，增進教學(xué)理解，提升教學(xué)效能，推動教學(xué)績效朝向更高、更優(yōu)的目標(biāo)邁進[1]. 下面結(jié)合一道錯題來闡述基于學(xué)習(xí)心理的數(shù)學(xué)錯題教學(xué).

[?]研究案例

典例 已知a，b是不全為零的實數(shù)，求證：方程3ax2+2bx-（a+b）=0在（0，1）內(nèi)至少有一實根.

1. 創(chuàng)設(shè)問題情境，彰顯主體地位

當(dāng)今高中課堂教學(xué)就應(yīng)試層面而言，教學(xué)手段與教學(xué)效率有限，各類學(xué)生的錯題屢見不鮮. 目前，即便教師普遍重視習(xí)題教學(xué)，但對錯題資源尚缺乏有效管理手段與方法. 學(xué)生對錯題的處置方法普遍局限于錯題整理等范疇，教師亦缺乏對錯題的歸因分析、分類整理、合理利用，同時對學(xué)生心理分析、矯正策略等也嚴(yán)重不足.

新課改倡導(dǎo)的教學(xué)是讓學(xué)生走出傳統(tǒng)教材中“死知識”的“牢籠”，引導(dǎo)學(xué)生積極主動地參與到教學(xué)情境中來，激發(fā)其學(xué)習(xí)、探究的欲望. 拿到題讓學(xué)生思考片刻，并分組討論探究，會呈現(xiàn)以下兩種思路：

令f（x）=3ax2+2bx-（a+b），

思路1：用函數(shù)零點存在性定理解決，即看f（0）·f（1）的情況.

思路2：用根的分布的知識，討論在（0，1）上有一實根和兩實根這兩種情況.

但最后的結(jié)果是兩種思路都以失敗告終.

學(xué)生存在困難，并不是因為這些問題的解答太難以致學(xué)生無法解決，而是其思維方式或結(jié)果與具體問題的解決存在著差異，也就是說，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維存在著障礙. 這種思維障礙，有的來自教學(xué)中的疏漏，而更多的則來自學(xué)生自身，來自學(xué)生中存在的非科學(xué)的知識結(jié)構(gòu)和思維模式[2].

2. 鼓勵自主探究，在“做”中獲得矯正

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中利用錯題資源，予以有效溯源、分析、引領(lǐng)學(xué)生成長. 交給學(xué)生自己去探究、去發(fā)現(xiàn)，可以使他們印象更深，效果自然也會更好. 只有通過“做”才能不斷地使個體體驗到無窮的樂趣并產(chǎn)生“做”的需要，不斷地獲得新的動力，不斷地得到新的發(fā)展.

對于思路1，學(xué)生存在困難的原因在于計算出f（0）·f（1）=-（a+b）（2a+b）后，其正負(fù)符號不能確定，即使要討論也沒有明確的分類標(biāo)準(zhǔn). 這時教師可以引導(dǎo)學(xué)生換一個角度進行思考：既然要證方程3ax2+2bx-（a+b）=0在（0，1）內(nèi)至少有一實根，這與函數(shù)的零點有關(guān)，不妨利用二分法來試一試. 這時學(xué)生會自然想到計算f

，發(fā)現(xiàn)f（0）·f

= -（a+b）·

-a

=a（a+b），f

·f（1）=

-a

·（2a+b），但問題還是不明朗，這時繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生觀察

-a

（2a+b）與a（a+b）的聯(lián)系，爭取找到分類的突破口. 事實上，通過拆項可以發(fā)現(xiàn)

-a

·（2a+b）= -a2-a（a+b）. 接下來，只要討論a（a+b）的正負(fù)，便可以確定f（0）·f

與f

·f（1）的正負(fù)符號. 具體解法如下：

若a=0，則b≠0，此時方程的根為x=，滿足題意.

若a≠0，令f（x）=3ax2+2bx-（a+b），

①若a（a+b）<0，則f（0）·f

=-（a+b）

-a

=a（a+b）<0，所以f（x）在區(qū)間

0，

上有一實根;

②若a（a+b）≥0，則f

·f（1）=

-a

（2a+b）=-a2-a（a+b）<0.所以f（x）在區(qū)間

，1

上有一實根.

綜上所述，方程3ax2+2bx-（a+b）=0在（0，1）內(nèi)至少有一實根.

反思上述解法，當(dāng)學(xué)生按照某個固定的程序去解決問題但又無法解決時，就必須引導(dǎo)學(xué)生換一種方法或思路去嘗試、去思考，以達到提高學(xué)生思維能力的目的.

對于思路2，學(xué)生在操作的過程中發(fā)現(xiàn)要對a=0，a>0，a<0以及方程在（0，1）內(nèi)有一根、兩根進行討論，除了分類煩瑣外，具體的每一種情況的結(jié)論都不明顯. 這時教師可以引導(dǎo)學(xué)生從“正難則反”去思考，用反證法證明如下：

思路3：假設(shè)方程在（0，1）內(nèi)無實根.

若a=0，則b≠0，此時方程的根為x=，與假設(shè)矛盾.

若a≠0，因為Δ=4b2+12a（a+b）=12a2+12ab+4b2=12

a+

+b2>0恒成立，所以方程必有兩根，不妨設(shè)為x和x，且x

①若x<0，x≤0，則x+x<0?-<0?>0，且x·x≥0?-≥0?+≤0，顯然兩者矛盾.

②若x≥1，x>1，則（x-1）+（x-1）>0?（x+x）-2>0?<-1，且（x-1）（x-1）≥0?x·x-（x+x）+1≥0?≥-，顯然兩者也矛盾.

③若x<0，x>1，設(shè)f（x）=3ax2+2bx-（a+b），若a>0，則f（0）≤0?-（a+b）≤0，且f（1）≤0?2a+b≤0，兩者相加得a≤0，與a>0顯然矛盾.

若a<0，同理矛盾.

綜上所述，假設(shè)不成立，原命題得證.

以上思路說明，當(dāng)正面討論情況較多且不易取得好的效果時，可以從反面來思考——用反證法，反面情況雖然也要分類，但學(xué)生易于討論，結(jié)果明顯，因為用到二次函數(shù)圖像時規(guī)律明顯，用到韋達定理時簡單易懂.

3. 進行心理分析，促進能力發(fā)展

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及解題過程中， 一般會經(jīng)歷“不懂—好奇—探究—應(yīng)用”的過程，數(shù)學(xué)知識應(yīng)用時不僅常會出現(xiàn)錯誤，而且還會有情緒上的波動，教師也常常通過知識層面對學(xué)生的錯題進行正向矯錯[3]. 因此在錯題教學(xué)過程中，教師要基于學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，充分發(fā)揮錯題的資源價值，以錯題為生長契機，引導(dǎo)學(xué)生在識錯、糾錯中提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，讓主體在體驗成功的情緒中學(xué)習(xí).

學(xué)生在初中雖然學(xué)過一元二次方程和一元二次函數(shù)，但高一的一元二次不等式和二次函數(shù)的有關(guān)問題，對于學(xué)生來說仍是易錯題型. 對于一個新知識所涉及的題型，學(xué)生會經(jīng)歷下列心理認(rèn)知過程，教師可以及時矯正：

不懂：對于一個新的題型，學(xué)生剛開始的感覺就是不懂. 如上述題目，學(xué)生感覺不懂的原因是參數(shù)較多，特別是二次項系數(shù)是參數(shù)，給題目增加了難度和易錯因素. 題目中的“至少”又多了一層討論，學(xué)生易產(chǎn)生畏難情緒. 基于學(xué)生的心理，這時教師應(yīng)該鼓勵他們嘗試并適時點撥.

好奇：學(xué)生經(jīng)過教師的鼓勵，出于好奇的心理敢于嘗試. 利用自己儲存的知識解題，回憶相應(yīng)的知識點和解決類似題型的方法. 上述題目的思路1利用的是高一新知識——零點存在性定理和二分法求解，發(fā)現(xiàn)不易操作;思路2有初中基礎(chǔ)，易于上手，但討論過于煩瑣，學(xué)生嘗試后會發(fā)現(xiàn)計算量較大且易錯. 這時教師可以適當(dāng)提醒和指導(dǎo)解題得分點.

探究：學(xué)生嘗試了多種解法后，教師根據(jù)學(xué)生有可能出現(xiàn)的多種解法進行分析和講解，糾正各種錯誤，給出多種解法的詳細過程并分析優(yōu)劣，總結(jié)和提煉出相應(yīng)題型的優(yōu)解. 上述題目中，教師給出最優(yōu)的解法——思路3的解法，經(jīng)過分析后，讓學(xué)生自行完善解題過程，并請代表上講臺演示加深學(xué)生的印象. 多種解法呈現(xiàn)后，繼續(xù)讓學(xué)生分析和總結(jié)各種解法的優(yōu)點.

應(yīng)用：學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的錯誤和錯因后，領(lǐng)會到自己思路的正確解法和其他思路的解法后，會積極地繼續(xù)嘗試類似的題型. 這時教師可以呈現(xiàn)變式題讓學(xué)生解答，起到舉一反三的效果.

其實，教師還要對錯題的形成進行歸因分類分析，更多的是，要從學(xué)生心理方面進行分析，建構(gòu)系統(tǒng)的錯誤類別及錯誤矯正策略. 這樣教師針對錯題進行認(rèn)知與矯正，思考錯題教學(xué)效果提升的有效手段與方法，使學(xué)生體驗學(xué)習(xí)成功的喜悅.

注重錯題教學(xué)，并在錯題研究、心理研究的雙層合力下，轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念、合理改造課堂、完善評價手段，促使學(xué)生明確學(xué)習(xí)目標(biāo)、帶著問題學(xué)習(xí)，以錯題為生長契機，融入錯題教學(xué)的學(xué)習(xí)心理認(rèn)知與行為矯正研究，改善學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和教師的教學(xué)方法.

[?]研究價值

習(xí)題教學(xué)的目標(biāo)一般有：順利理解，解答問題;領(lǐng)悟問題的關(guān)卡點，解決問題瓶頸;比較問題的不同解法;內(nèi)化問題的背景知識，優(yōu)化思維方法，提升敏感能力. 從學(xué)習(xí)心理規(guī)律的角度研究錯題教學(xué)，其目的在于樹立以科學(xué)的學(xué)習(xí)心理規(guī)律指導(dǎo)教學(xué)的實踐模型，為錯題教學(xué)尋找有效的突破口，實現(xiàn)其應(yīng)有的功能和價值.

1. 實踐模型具有突破性、示范性

基于學(xué)習(xí)心理的錯題研究，旨在運用心理學(xué)規(guī)律，對教學(xué)中重復(fù)率最高、最受師生忽視的教學(xué)行為（習(xí)題教學(xué)）和內(nèi)容（錯題資源）進行研究. 研究具有原創(chuàng)性、突破性與示范性.

2. 學(xué)生成長具有針對性、持續(xù)性

基于學(xué)習(xí)心理的錯題研究，旨在利用錯題資源，予以有效溯源、分析、引領(lǐng)學(xué)生成長. 幫助學(xué)生明確學(xué)習(xí)目標(biāo)、帶著問題學(xué)習(xí)，以錯題為生長契機，融入錯題教學(xué)的學(xué)習(xí)心理認(rèn)知與行為矯正研究，改善學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，推動其發(fā)展有針對性和持續(xù)性.

3. 教師發(fā)展具有創(chuàng)新性、引領(lǐng)性

數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師除了關(guān)注教學(xué)效果外，更要關(guān)注學(xué)生核心素養(yǎng)的培育與養(yǎng)成;要注重錯題教學(xué)，并在錯題研究、心理研究的雙層合力下，轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念、合理改造課堂、完善評價手段. 對加快教師角色轉(zhuǎn)型起到帶動作用，推動教師發(fā)展有創(chuàng)新性和引領(lǐng)性，提高課堂教學(xué)質(zhì)量，提升師生素質(zhì)，落實立德樹人根本任務(wù).

對于數(shù)學(xué)錯題，學(xué)生有聽不懂、難點不易感悟、不會使用不同方法及其優(yōu)化等原因. 在平時教學(xué)中，教師要設(shè)置情境，注重知識與方法相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生將文字轉(zhuǎn)化為圖形、問題轉(zhuǎn)化為方法、關(guān)鍵信息轉(zhuǎn)化為條件，提升學(xué)生對未知問題的解決能力，解題過程就是條件反射的過程[4];要鼓勵學(xué)生閱讀，強化其思路與能力，讓學(xué)生每節(jié)課都有感觸，讓學(xué)生學(xué)會知識的遷移. 平時教師多思考能否讓學(xué)生小題大做，向易題要規(guī)范;或者大題小做，向難題要過程. 除此之外，教學(xué)應(yīng)以心理學(xué)原理作為科學(xué)支撐，積極運用學(xué)習(xí)心理理論，彰顯育人、育才的內(nèi)在價值和外在品質(zhì)，實現(xiàn)學(xué)生不斷發(fā)展.

錯題是優(yōu)質(zhì)的教學(xué)資源，其存在的前提是學(xué)生對應(yīng)的學(xué)習(xí)心理，合理追根溯源、科學(xué)矯正、改進模型，可以有效推動教學(xué)邁上新臺階，促進學(xué)生更好、更快發(fā)展. 同時，能為教師打開思路，對教學(xué)工作提質(zhì)增效，加快教師成長、成熟. 學(xué)習(xí)心理和錯題教學(xué)的有機結(jié)合，不僅有利于學(xué)科教學(xué)，也能夠提升學(xué)生的學(xué)習(xí)心理品質(zhì)，達到育人與育才的統(tǒng)一.

參考文獻：

[1]? 吳燕. 例說如何培養(yǎng)學(xué)生的思維能力[J]. 高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2011（12）： 24-26.

[2]? 劉萍. 課堂教學(xué)如何突破學(xué)生數(shù)學(xué)思維瓶頸[J]. 基礎(chǔ)教育參考，2013（06）：46-47.

[3]? 董育洲. 培養(yǎng)高中學(xué)生數(shù)學(xué)錯題反思能力的實踐研究[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021（12）：36-38.

[4]? 杭麗華. 善待錯誤，有效生成——基于錯誤資源的高中數(shù)學(xué)教學(xué)思考與實踐[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2018（09）：17-19.