徐紅兵

[摘? 要] 基于對學生認知結構的精準探明和本學科獨特價值的清晰把握合理地設計教學，驅動學生在具體的問題情境中進行有意義的探究活動，引導學生深度參與、深度思考、深度建構、深度拓展，促進深度學習的發(fā)生，提升核心素養(yǎng).

[關鍵詞] 認知結構;教學設計;深度學習

當前，國家全面深化課程改革，把培育學生核心素養(yǎng)作為目標追求，這必然需要新的教學理念促進學生學習方式的轉變，基于認知結構設計教學，促進學生深度學習是實現這一目標、落實核心素養(yǎng)的重要途徑. 本文以“余弦定理”教學為例說明如何基于認知結構設計教學，促進學生深度學習.

[?]以認知結構為本的教學理論

奧蘇貝爾講過，影響學習的唯一的重要因素，就是學習者已經知道了什么. 由此可見，認知結構對教學有著至關重要的影響，學生有意義的學習，總是通過將新的知識與認知結構中已有的相關知識建立起聯系而進行的，因此教師應基于對學生認知結構的精準探明和本學科獨特價值的清晰把握合理地設計教學，驅動學生在具體的問題情境中進行有意義的探究活動，積極主動建構，不斷將新的知識方法有機地納入自己的認知結構體系中.

[?]以認知結構為本的“余弦定理”教學設計

1. 探明學情

（1）探明學生認知結構中知識的概括性程度.

學生認知結構中已有的與新的學習有關的知識的概括性越高，包容范圍越大，遷移的價值也就越大，越有助于學習新的知識. 學生在此之前已經學習了直角三角形中的邊角關系和勾股定理、三角函數相關的知識、平面上兩點間的距離公式、坐標法的應用、平面向量的線性運算和數量積，其中的向量法和坐標法具有很高的概括性，為學生探究余弦定理提供了相應的知識方法的儲備.

（2）探明學生認知結構中知識的可分辨度.

學生認知結構中已有的相關知識與新學習的相應知識的分辨度越高，越有助于實現正遷移、避免干擾，從而有助于新知識的學習. 學生認知結構中的勾股定理研究的是直角三角形中的邊的關系，這與將要學習的斜三角形中的邊角關系有著明顯的分辨度，以此為思維著力點，學生容易聯想到化斜為直、化未知為已知，找到探究余弦定理的思路方法.

2. 挖掘余弦定理在數學認知結構方面的教學價值

（1）確認基本的數學觀念方法.

余弦定理的探究過程蘊含著豐富的數學思想方法和數學觀念，比如化歸與轉化、邏輯推理、數形結合、方程思想等，通過這些數學思想方法的學習，學生可以形成變換觀念、坐標觀念、本質結構觀念等.

（2）厘清數學認知結構中知識的層級關系.

按照建構新知識的過程中所處的位置和作用，可以將推導余弦定理過程中用到的知識劃分為以下的層級關系（如圖1所示）：

3. 基于認知結構的“余弦定理”教學設計的關鍵環(huán)節(jié)

（1）創(chuàng)設情境，引發(fā)思考.

從金字塔的建造到尼羅河兩岸的土地丈量，從大禹治水到都江堰的修建等，人們都離不開對幾何圖形的測量、設計和計算. 例如，測量河流兩岸碼頭之間的距離可以轉化為求三角形的邊的問題：如圖2所示，△ABC中，已知AB和CB的長度，∠ABC的大小，求AC.

設計意圖：新課標倡導以主題為引領，使問題情境化，創(chuàng)設合適的問題情境，可以引起學生研究問題的興趣，啟發(fā)學生用數學的眼光觀察問題，用數學的思維思考問題.

（2）設置活動，驅動思考.

如果上述三角形是直角三角形，可以直接使用勾股定理或直角三角形中的銳角三角函數求解，但是許多情況下，提出的三角形都不是直角三角形，那么任意三角形的邊和角之間存在怎樣的關系？

師：根據同學們現有的知識結構，我們可以怎樣研究鈍角三角形中的邊和角之間的關系？請同學們思考問題1：已知△ABC中，AB=2，AC=2，∠BAC=120°，求BC的長.

生1：因為△ABC是等腰三角形，所以作底邊BC上的高AD，在Rt△ABD中解出BD的長，進而解出BC的長.

師：很好，利用等腰三角形的性質，將鈍角三角形轉化為直角三角形求解. 同學們再思考問題2：已知△ABC中，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，求AC的長.

生2：過點A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中解出AD=，BD=1;在Rt△ACD中，利用勾股定理解出AC=2.

生3：過點A作AD⊥BC于D，利用勾股定理列方程組BD2+AD2=22，

CD2+AD2=AC2，兩式相減得CD2-BD2=AC2-4. 又BD=1，BC=4，所以CD=3，代入上述方程解得AC=2.

師：很好，同學們通過作高，將斜三角形轉化為兩個直角三角形，利用直角三角形中的銳角三角函數和勾股定理解決了問題. 請同學們思考更為一般的問題3：如圖3所示，△ABC為鈍角三角形，設角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a，c和B，求b.

生4：可以過點A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD和Rt△ACD中應用勾股定理可得BD2+AD2=AB2，

CD2+AD2=AC2，即BD2+AD2=c2，

（a-BD）2+AD2=b2，解得BD=. 又BD=ccosB，所以ccosB=，化簡得b2=a2+c2-2accosB.

設計意圖：先從特殊的三角形出發(fā)，引導學生利用化斜為直，將鈍角三角形轉化為直角三角形，化陌生為熟悉，再類比上述方法推導出三角形中一般的結論. 通過這個過程的求解，可以讓學生體會到數學中由特殊到一般、轉化與化歸等數學思想的作用，提升學生的數學素養(yǎng).

師：大家從推導出的結論b2=a2+c2-2accosB中能發(fā)現什么？

生5：當角B為直角時，這個等式就是勾股定理.

師：很好，這說明我們得到的這個等式更具有一般性，還能發(fā)現這個公式有什么作用？

生6：已知三角形中的兩邊a，c和它們的夾角B就可以求出第三邊b.

師：大家可以用學過的三角形中的知識來解釋一下這個結論嗎？

生7：根據三角形全等的判定定理“邊角邊”可知，已知三角形的兩邊a，c和它們的夾角B，則這個三角形就確定了.

師：很好，我們初中用判定定理“邊角邊”證明兩個三角形全等，通過剛才的研究，還可以定量計算. 請大家觀察上式的結構，結合圖形，思考等式中的“accosB”和我們學過的什么知識有關聯.

生8：兩邊及其夾角余弦的乘積是向量數量積的定義.

師：既然等式中出現了向量數量積的定義，大家能用向量法再次推導等式b2=a2+c2-2accosB嗎？

生9：結合三角形可知，等式的右邊“a2+c2-2accosB”是向量“-”的平方，由此可以聯想到三角形中的向量等式=-，兩邊平方可得2=2-2·+2，即b2=a2+c2-2accosB.

師：同學們很聰明啊，能從不同知識的角度思考問題、研究問題. 請大家接著思考：在我們已經學過的知識結構中，研究邊長的方法除了平面幾何中的線段長和向量中的模長，還有別的方法嗎？

生10：邊長還可以看成兩點間的距離，我們可以建立平面直角坐標系來研究. 為了使點的坐標簡單，可以這樣建系：以BC為x軸，B為原點，建立平面直角坐標系，則C（a，0），B（0，0），A（ccosB，csinB）. 由平面上兩點間的距離公式可得b=，兩邊平方可得b2=a2+c2-2accosB.

師：非常好，同學們的視野很開闊，能夠充分地調動已經學過的知識結構，靈活地研究問題.

設計意圖：通過數學結構聯想，調動學生認知結構中向量的相關知識，通過設置“問題串”，驅動學生去聯想、調動、激活以往的數學活動經驗，引導學生積極探究，以融會貫通的方式對學習內容進行組織，建構出自己的知識結構體系，促進學生深度學習.

（3）知識方法的理解和應用.

根據余弦定理b2=a2+c2-2accosB的結構特征，學生初步理解了應用余弦定理可以解決以下兩類解三角形的問題：①已知三角形的三邊求角;②已知三角形的兩邊及其夾角，可以求出三角形的第三邊和其他兩個角.

例1 根據下列條件解三角形：

①已知b=3，c=1，A=60°，求a;

②已知a=4，b=5，c=6，求cosA.

解析：①由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=32+12-2×3×1×cos60°=7，即a=;②由余弦定理得cosA===.

（4）反思總結，提升素養(yǎng).

本節(jié)課強化化斜為直的轉化方法，突出方程（組）思想在求值類問題中的應用;通過結構類比，聯想到向量的相關知識，使用向量數量積的方法證明了余弦定理;再運用坐標法，推導出余弦定理，建構了完整的知識方法體系.

[?]促進深度學習的發(fā)生

深度學習是學生根據學習活動去聯想、調動、激活以往的經驗，以融會貫通的方式對學習內容進行組織，建構出自己的知識結構，是一種理解性的學習. 通過基于認知結構的教學設計進行教學，可以促進學生深度學習的發(fā)生，主要表現在以下幾點：

1. 創(chuàng)設問題情境，引導學生深度參與

當學生面對陌生的復雜問題時，表現出能夠創(chuàng)造性地分析、較快地形成解決思路、迅速地進行決策、快速地整合資源解決問題的可遷移的素養(yǎng)，是深度學習學科育人的追求. 這種素養(yǎng)是學生解決具體問題的實踐中形成和發(fā)展的，中間的重要載體就是問題情境.

根據學生已有的認知結構，創(chuàng)設恰當的問題情境，激發(fā)學生認知結構中的元認知，引導學生深度參與新知識的探究思考. 本節(jié)課設置了生產生活中測量距離的問題，引導學生用數學的眼光觀察問題，將實際情境抽象為解三角形的問題，深度參與知識的探究活動.

2. 設置探究問題，驅動學生深度思考

在數學學習的過程中，超越具體知識和技能深入到思維層面，由具體的數學方法和策略的學習過渡到一般性的思維策略和思維品質的提升，是學生深度思考的重要特征.

設置恰當的問題，通過反問、追問與提出新的問題驅動學生深入思考. 本節(jié)課以直角三角形作為思考的邏輯起點，通過“問題串”的形式不斷追問學生，驅動學生探究問題，引導學生化斜為直，利用勾股定理構造方程組，推導出余弦定理.

3. 開展交流活動，引領學生深度建構

開展交流活動，在活動中碰撞出思維的火花，引領學生深入互動交流，實現深度建構. 本節(jié)課利用勾股定理推導出余弦定理后，引導學生觀察、分析余弦定理的結構特征，通過小組討論、合作探究等活動，促進學生與任務、學生與學生、學生與教師之間深入互動交流，完善向量法和坐標法的應用，重新證明了余弦定理.

4. 做好總結反思，促使學生深度拓展

數學能力的發(fā)展主要指通過高層次的抽象實現思維能力的發(fā)展. 數學的學習是一個不斷優(yōu)化的過程，是學生的一種自覺行為，這需要教師幫助學生學會總結反思和再認識，促使學生深度拓展.

本節(jié)課中教師應教會學生做好總結反思，幫助學生建立這樣的認識：余弦定理的推導是化歸思想的應用，向量法的應用是聯系變化的思想，形成結構化的認知，總結出研究線段的方法體系，并以此為基礎嘗試推導出正弦定理.

[?]結語

總之，教學不能無中生有，更不能將知識硬塞給學生，基于認知結構的教學設計要符合學生的認知規(guī)律，要將學生認知結構中與教學內容相關的知識方法作為教學設計的起點和主線，這將有助于引導學生充分地調動自己的知識結構，多維度地思考和分析問題的解決思路和方法，主動建構知識體系，發(fā)展高階思維，促進深度學習的發(fā)生，提升數學核心素養(yǎng).