何嘉穎

摘? 要] 投影向量是課標(biāo)新增的概念. 在新人教A版教材中，不僅新增了投影向量，而且投影的含義也發(fā)生了改變. 文章陳述了投影與投影向量含義的變化情況，對(duì)新增的投影向量的合理性進(jìn)行了分析，為投影與投影向量概念的教學(xué)提供了建議.

[關(guān)鍵詞] 投影;投影向量;數(shù)量積;正交分解;直角坐標(biāo)系

[?]投影與投影向量含義的變化

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2003年版）》對(duì)投影的要求是“體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系”[1];《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》對(duì)投影以及投影向量的要求是“通過幾何直觀，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義”“了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義”[2].

課本定義1（舊人教A版教材，簡(jiǎn)稱“舊教材”）：設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，θ是a與b的夾角，

a

cosθ叫做向量a在b方向上的投影，OA=

a

cosθ[3].

課本定義2（新人教A版教材，簡(jiǎn)稱“新教材”）：設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，=a，=b，過的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為A，B，得到，稱上述變換為向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量[4].

對(duì)比新舊課程標(biāo)準(zhǔn)以及人教A版教材，主要有兩處變化：

一是課程標(biāo)準(zhǔn)的變化.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2003年版）》對(duì)投影概念的理解本身沒有具體要求，僅對(duì)投影與數(shù)量積的關(guān)系有要求，即對(duì)投影的要求更側(cè)重投影與數(shù)量積的關(guān)系，而非投影本身. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對(duì)投影以及投影向量本身有明確要求，其中包括對(duì)投影概念的要求以及對(duì)投影向量意義的要求，即學(xué)生除了要知道投影與投影向量的概念外，更需要知道它們的意義. 因此，新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)投影以及投影向量的要求有所提高.

二是教材的變化.一是投影概念的變化，二是新增了投影向量的概念.投影概念的變化：在舊教材中投影指的是一個(gè)數(shù)量（如a在b方向上的投影是

a

cosθ），是一個(gè)有固定含義的名詞;在新教材中投影指的是一個(gè)變換，是一個(gè)變化過程.對(duì)新增的投影向量，它本身是一個(gè)向量，同時(shí)也是一個(gè)有固定含義的名詞. 即新教材把舊教材中僅作為名詞存在的投影概念，分解為過程性的投影概念以及結(jié)果性的投影向量的概念，從而使得投影的產(chǎn)生過程以及投影向量的來龍去脈更為清晰，更能理清其意義所在.

[?]新增投影向量的合理性分析

1. 從教材邏輯性看新增投影向量的合理性

（1）舊教材中的投影

投影概念在舊教材中共出現(xiàn)在三處：

第一處是人教A版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第三十五章“投影與視圖”的35.1節(jié)，其定義是“用光線照射物體，在某個(gè)平面上得到的影子叫做物體的投影”[5]，此時(shí)投影指的是有名詞意義的“影子”，同時(shí)也是幾何學(xué)中的概念. 此外，在該節(jié)中，還給出了平行投影、中心投影和正投影的概念，“由平行光線形成的投影叫做平行投影”“由同一點(diǎn)發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影”“投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影”[5].顯然，這些與投影相關(guān)的概念都是幾何學(xué)中的概念，與向量的投影概念相去甚遠(yuǎn);而僅從正投影中的“垂直”，以及舊教材中向量投影的圖示中的“垂直”來看，兩者有些許聯(lián)系.

第二處是舊教材必修二第一章“空間幾何體”的“1.2.3 平行投影與中心投影”，在這一節(jié)中僅簡(jiǎn)單回顧了平行投影與中心投影的概念，同時(shí)與前一節(jié)的斜二測(cè)畫法有所呼應(yīng). 但并未提及正投影的概念，也沒有與向量投影有所聯(lián)系.

第三處是舊教材必修四第二章“平面向量”的“2.4 平面向量的數(shù)量積”中給出的向量的投影概念.

從上述三處與投影概念相關(guān)的內(nèi)容中可見，實(shí)際上舊教材把投影分為了幾何含義上的投影以及向量含義上的投影. 兩個(gè)投影在形成過程中具有聯(lián)系，即都是通過一個(gè)物體（向量）垂直于另一個(gè)物體（向量）產(chǎn)生的，但舊教材并沒有把它們明確地聯(lián)系起來，而是簡(jiǎn)單地把向量投影定義為某個(gè)數(shù)值.

（2）新教材中的投影與投影向量

相對(duì)舊教材，新教材給出了新的投影概念以及相應(yīng)的投影向量的概念. 在新教材中，投影是一個(gè)變化過程，在這個(gè)過程中涉及了幾何中的點(diǎn)線垂直;投影向量則是一個(gè)向量起點(diǎn)和終點(diǎn)垂直于另一個(gè)向量上的產(chǎn)物;這與初中幾何的正投影概念的聯(lián)系更為緊密. 同時(shí)，較舊教材中作為數(shù)量的向量投影，投影向量是向量，這豐富了向量章節(jié)的內(nèi)容.

此外，在新教材中刪除了舊教材必修二中平行投影與中心投影的內(nèi)容，但在選擇性必修第一冊(cè)第一章“空間向量與立體幾何”中的“1.1.2 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算”，進(jìn)一步給出了空間中投影向量的概念，以及向量在直線上的投影、向量在平面上的投影的變換方式. 投影含義的改變以及新增投影向量的概念，使得初高中內(nèi)容銜接以及整個(gè)向量體系更緊密.

2. 從數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)看新增投影向量的合理性

（1）投影向量與數(shù)量積

根據(jù)投影向量的定義，設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，θ是a與b的夾角，則a在向量b上的投影向量為

a

cosθ，此時(shí)該投影向量與b共線，且

a

cosθ為該投影向量的模;a與b的數(shù)量積為a·b=

a

b

cosθ.

在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，設(shè)=a，=b，a與b的夾角為θ，過A作直線OB的垂線，垂足為A′，則為a在向量b上的投影向量，即=

a

cosθ.

若=0，則與的數(shù)量積為0;若θ∈

0，

，則與同向，根據(jù)數(shù)量積的定義，與的數(shù)量積為

a

cosθ

b

=

a

b

cosθ;若θ∈

，π

，則與反向，根據(jù)數(shù)量積的定義，與的數(shù)量積為-

a

cosθ·

b

=

a

b

cosθ.

綜上，a·b=·，即a與b的數(shù)量積可理解為a在b上的投影向量與b的數(shù)量積.

（2）投影向量與距離公式

根據(jù)投影和投影向量的定義，a在向量b上的投影向量的模長(zhǎng)

可理解為O到AA′的距離，即投影向量與點(diǎn)到直線的距離存在聯(lián)系.

不妨從投影向量的角度來看點(diǎn)到直線的距離公式的向量形式：

設(shè)直線AB，O是直線AB外一點(diǎn)，n⊥，θ是n與的夾角，則在n上的投影向量為

cosθ=

··=·，它的模長(zhǎng)為

·cosθ

=. 由于n⊥，因此在n上的投影向量也垂直于，所以是O到直線AB的距離.

投影向量除了與點(diǎn)到直線的距離存在聯(lián)系外，也與點(diǎn)到平面的距離存在聯(lián)系. 不妨也從投影向量的角度來看點(diǎn)到平面的距離公式的向量形式：

首先需要明確空間中向量在平面上的投影向量的概念.

課本定義3（新教材）[6]：在空間中，設(shè)向量a=，平面β，分別由向量a的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到向量，向量稱為向量a在平面β上的投影向量.

設(shè)平面α，A是平面α內(nèi)一點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn)，n⊥α，θ是n與的夾角，則在n上的投影向量為

cosθ=

·=·，它的模長(zhǎng)為

cosθ

=. 由于n⊥α，因此在n上的投影向量也垂直于α，所以是P到平面α的距離.

（3）投影向量與正交分解和直角坐標(biāo)系

不妨分別在平面內(nèi)和空間中看投影向量與正交分解和直角坐標(biāo)系的聯(lián)系.

定義：平面內(nèi)，把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解[4].

設(shè)平面內(nèi)的兩個(gè)互相垂直的向量e1，e2組成一個(gè)基底{e1，e2}，任一向量a可以分解為a=xe1+ye2，則a在e1，e2上的投影向量分別為

a

cos〈a，e1〉=e1= e1= xe1，

a

cos〈a，e2〉=e2=e2=ye2，即a在e1，e2上進(jìn)行正交分解所得的分向量就是a分別在e1，e2上的投影向量.

更進(jìn)一步，設(shè)平面內(nèi)的兩個(gè)互相垂直的單位向量i，j組成一個(gè)基底{i，j}，任一向量a可以分解為a=xi+yj，則a在i，j上的投影向量分別為

a

cos〈a，i〉=i=i=xi，

a

cos〈a，j〉=j=j=yj. 由于a由（x，y）唯一確定，（x，y）為a的坐標(biāo)，因此a的坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)它在i，j上的投影向量的模長(zhǎng).

定義：空間中，把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解[6].

設(shè)空間中的三個(gè)兩兩垂直的向量e1，e2，e3組成一個(gè)基底{e1，e2，e3}，任一向量a可以分解為a=xe1+ye2+ze3，則a在e1，e2，e3上的投影向量分別為

a

cos〈a，e1〉·=e1=e1=xe1，

a

cos〈a，e2〉=e2=·e2=ye2，

a

cos〈a，e3〉·=e3=e3=ze3，即a在e1，e2，e3上進(jìn)行正交分解所得的分向量就是a分別在e1，e2，e3上的投影向量.

更進(jìn)一步，設(shè)空間中的三個(gè)兩兩垂直的單位向量i，j，k組成一個(gè)基底{i，j，k}，任一向量a可以分解為a=xi+yj+zk，則a在i，j，k上的投影向量分別為

a

cos〈a，i〉=i=i=xi，

a

cos〈a，j〉=j=·j=yj，

a

cos〈a，k〉=k=k=zk. 因?yàn)閍由（x，y，z）唯一確定，（x，y，z）為a的坐標(biāo)，所以a的坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)它在i，j，k上的投影向量的模長(zhǎng).

3. 從物理學(xué)科看新增投影向量的合理性

已知兩個(gè)非零向量a，b，它們的夾角為θ，把數(shù)量

a

b

cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積，即a·b=

a

b

cosθ[4]. 這是新舊教材中均給出的數(shù)量積的定義. 物理中，質(zhì)點(diǎn)在力F作用下產(chǎn)生位移s，則對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功就是F·s. 即物理對(duì)功的定義與數(shù)學(xué)向量的數(shù)量積相關(guān).

物理中，并非所有作用于質(zhì)點(diǎn)的力F均會(huì)做功，而是在位移方向上的力才會(huì)做功，即力F在位移s上的分力才會(huì)做功. 因此，與位移s共線的F的分力才是關(guān)注的重點(diǎn).

實(shí)際上，由投影向量的定義可見，a在b上的投影向量是與b共線的a的分向量. 這與物理中的與位移s共線的F的分力相呼應(yīng)，并且與物理的正交分解以及數(shù)學(xué)的平面向量基本定理和向量的正交分解相聯(lián)系. a與b的數(shù)量積等于a在b上的投影向量與b的數(shù)量積，也與物理中只有力F在位移s上的分力才會(huì)做功、力F與位移s垂直的分力不做功相對(duì)應(yīng).

[?]投影向量教學(xué)的可行性分析

結(jié)合前文對(duì)投影以及投影向量的合理性分析，投影與投影向量與學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)相關(guān)，與學(xué)生其他學(xué)科的學(xué)習(xí)相關(guān)，與后續(xù)形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)相關(guān). 接下來就投影與投影向量的引入，概念內(nèi)涵的揭示，公式與變形以及應(yīng)用等方面提供教學(xué)建議.

（1）投影與投影向量的引入：投影與投影向量和物理中力的正交分解以及力的做功有著密切聯(lián)系，教學(xué)中可以用力的正交分解或力的做功進(jìn)行引入，同時(shí)要強(qiáng)調(diào)投影與投影向量這兩者的聯(lián)系，從而加強(qiáng)學(xué)科間的聯(lián)系，使得學(xué)生能體會(huì)到數(shù)學(xué)在物理中的應(yīng)用.

（2）投影與投影向量概念內(nèi)涵的揭示，教學(xué)中需要注意以下幾點(diǎn)：

一是強(qiáng)調(diào)a在b上的投影向量與b的聯(lián)系，即它是b的共線向量.

二是著重投影向量計(jì)算公式的推導(dǎo)，并讓學(xué)生理解投影向量由兩部分組成（

a

cos〈a，b〉與），這要求教學(xué)該內(nèi)容前學(xué)生能充分理解與b同向的單位向量與b的關(guān)系，教學(xué)中理解投影向量與b的共線關(guān)系以及投影向量的本質(zhì)是一個(gè)向量.

三是深入投影向量計(jì)算公式的相關(guān)變式，如揭示投影向量的模長(zhǎng)計(jì)算公式

a

cos〈a，b〉

=

a

cos〈a，b〉

=

a

cos〈a，b〉

，以及不限于求a在b上的投影向量，而是求向量在不同方向上的投影向量，如a+b在2a+3b上的投影向量為

a+b

cos〈a+b，2a+3b〉.

（3）投影與投影向量的應(yīng)用，教學(xué)中需要注意以下幾點(diǎn)：

一是強(qiáng)調(diào)投影向量與數(shù)量積的聯(lián)系，包括強(qiáng)調(diào)投影向量計(jì)算公式的變形，

a

cos〈a，b〉=

a

··=b，強(qiáng)調(diào)用投影向量理解數(shù)量積以及解釋力做功，如a與b的數(shù)量積可理解為a在b上的投影向量與b的數(shù)量積，教學(xué)中用投影向量的特性證明數(shù)量積的分配律.

二是強(qiáng)調(diào)投影向量與正交分解以及直角坐標(biāo)系的聯(lián)系. 教學(xué)中可與學(xué)生探究向量分別在兩個(gè)互相垂直的向量上的投影向量的聯(lián)系，以及在兩個(gè)互相垂直的單位向量上的投影向量的聯(lián)系，以此初步滲透坐標(biāo)表示向量的概念. 由此，可加強(qiáng)學(xué)生對(duì)投影向量本身性質(zhì)的理解，同時(shí)可給后續(xù)正交分解以及向量的坐標(biāo)表示做鋪墊，并且構(gòu)建起投影向量與向量坐標(biāo)的聯(lián)系.

三是滲透點(diǎn)到直線的距離公式及其向量表示. 教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換角度觀察a在b上的投影向量與a和b的起點(diǎn)、終點(diǎn)以及投影本身暗含的垂直條件的聯(lián)系，以此豐富學(xué)生的思維能力，滲透點(diǎn)到直線的距離公式及其向量表示，為后續(xù)求空間中點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面的距離公式與其向量表示做鋪墊.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)版）[M]. 北京：人民教育出版社，2003.

[2]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2021.

[3]? 人民教育出版社. 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修4[M]. 北京：人民教育出版社，2007.

[4]? 章建躍，李增滬. 普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)（A版）[M]. 北京：人民教育出版社，2021.

[5]? 林群. 義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)[M]. 北京：人民教育出版社，2014.

[6]? 章建躍，李增滬. 普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性第一冊(cè)（A版）[M]. 北京：人民教育出版社，2021.