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        基于認(rèn)知結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)教學(xué),促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)

        2022-05-30 05:34:08徐紅兵
        關(guān)鍵詞:認(rèn)知結(jié)構(gòu)深度學(xué)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)

        徐紅兵

        [摘? 要] 基于對(duì)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的精準(zhǔn)探明和本學(xué)科獨(dú)特價(jià)值的清晰把握合理地設(shè)計(jì)教學(xué),驅(qū)動(dòng)學(xué)生在具體的問題情境中進(jìn)行有意義的探究活動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生深度參與、深度思考、深度建構(gòu)、深度拓展,促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生,提升核心素養(yǎng).

        [關(guān)鍵詞] 認(rèn)知結(jié)構(gòu);教學(xué)設(shè)計(jì);深度學(xué)習(xí)

        當(dāng)前,國家全面深化課程改革,把培育學(xué)生核心素養(yǎng)作為目標(biāo)追求,這必然需要新的教學(xué)理念促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變,基于認(rèn)知結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)教學(xué),促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)是實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)、落實(shí)核心素養(yǎng)的重要途徑. 本文以“余弦定理”教學(xué)為例說明如何基于認(rèn)知結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)教學(xué),促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí).

        [?]以認(rèn)知結(jié)構(gòu)為本的教學(xué)理論

        奧蘇貝爾講過,影響學(xué)習(xí)的唯一的重要因素,就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么. 由此可見,認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)教學(xué)有著至關(guān)重要的影響,學(xué)生有意義的學(xué)習(xí),總是通過將新的知識(shí)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的相關(guān)知識(shí)建立起聯(lián)系而進(jìn)行的,因此教師應(yīng)基于對(duì)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的精準(zhǔn)探明和本學(xué)科獨(dú)特價(jià)值的清晰把握合理地設(shè)計(jì)教學(xué),驅(qū)動(dòng)學(xué)生在具體的問題情境中進(jìn)行有意義的探究活動(dòng),積極主動(dòng)建構(gòu),不斷將新的知識(shí)方法有機(jī)地納入自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)體系中.

        [?]以認(rèn)知結(jié)構(gòu)為本的“余弦定理”教學(xué)設(shè)計(jì)

        1. 探明學(xué)情

        (1)探明學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中知識(shí)的概括性程度.

        學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的與新的學(xué)習(xí)有關(guān)的知識(shí)的概括性越高,包容范圍越大,遷移的價(jià)值也就越大,越有助于學(xué)習(xí)新的知識(shí). 學(xué)生在此之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了直角三角形中的邊角關(guān)系和勾股定理、三角函數(shù)相關(guān)的知識(shí)、平面上兩點(diǎn)間的距離公式、坐標(biāo)法的應(yīng)用、平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積,其中的向量法和坐標(biāo)法具有很高的概括性,為學(xué)生探究余弦定理提供了相應(yīng)的知識(shí)方法的儲(chǔ)備.

        (2)探明學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中知識(shí)的可分辨度.

        學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的相關(guān)知識(shí)與新學(xué)習(xí)的相應(yīng)知識(shí)的分辨度越高,越有助于實(shí)現(xiàn)正遷移、避免干擾,從而有助于新知識(shí)的學(xué)習(xí). 學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的勾股定理研究的是直角三角形中的邊的關(guān)系,這與將要學(xué)習(xí)的斜三角形中的邊角關(guān)系有著明顯的分辨度,以此為思維著力點(diǎn),學(xué)生容易聯(lián)想到化斜為直、化未知為已知,找到探究余弦定理的思路方法.

        2. 挖掘余弦定理在數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)方面的教學(xué)價(jià)值

        (1)確認(rèn)基本的數(shù)學(xué)觀念方法.

        余弦定理的探究過程蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)觀念,比如化歸與轉(zhuǎn)化、邏輯推理、數(shù)形結(jié)合、方程思想等,通過這些數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí),學(xué)生可以形成變換觀念、坐標(biāo)觀念、本質(zhì)結(jié)構(gòu)觀念等.

        (2)厘清數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中知識(shí)的層級(jí)關(guān)系.

        按照建構(gòu)新知識(shí)的過程中所處的位置和作用,可以將推導(dǎo)余弦定理過程中用到的知識(shí)劃分為以下的層級(jí)關(guān)系(如圖1所示):

        3. 基于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的“余弦定理”教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)

        (1)創(chuàng)設(shè)情境,引發(fā)思考.

        從金字塔的建造到尼羅河兩岸的土地丈量,從大禹治水到都江堰的修建等,人們都離不開對(duì)幾何圖形的測量、設(shè)計(jì)和計(jì)算. 例如,測量河流兩岸碼頭之間的距離可以轉(zhuǎn)化為求三角形的邊的問題:如圖2所示,△ABC中,已知AB和CB的長度,∠ABC的大小,求AC.

        設(shè)計(jì)意圖:新課標(biāo)倡導(dǎo)以主題為引領(lǐng),使問題情境化,創(chuàng)設(shè)合適的問題情境,可以引起學(xué)生研究問題的興趣,啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題,用數(shù)學(xué)的思維思考問題.

        (2)設(shè)置活動(dòng),驅(qū)動(dòng)思考.

        如果上述三角形是直角三角形,可以直接使用勾股定理或直角三角形中的銳角三角函數(shù)求解,但是許多情況下,提出的三角形都不是直角三角形,那么任意三角形的邊和角之間存在怎樣的關(guān)系?

        師:根據(jù)同學(xué)們現(xiàn)有的知識(shí)結(jié)構(gòu),我們可以怎樣研究鈍角三角形中的邊和角之間的關(guān)系?請(qǐng)同學(xué)們思考問題1:已知△ABC中,AB=2,AC=2,∠BAC=120°,求BC的長.

        生1:因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形,所以作底邊BC上的高AD,在Rt△ABD中解出BD的長,進(jìn)而解出BC的長.

        師:很好,利用等腰三角形的性質(zhì),將鈍角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形求解. 同學(xué)們?cè)偎伎紗栴}2:已知△ABC中,AB=2,BC=4,∠ABC=60°,求AC的長.

        生2:過點(diǎn)A作AD⊥BC于D,在Rt△ABD中解出AD=,BD=1;在Rt△ACD中,利用勾股定理解出AC=2.

        生3:過點(diǎn)A作AD⊥BC于D,利用勾股定理列方程組BD2+AD2=22,

        CD2+AD2=AC2,兩式相減得CD2-BD2=AC2-4. 又BD=1,BC=4,所以CD=3,代入上述方程解得AC=2.

        師:很好,同學(xué)們通過作高,將斜三角形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形,利用直角三角形中的銳角三角函數(shù)和勾股定理解決了問題. 請(qǐng)同學(xué)們思考更為一般的問題3:如圖3所示,△ABC為鈍角三角形,設(shè)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a,c和B,求b.

        生4:可以過點(diǎn)A作AD⊥BC于D,在Rt△ABD和Rt△ACD中應(yīng)用勾股定理可得BD2+AD2=AB2,

        CD2+AD2=AC2,即BD2+AD2=c2,

        (a-BD)2+AD2=b2,解得BD=. 又BD=ccosB,所以ccosB=,化簡得b2=a2+c2-2accosB.

        設(shè)計(jì)意圖:先從特殊的三角形出發(fā),引導(dǎo)學(xué)生利用化斜為直,將鈍角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形,化陌生為熟悉,再類比上述方法推導(dǎo)出三角形中一般的結(jié)論. 通過這個(gè)過程的求解,可以讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)中由特殊到一般、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想的作用,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

        師:大家從推導(dǎo)出的結(jié)論b2=a2+c2-2accosB中能發(fā)現(xiàn)什么?

        生5:當(dāng)角B為直角時(shí),這個(gè)等式就是勾股定理.

        師:很好,這說明我們得到的這個(gè)等式更具有一般性,還能發(fā)現(xiàn)這個(gè)公式有什么作用?

        生6:已知三角形中的兩邊a,c和它們的夾角B就可以求出第三邊b.

        師:大家可以用學(xué)過的三角形中的知識(shí)來解釋一下這個(gè)結(jié)論嗎?

        生7:根據(jù)三角形全等的判定定理“邊角邊”可知,已知三角形的兩邊a,c和它們的夾角B,則這個(gè)三角形就確定了.

        師:很好,我們初中用判定定理“邊角邊”證明兩個(gè)三角形全等,通過剛才的研究,還可以定量計(jì)算. 請(qǐng)大家觀察上式的結(jié)構(gòu),結(jié)合圖形,思考等式中的“accosB”和我們學(xué)過的什么知識(shí)有關(guān)聯(lián).

        生8:兩邊及其夾角余弦的乘積是向量數(shù)量積的定義.

        師:既然等式中出現(xiàn)了向量數(shù)量積的定義,大家能用向量法再次推導(dǎo)等式b2=a2+c2-2accosB嗎?

        生9:結(jié)合三角形可知,等式的右邊“a2+c2-2accosB”是向量“-”的平方,由此可以聯(lián)想到三角形中的向量等式=-,兩邊平方可得2=2-2·+2,即b2=a2+c2-2accosB.

        師:同學(xué)們很聰明啊,能從不同知識(shí)的角度思考問題、研究問題. 請(qǐng)大家接著思考:在我們已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)結(jié)構(gòu)中,研究邊長的方法除了平面幾何中的線段長和向量中的模長,還有別的方法嗎?

        生10:邊長還可以看成兩點(diǎn)間的距離,我們可以建立平面直角坐標(biāo)系來研究. 為了使點(diǎn)的坐標(biāo)簡單,可以這樣建系:以BC為x軸,B為原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系,則C(a,0),B(0,0),A(ccosB,csinB). 由平面上兩點(diǎn)間的距離公式可得b=,兩邊平方可得b2=a2+c2-2accosB.

        師:非常好,同學(xué)們的視野很開闊,能夠充分地調(diào)動(dòng)已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)結(jié)構(gòu),靈活地研究問題.

        設(shè)計(jì)意圖:通過數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)聯(lián)想,調(diào)動(dòng)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中向量的相關(guān)知識(shí),通過設(shè)置“問題串”,驅(qū)動(dòng)學(xué)生去聯(lián)想、調(diào)動(dòng)、激活以往的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),引導(dǎo)學(xué)生積極探究,以融會(huì)貫通的方式對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行組織,建構(gòu)出自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系,促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí).

        (3)知識(shí)方法的理解和應(yīng)用.

        根據(jù)余弦定理b2=a2+c2-2accosB的結(jié)構(gòu)特征,學(xué)生初步理解了應(yīng)用余弦定理可以解決以下兩類解三角形的問題:①已知三角形的三邊求角;②已知三角形的兩邊及其夾角,可以求出三角形的第三邊和其他兩個(gè)角.

        例1 根據(jù)下列條件解三角形:

        ①已知b=3,c=1,A=60°,求a;

        ②已知a=4,b=5,c=6,求cosA.

        解析:①由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=32+12-2×3×1×cos60°=7,即a=;②由余弦定理得cosA===.

        (4)反思總結(jié),提升素養(yǎng).

        本節(jié)課強(qiáng)化化斜為直的轉(zhuǎn)化方法,突出方程(組)思想在求值類問題中的應(yīng)用;通過結(jié)構(gòu)類比,聯(lián)想到向量的相關(guān)知識(shí),使用向量數(shù)量積的方法證明了余弦定理;再運(yùn)用坐標(biāo)法,推導(dǎo)出余弦定理,建構(gòu)了完整的知識(shí)方法體系.

        [?]促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生

        深度學(xué)習(xí)是學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)活動(dòng)去聯(lián)想、調(diào)動(dòng)、激活以往的經(jīng)驗(yàn),以融會(huì)貫通的方式對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行組織,建構(gòu)出自己的知識(shí)結(jié)構(gòu),是一種理解性的學(xué)習(xí). 通過基于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行教學(xué),可以促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的發(fā)生,主要表現(xiàn)在以下幾點(diǎn):

        1. 創(chuàng)設(shè)問題情境,引導(dǎo)學(xué)生深度參與

        當(dāng)學(xué)生面對(duì)陌生的復(fù)雜問題時(shí),表現(xiàn)出能夠創(chuàng)造性地分析、較快地形成解決思路、迅速地進(jìn)行決策、快速地整合資源解決問題的可遷移的素養(yǎng),是深度學(xué)習(xí)學(xué)科育人的追求. 這種素養(yǎng)是學(xué)生解決具體問題的實(shí)踐中形成和發(fā)展的,中間的重要載體就是問題情境.

        根據(jù)學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu),創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境,激發(fā)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的元認(rèn)知,引導(dǎo)學(xué)生深度參與新知識(shí)的探究思考. 本節(jié)課設(shè)置了生產(chǎn)生活中測量距離的問題,引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題,將實(shí)際情境抽象為解三角形的問題,深度參與知識(shí)的探究活動(dòng).

        2. 設(shè)置探究問題,驅(qū)動(dòng)學(xué)生深度思考

        在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中,超越具體知識(shí)和技能深入到思維層面,由具體的數(shù)學(xué)方法和策略的學(xué)習(xí)過渡到一般性的思維策略和思維品質(zhì)的提升,是學(xué)生深度思考的重要特征.

        設(shè)置恰當(dāng)?shù)膯栴},通過反問、追問與提出新的問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生深入思考. 本節(jié)課以直角三角形作為思考的邏輯起點(diǎn),通過“問題串”的形式不斷追問學(xué)生,驅(qū)動(dòng)學(xué)生探究問題,引導(dǎo)學(xué)生化斜為直,利用勾股定理構(gòu)造方程組,推導(dǎo)出余弦定理.

        3. 開展交流活動(dòng),引領(lǐng)學(xué)生深度建構(gòu)

        開展交流活動(dòng),在活動(dòng)中碰撞出思維的火花,引領(lǐng)學(xué)生深入互動(dòng)交流,實(shí)現(xiàn)深度建構(gòu). 本節(jié)課利用勾股定理推導(dǎo)出余弦定理后,引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析余弦定理的結(jié)構(gòu)特征,通過小組討論、合作探究等活動(dòng),促進(jìn)學(xué)生與任務(wù)、學(xué)生與學(xué)生、學(xué)生與教師之間深入互動(dòng)交流,完善向量法和坐標(biāo)法的應(yīng)用,重新證明了余弦定理.

        4. 做好總結(jié)反思,促使學(xué)生深度拓展

        數(shù)學(xué)能力的發(fā)展主要指通過高層次的抽象實(shí)現(xiàn)思維能力的發(fā)展. 數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷優(yōu)化的過程,是學(xué)生的一種自覺行為,這需要教師幫助學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)反思和再認(rèn)識(shí),促使學(xué)生深度拓展.

        本節(jié)課中教師應(yīng)教會(huì)學(xué)生做好總結(jié)反思,幫助學(xué)生建立這樣的認(rèn)識(shí):余弦定理的推導(dǎo)是化歸思想的應(yīng)用,向量法的應(yīng)用是聯(lián)系變化的思想,形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知,總結(jié)出研究線段的方法體系,并以此為基礎(chǔ)嘗試推導(dǎo)出正弦定理.

        [?]結(jié)語

        總之,教學(xué)不能無中生有,更不能將知識(shí)硬塞給學(xué)生,基于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的教學(xué)設(shè)計(jì)要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,要將學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的知識(shí)方法作為教學(xué)設(shè)計(jì)的起點(diǎn)和主線,這將有助于引導(dǎo)學(xué)生充分地調(diào)動(dòng)自己的知識(shí)結(jié)構(gòu),多維度地思考和分析問題的解決思路和方法,主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)體系,發(fā)展高階思維,促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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