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        挖掘“源頭” 把握方向

        2022-05-30 08:41:03劉熙劉冰楠

        劉熙 劉冰楠

        [摘? 要] 以2021年全國(guó)新高考Ⅱ卷(數(shù)學(xué))第14題為例,挖掘其在教科書中的“主流源頭”和“支流源頭”,并提出備考建議:解讀文件精神,明確考查方向;回歸教科書,把握命題方向;挖掘同類素材,預(yù)測(cè)試題命制.

        [關(guān)鍵詞] 高考題;數(shù)學(xué)教科書;追根溯源;備考建議

        高考試題大多源于教科書例習(xí)題的改編與整合,在一定程度上體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、創(chuàng)新性的高考學(xué)科考查要求. 挖掘高考數(shù)學(xué)試題在教科書中的“源頭”,不僅可以體悟高考試題源于教科書的命制思路、了解教科書內(nèi)容的改編方式,還可以初步感知高考命題動(dòng)向、把握復(fù)習(xí)重點(diǎn). 以2021年全國(guó)新高考Ⅱ卷(數(shù)學(xué))第14題(以下簡(jiǎn)稱“新高考Ⅱ卷第14題”)為例,挖掘其在教科書中的“主流源頭”和“支流源頭”,并提出一些備考建議.

        [?]試題呈現(xiàn)

        (新高考Ⅱ卷第14題)寫出一個(gè)同時(shí)具有性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x):______.

        ①f(xx)=f(x)f(x);②當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)>0;③f′(x)是奇函數(shù).

        解:取f(x)=x2,則f(xx)=(xx)2=xx=f(x)f(x),滿足性質(zhì)①;f′(x)=2x,x∈(0,+∞)時(shí)f′(x)>0,滿足性質(zhì)②;f′(x)=2x的定義域?yàn)镽,又f′(-x)=-2x=-f′(x),故f′(x)是奇函數(shù),滿足性質(zhì)③. 故答案為f(x)=x2(答案不唯一,f(x)=x2n(n∈N*)均滿足).

        [?]試題評(píng)析

        考生應(yīng)明確填空題的命制意圖——“側(cè)重于基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力的考查,關(guān)注對(duì)課本知識(shí)掌握的牢固程度”[1]. 該試題要求寫出一個(gè)同時(shí)具有性質(zhì)①②③的函數(shù),該函數(shù)類型在教科書中有所提及,而教科書中的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等,滿足性質(zhì)①的僅有冪函數(shù)f(x)=xα(其中x是自變量,α是常數(shù)),由此確定函數(shù)類型. 根據(jù)性質(zhì)②,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,因此α>0. 由性質(zhì)③,可知f′(x)=αxα-1中x的指數(shù)α-1為奇數(shù),故α為偶數(shù),于是f(x)=x2n(n∈N*)均滿足. 此外,考生應(yīng)理性審視試題,題目要求寫出函數(shù)解析式,答案應(yīng)是熟悉的函數(shù)類型或其復(fù)合函數(shù),因此要迅速提取已學(xué)的函數(shù)類型(冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等),并對(duì)三條性質(zhì)逐一驗(yàn)證,從而解決問(wèn)題. 該試題解答的關(guān)鍵在于理性地選擇函數(shù)類型,對(duì)備選的函數(shù)類型要進(jìn)行驗(yàn)證,并做出正確的取舍.

        該試題給出了明確的已知條件,考生需要結(jié)合性質(zhì)①判斷所求函數(shù)的類型,再結(jié)合性質(zhì)②③寫出符合要求的函數(shù)解析式,標(biāo)準(zhǔn)答案不唯一,屬于開放性試題中的“舉例問(wèn)題”,這種試題在2021年高考數(shù)學(xué)中首次出現(xiàn)[2]. 試題聚焦“一核、四層、四翼”評(píng)價(jià)體系,立足冪函數(shù)的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶函數(shù)的定義等基礎(chǔ)知識(shí),打破常規(guī),增大試題探究性,擴(kuò)大開放度,體現(xiàn)創(chuàng)新性,對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行多方位、深層次的考查,滲透數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新能力、綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力,突顯思維的創(chuàng)新性、靈活性和多樣性,體現(xiàn)“重思維、重應(yīng)用、重創(chuàng)新”的命題要求.

        [?]追根溯源

        1. 高考試題的“主流源頭”

        高考命題應(yīng)立足學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)和課程內(nèi)容[3]. 教科書作為課程內(nèi)容的主要載體,其內(nèi)容在高考命題中占有一定的地位,大多數(shù)高考題在教科書中均可以找到“影子”. 如新高考Ⅱ卷第14題可以在教科書中尋到其“主流源頭”——人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第74頁(yè)習(xí)題3.1第17題(簡(jiǎn)記為“例1”).

        例1 探究是否存在函數(shù)f(x),g(x)滿足條件:

        (1)定義域相同,值域相同,但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同;

        (2)值域相同,對(duì)應(yīng)關(guān)系相同,但定義域不同.

        解:(1)存在. 如f(x)=x,定義域?yàn)镽,值域?yàn)镽;g(x)=2x+1,定義域?yàn)镽,值域?yàn)镽. 又如f(x)=x,定義域?yàn)镽,值域?yàn)閇0,+∞);g(x)=x2,定義域?yàn)镽,值域?yàn)閇0,+∞). (答案不唯一)

        (2)存在. 如f(x)=x2,定義域?yàn)閇0,2),值域?yàn)閇0,4);g(x)=x2,定義域?yàn)椋?2,2),值域?yàn)閇0,4). (答案不唯一)

        新高考Ⅱ卷第14題是該教科書原題的變式與拓展,不僅包括必備知識(shí)的加深拓展,還包括關(guān)鍵能力、學(xué)科核心素養(yǎng)等的深化. 第一,二者均為根據(jù)已知條件寫出函數(shù)解析式的題目,要求學(xué)生透徹理解函數(shù)主線的基礎(chǔ)知識(shí),能靈活運(yùn)用函數(shù)性質(zhì). 高考試題將冪函數(shù)的性質(zhì)、單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)、奇偶函數(shù)的定義等基礎(chǔ)知識(shí)有機(jī)整合,注重知識(shí)的系統(tǒng)性和整體性;教科書原題重點(diǎn)考查函數(shù)三要素,鞏固深化教科書內(nèi)容. 這在一定程度上體現(xiàn)了高考試題是由教科書原題改編、拓展的,突出考查學(xué)生綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)解決問(wèn)題的能力,是必備知識(shí)的加深拓展. 第二,二者均屬于開放性問(wèn)題中的“舉例問(wèn)題”,需根據(jù)題目條件寫出符合要求的函數(shù)解析式且答案不唯一. 這不僅可以激活學(xué)生的知識(shí)網(wǎng)絡(luò),還可以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)新性,且高考試題考查的知識(shí)點(diǎn)較多,在一定程度上增加了試題的難度. 第三,“舉例問(wèn)題”打破常規(guī),要求學(xué)生根據(jù)條件寫出函數(shù)解析式,而常規(guī)題目多根據(jù)函數(shù)解析式及相關(guān)條件推導(dǎo)函數(shù)性質(zhì),這對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)側(cè)重點(diǎn)有所不同. 常規(guī)題目注重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力,落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng);“舉例問(wèn)題”注重培養(yǎng)學(xué)生從多角度審視問(wèn)題的能力,考查學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)新性.

        2. 高考試題的“支流源頭”

        教科書的函數(shù)主線還涉及其他類型的“舉例問(wèn)題”,包括構(gòu)建滿足函數(shù)解析式的問(wèn)題情境、根據(jù)問(wèn)題情境畫出函數(shù)圖像等. 具體如下:

        例2 構(gòu)建其他可用解析式y(tǒng)=x(10-x)描述其中變量關(guān)系的問(wèn)題情境. (人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第63頁(yè)探究題)

        例3 構(gòu)建一個(gè)問(wèn)題情境,使其中的變量關(guān)系能用解析式y(tǒng)=來(lái)描述. (人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第64頁(yè)練習(xí)第4題)

        例4 構(gòu)建一個(gè)問(wèn)題情境,使其中的變量關(guān)系能用解析式y(tǒng)=ax2(a>0)來(lái)描述. (人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第73頁(yè)習(xí)題3.1第14題)

        例5 一名心率過(guò)速患者服用某種藥物后心率立刻明顯減慢,之后隨著藥力的減退,心率再次慢慢升高. 畫出自服藥那一刻起,心率關(guān)于時(shí)間的一個(gè)可能的圖像(示意圖). (人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第86頁(yè)習(xí)題3.2第6題)

        例6 體內(nèi)癌細(xì)胞初期增加得很緩慢,但到了晚期就急劇增加,畫一幅能反映體內(nèi)癌細(xì)胞數(shù)量隨時(shí)間變化的示意圖. (人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第118頁(yè)練習(xí)第3題)

        上述教科書原題均為開放性問(wèn)題中的“舉例問(wèn)題”(答案不唯一),與新高考Ⅱ卷第14題所屬主線一致. 前三題根據(jù)函數(shù)解析式構(gòu)建滿足變量關(guān)系的問(wèn)題情境,后兩題根據(jù)問(wèn)題情境畫出函數(shù)圖像. 滿足變量關(guān)系的問(wèn)題情境、函數(shù)解析式、函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)圖像等緊密相關(guān),命制試題時(shí)可根據(jù)考查要求將其中一方設(shè)為未知量. 新高考Ⅱ卷第14題將函數(shù)性質(zhì)作為已知條件,將函數(shù)解析式設(shè)為未知量,考查學(xué)生對(duì)基本初等函數(shù)性質(zhì)的掌握情況以及對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用水平;教科書的例2、例3、例4將函數(shù)解析式作為已知條件,將滿足變量關(guān)系的問(wèn)題情境設(shè)為未知量,可以讓學(xué)生深度理解函數(shù)解析式,感悟數(shù)學(xué)源于生活;教科書的例5、例6將問(wèn)題情境作為已知條件,將函數(shù)圖像作為未知量,可以提高學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力、作圖能力,使學(xué)生體悟數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活. 上述教科書原題均為新高考Ⅱ卷第14題的“同類素材”,且契合“習(xí)題應(yīng)開發(fā)一些具有應(yīng)用性、開放性、探究性的問(wèn)題”[3]的編寫建議,并發(fā)揮獨(dú)特的數(shù)學(xué)學(xué)科育人價(jià)值. 隨著試題開放度的增大,上述教科書原題在預(yù)測(cè)高考試題命制時(shí)具有一定的參考價(jià)值.

        [?]備考建議

        基于新高考Ⅱ卷第14題在教科書中“源頭”的挖掘,本文提出以下幾點(diǎn)備考建議:

        1. 解讀文件精神,明確考查方向

        高考評(píng)價(jià)體系是新時(shí)代高考內(nèi)容改革的理論支撐和實(shí)踐指南[4]. 在備考過(guò)程中,應(yīng)關(guān)注國(guó)務(wù)院、教育部考試中心等發(fā)布的文件以洞悉高考內(nèi)容改革方向,同時(shí)閱讀高考命題者公開發(fā)表的文章,關(guān)注他們對(duì)國(guó)家相關(guān)政策文件的解讀、對(duì)高考評(píng)價(jià)體系的認(rèn)識(shí),以及依據(jù)高考評(píng)價(jià)體系、高校人才選拔要求、國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)建構(gòu)的數(shù)學(xué)命題框架,由此明確高考數(shù)學(xué)學(xué)科的考查內(nèi)容、考查要求、考查載體,以及選擇題、填空題、解答題的命制意圖等. 例如,若明晰填空題的命制意圖,新高考Ⅱ卷第14題就可以將函數(shù)類型的范圍縮小至教科書中的基本初等函數(shù),進(jìn)而一一驗(yàn)證.

        2. 回歸教科書,把握命題方向

        歷年高考命題中有大量試題直接源于教科書或由教科書中的例習(xí)題改編而來(lái)[5],但試題的回歸并沒(méi)有降低考查難度與深度,而是通過(guò)對(duì)教科書例習(xí)題進(jìn)行變式拓廣提高了試題的綜合性和創(chuàng)新性,優(yōu)化了高考選拔功能. 在備考過(guò)程中,應(yīng)充分挖掘歷年高考試題在教科書中的“源頭”,明晰其改編方式,把握命題方向,并“結(jié)合高考命題實(shí)際,對(duì)教科書中的某些內(nèi)容進(jìn)行補(bǔ)充、拓展、改進(jìn)、增補(bǔ)、變式、整合等”[6]. 例如,新高考Ⅱ卷第14題是在保持例1“舉例開放”題型以及所屬主線一致的基礎(chǔ)上,對(duì)必備知識(shí)的加深拓展、對(duì)關(guān)鍵能力的深化、對(duì)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí). 因此,備考過(guò)程中應(yīng)關(guān)注教科書中新題型的出現(xiàn)(如“舉例問(wèn)題”),并嘗試對(duì)其進(jìn)行改編,包括條件與結(jié)論的倒置、綜合性的增強(qiáng)、知識(shí)點(diǎn)所屬主線的改變等,加強(qiáng)試題的開放性和探究性,設(shè)計(jì)條件或結(jié)論開放、解題方法多樣、答案不唯一的試題,減少“刷題”在高考中的作用.

        3. 挖掘同類素材,預(yù)測(cè)試題命制

        在備考過(guò)程中,注重挖掘歷年高考試題在教科書中的“源頭”并找尋同類素材,包括題型一致(如均屬于“舉例開放”問(wèn)題)、所屬主線相同、思維程序類似等,以期預(yù)測(cè)高考試題命制. 高考“通過(guò)命制開放性試題、結(jié)構(gòu)不良試題,發(fā)揮選拔功能;通過(guò)創(chuàng)新題型,對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新能力進(jìn)行考查”[4],擴(kuò)大試題的創(chuàng)新性、探究性、開放性. 新高考Ⅱ卷第14題與例2至例6均屬于開放性試題中的“舉例問(wèn)題”,探究性、創(chuàng)新性、開放性較強(qiáng),符合高考命題要求,因此例2至例6作為新高考Ⅱ卷第14題的同類素材(題型一致、所屬主線相同),在預(yù)測(cè)高考試題命制時(shí)具有一定的參考價(jià)值.

        參考文獻(xiàn):

        [1]? 趙軒,任子朝,翟嘉祺. 高考評(píng)價(jià)體系的數(shù)學(xué)學(xué)科化實(shí)踐[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào),2020,59(10):12-17.

        [2]? 教育部考試中心. 聚焦核心素養(yǎng),考查關(guān)鍵能力——2021年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷試題評(píng)析[J]. 中國(guó)考試,2021(07):70-76.

        [3]? 中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)[M]. 北京:人民教育出版社,2020.

        [4]? 任子朝,趙軒. 基于高考評(píng)價(jià)體系的數(shù)學(xué)科考試內(nèi)容改革實(shí)施路徑[J]. 中國(guó)考試,2019(12):27-32.

        [5]? 余小芬. 回歸教科書? 高三復(fù)習(xí)的正道——以人教版函數(shù)與導(dǎo)數(shù)為例[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào),2018,57(12):9-13.

        [6]? 唐永. 回歸教科書:提升學(xué)生核心素養(yǎng)的有效途徑[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào),2020,59(07):40-43+48.

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