余隆蘭

[摘? 要] 文章通過類比、對(duì)比，利用點(diǎn)差法深度挖掘圓錐曲線中點(diǎn)弦的存在性問題.

[關(guān)鍵詞] 中點(diǎn)弦;圓錐曲線;點(diǎn)差法

圓錐曲線與中點(diǎn)弦有關(guān)的問題是高考的熱點(diǎn)之一，就橢圓而言，弦的中點(diǎn)必在橢圓內(nèi)，那么橢圓內(nèi)的點(diǎn)是否都存在中點(diǎn)弦呢？對(duì)于雙曲線、拋物線這類“開放”的曲線是否有類似的結(jié)論？對(duì)此鮮有文章利用中學(xué)生容易掌握的方法給出一般結(jié)論及其證明，本文通過類比、對(duì)比，利用點(diǎn)差法深度挖掘圓錐曲線中點(diǎn)弦的存在性問題，幫助學(xué)生構(gòu)建一個(gè)完備的知識(shí)體系，抓住問題的本質(zhì)，理解題目設(shè)計(jì)的本源.

定理1：設(shè)橢圓C：+=1（a>b>0），點(diǎn)P（x，y）為平面內(nèi)異于原點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在橢圓內(nèi)（如圖1所示的陰影區(qū)域，不含邊界），即+<1時(shí)，存在過點(diǎn)P的直線l，使得l交C于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，直線l的方程為x=x或y-y=-（x-x）.

證明：（1）必要性：①當(dāng)點(diǎn)P（x，y）在橢圓C內(nèi)，且點(diǎn)P在x軸上時(shí)，存在直線l滿足題意，直線l的方程為x=x.

②當(dāng)點(diǎn)P（x，y）在橢圓C內(nèi)，且點(diǎn)P不在x軸上時(shí).設(shè)A（x，y），B（x，y），點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，則=x，=y.

因?yàn)锳，B兩點(diǎn)都在橢圓C上，所以+=1，+=1.兩式相減得+=0，整理得=-= -，故k=-，其中x≠x，y≠0.所以直線l的方程為y-y=-（x-x）.

因?yàn)辄c(diǎn)差法的使用前提是直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以需要檢驗(yàn)直線l與橢圓C是否有兩個(gè)交點(diǎn). 此處可以用聯(lián)立方程組來證明，但計(jì)算煩瑣，此時(shí)可以結(jié)合圖像來處理這個(gè)問題.

檢驗(yàn)：因?yàn)橹本€l過橢圓C內(nèi)的點(diǎn)P，所以直線l與橢圓C必有兩個(gè)交點(diǎn).

綜上所述，直線l的方程為x=x或y-y=-（x-x）.

（2）充分性：設(shè)在橢圓C上存在兩點(diǎn)A（x，y），B（x，y），使得點(diǎn)P（x，y）為AB的中點(diǎn)，結(jié)合圖像知，點(diǎn)P在橢圓C內(nèi)，滿足+<1.

事實(shí)上，當(dāng)點(diǎn)P為原點(diǎn)時(shí)，存在無數(shù)條過P的直線l，使得l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P為AB的中點(diǎn).

若橢圓的方程為其他形式，也有類似的結(jié)論.

定理2：設(shè)雙曲線C：-=1（a>0，b>0），點(diǎn)P（x，y）為平面內(nèi)異于原點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在如圖2所示的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界），即->1或-<0時(shí)，存在過點(diǎn)P的直線l，使得l交C于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，直線l的方程為x=x或y-y=（x-x）.

證明：（1）必要性：①當(dāng)點(diǎn)P（x，y）在如圖2所示的陰影區(qū)域內(nèi)，且在x軸上時(shí)，存在直線l滿足題意，直線l的方程為x=x.

②當(dāng)點(diǎn)P（x，y）在如圖2所示的陰影區(qū)域內(nèi)，且點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)A（x，y），B（x，y），點(diǎn)P（x，y）為AB的中點(diǎn)，則=x，=y.

因?yàn)锳，B兩點(diǎn)都在雙曲線C上，所以-=1，-=1. 兩式相減得-=0，整理得==，故k=，其中x≠x，y≠0. 所以直線l的方程為y-y=（x-x）.

因?yàn)辄c(diǎn)差法的使用前提是直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以需要檢驗(yàn)直線l與雙曲線C是否有兩個(gè)交點(diǎn). 此處可以結(jié)合圖像處理這個(gè)問題：

當(dāng)點(diǎn)P在陰影區(qū)域①或②內(nèi)時(shí)，因?yàn)?>1，所以>，即

>，所以

k=

>，即k>或k< -.所以，當(dāng)點(diǎn)P在陰影區(qū)域①或②內(nèi)時(shí)，結(jié)合圖像可知，直線l與雙曲線C的某一支必有兩個(gè)交點(diǎn).

當(dāng)點(diǎn)P在陰影區(qū)域③或④內(nèi)時(shí)，因?yàn)?<0，即

<，所以

k=

<，即-

所以，直線l與雙曲線C必有兩個(gè)交點(diǎn).

綜上所述，直線l的方程為x=x或y-y=（x-x）.

（2）充分性：假設(shè)在雙曲線上存在兩點(diǎn)A（x，y），B（x，y），使得點(diǎn)P（x，y）為AB的中點(diǎn).

當(dāng)A，B兩點(diǎn)在雙曲線C的同一支上時(shí)，顯然點(diǎn)P在陰影區(qū)域①或②內(nèi)，滿足->1.

當(dāng)A，B兩點(diǎn)分別在雙曲線C的左、右兩支上時(shí)，x≠x，-=1且-=1，兩式相減得-=0（?）.

當(dāng)y=-y時(shí)，x=-x，A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故點(diǎn)P在原點(diǎn)處.

當(dāng)y≠-y時(shí)，x≠-x，y≠0，（?）式可整理成==，故k=.

因?yàn)锳，B兩點(diǎn)分別在雙曲線C的左、右兩支上，所以

k=

<，即-<0.

綜上所述，->1或-<0.

事實(shí)上，當(dāng)點(diǎn)P為原點(diǎn)時(shí)，存在無數(shù)條過P的直線l，使得l交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P為AB的中點(diǎn).

若雙曲線的方程為其他形式，也有類似的結(jié)論，讀者可以自行證明.

定理3：設(shè)拋物線C：y2=2px（p>0），點(diǎn)P（x，y）為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在拋物線C內(nèi)（如圖3所示的陰影區(qū)域，不含邊界），即y<2px時(shí)，存在過點(diǎn)P的直線l，使得l交C于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，直線l的方程為x=x或y-y=（x-x）.

證明：（1）必要性：①當(dāng)點(diǎn)P（x，y）在拋物線C內(nèi)，且點(diǎn)P在x軸上時(shí)，存在直線l滿足題意，直線l的方程為x=x.

②當(dāng)點(diǎn)P（x，y）在拋物線C內(nèi)，且點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，即y<2px，且y≠0. 設(shè)A（x，y），B（x，y），點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，則=x，=y.

因?yàn)锳，B兩點(diǎn)都在拋物線C上，所以y=2px，y=2px. 兩式相減得y-y=2p（x-x），整理得==，故k=，其中x≠x，y≠0.

故直線l的方程為y-y=（x-x）.

檢驗(yàn)：因?yàn)橹本€l過拋物線C內(nèi)一點(diǎn)P，所以直線l與拋物線C必有兩個(gè)交點(diǎn).

綜上所述，直線l的方程為x=x或y-y=（x-x）.

（2）充分性：設(shè)在拋物線C上存在兩點(diǎn)A（x，y），B（x，y），使得點(diǎn)P（x，y）為AB的中點(diǎn)，結(jié)合圖像，顯然點(diǎn)P在拋物線C內(nèi)，滿足y<2px.

利用點(diǎn)差法解決圓錐曲線中點(diǎn)弦的存在性問題，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，結(jié)構(gòu)緊湊，操作性強(qiáng)，但是它的使用前提是直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，這也是點(diǎn)差法的局限性. 此外還可以用聯(lián)立方程組法進(jìn)行證明，但是計(jì)算煩瑣，學(xué)生不易掌握，可以作為課外自主探索.