傅倩茹

摘 ? 要：數(shù)學(xué)應(yīng)用題是學(xué)生進(jìn)入初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會(huì)面臨的一類(lèi)難題，培養(yǎng)學(xué)生解決應(yīng)用題的能力，樹(shù)立學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題學(xué)習(xí)的信心具有重要意義.以人教版七年級(jí)下冊(cè)第八章第三節(jié)的探究3這一問(wèn)題為例，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)進(jìn)行數(shù)學(xué)材料的閱讀，厘清問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，體會(huì)模型思想在實(shí)際問(wèn)題的解決中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：模型思想;應(yīng)用題;數(shù)學(xué)閱讀

在小學(xué)階段，學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)運(yùn)用算術(shù)解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)應(yīng)用題.到了初中，數(shù)學(xué)應(yīng)用題卻成為了多數(shù)學(xué)生心中的“攔路虎”，學(xué)生需要不斷在解決問(wèn)題的過(guò)程中體會(huì)和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型思想[ 1 ].初一數(shù)學(xué)是學(xué)生從小學(xué)數(shù)學(xué)認(rèn)知到初中數(shù)學(xué)應(yīng)用的一個(gè)重要過(guò)渡學(xué)段，如何讓學(xué)生更快的學(xué)會(huì)運(yùn)用模型思想解決初中學(xué)習(xí)過(guò)程中較為復(fù)雜的應(yīng)用題，培養(yǎng)和樹(shù)立學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣和信心是教師們需要不斷考慮的.為此，本文以人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第八章第三節(jié)探究3有關(guān)運(yùn)費(fèi)的這一問(wèn)題的新課教學(xué)為例[ 2 ]，探討模型思想在數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中的應(yīng)用.

1 ?巧設(shè)鋪墊，化繁為簡(jiǎn)

當(dāng)學(xué)生首次接觸到這道題時(shí)，大多數(shù)的學(xué)生看到如此冗長(zhǎng)的問(wèn)題是不知道從何入手的，而且題目中的運(yùn)價(jià)單位也對(duì)本題的審題造成了一定的困難，因此教師在新課教學(xué)過(guò)程中應(yīng)當(dāng)幫助和引導(dǎo)學(xué)生梳理題目中的難點(diǎn)，為此可在教學(xué)的前期過(guò)程中引入以下幾個(gè)趣味小問(wèn)題作為鋪墊：

（1）經(jīng)調(diào)查，某小組4個(gè)人10天共吃了120個(gè)包子，問(wèn)：平均每人每天吃多少個(gè)包子？

（2）①把3 噸貨物從甲地運(yùn)到50 千米外的乙地，共支出運(yùn)費(fèi)225 元.若按此計(jì)算，運(yùn)4噸貨物走5 千米需要支付多少運(yùn)費(fèi)？

②2 元/（噸·千米）表示什么？若按此計(jì)費(fèi)，運(yùn)a噸貨物走b千米需要支付多少運(yùn)費(fèi)？

綜上所述，運(yùn)費(fèi)=________×________×_________.

問(wèn)題1中，學(xué)生可以通過(guò)小學(xué)算術(shù)方法或者一元一次方程求得平均每人每天吃3個(gè)包子.

問(wèn)題2的①中，學(xué)生用一元一次方程解決時(shí)發(fā)現(xiàn)直接設(shè)元并不能較為簡(jiǎn)單的解決此問(wèn)題，而是要采用間接設(shè)元的方式，設(shè)運(yùn)1噸的貨物行駛一千米需要x元，求得x=1.5，進(jìn)一步求得運(yùn)4 噸貨物走5 千米需要支付30 元.此問(wèn)題的設(shè)計(jì)既幫助學(xué)生復(fù)習(xí)了一元一次方程解應(yīng)用題的基本步驟，也讓學(xué)生初步體會(huì)了運(yùn)價(jià)的具體數(shù)值的計(jì)算方式.在上述兩個(gè)小問(wèn)題的基礎(chǔ)上，現(xiàn)在可以讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言理解2元/（噸·千米）表示什么，當(dāng)學(xué)生能夠成功說(shuō)出2 元/（噸·千米）表示運(yùn)1噸的貨物行駛1千米，需要支付2 元錢(qián)時(shí)，對(duì)于實(shí)際要解決的探究3已經(jīng)突破了單位的理解這一難點(diǎn).學(xué)生在第②問(wèn)中還需要理解運(yùn)a噸貨物走b千米需要支付2ab元的運(yùn)費(fèi)，并具體得到運(yùn)費(fèi)的計(jì)算公式：運(yùn)費(fèi)=數(shù)量×單價(jià)×路程，此部分的講解教師要引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)從具體過(guò)渡到抽象，從特殊過(guò)渡到一般的過(guò)程.

以上幾個(gè)小問(wèn)題看似簡(jiǎn)單，但其實(shí)際上需要達(dá)到以下幾個(gè)重要目的：（1）突破對(duì)運(yùn)費(fèi)單位“元/（噸·千米）”的理解;（2）一元一次方程思想的應(yīng)用復(fù)習(xí);（3）間接設(shè)元與直接設(shè)元的選擇;（4）從數(shù)字到字母，從特殊到一般的能力培養(yǎng).達(dá)到以上幾個(gè)目標(biāo)后，學(xué)生心理上能夠?qū)@樣簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題提起興趣，并且在參與解決問(wèn)題的過(guò)程中，從而為實(shí)際解決探究問(wèn)題做了知識(shí)及心理上的良好鋪墊作用.

2 ?細(xì)剖原文，提取關(guān)鍵

探究3問(wèn)題文字內(nèi)容豐富，各數(shù)學(xué)量之間的關(guān)系在沒(méi)有梳理前是錯(cuò)綜復(fù)雜的，學(xué)生要在教師的引導(dǎo)下學(xué)會(huì)如何更好地進(jìn)行數(shù)學(xué)閱讀，學(xué)會(huì)提取題目中的關(guān)鍵信息.首先讓學(xué)生動(dòng)筆將長(zhǎng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分段.冗長(zhǎng)的段落變成簡(jiǎn)單的句子后，便可以引導(dǎo)學(xué)生從每個(gè)短句中提取關(guān)鍵信息，學(xué)生依次可以得到：原料單價(jià)、產(chǎn)品單價(jià);公路運(yùn)費(fèi)單價(jià)、鐵路運(yùn)費(fèi)單價(jià);公路總運(yùn)費(fèi)、鐵路總運(yùn)費(fèi);問(wèn)題為求：銷(xiāo)售款-（原料費(fèi)+運(yùn)輸費(fèi)）.

學(xué)生觀察問(wèn)題后可以發(fā)現(xiàn)，要求得問(wèn)題的結(jié)果，需要求出銷(xiāo)售款、原料費(fèi)、運(yùn)輸費(fèi)分別為多少.從這三個(gè)未知量入手，學(xué)生要先找到數(shù)量關(guān)系，并把已知量代入式子從而得到：

學(xué)生通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，解決本問(wèn)題，關(guān)鍵要求出未知的原料數(shù)量和產(chǎn)品數(shù)量，因此學(xué)生已然可以判斷出本題要選用二元一次方程組這一數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解決.

在審題的過(guò)程中，學(xué)生需要不斷地對(duì)題目中的文字進(jìn)行分析，有效的數(shù)學(xué)閱讀可令學(xué)生加快理解題意，提高判斷及分析的能力，同時(shí)也要求學(xué)生在此過(guò)程中要細(xì)致、耐心.在應(yīng)用題的教學(xué)過(guò)程中，對(duì)于篇幅較長(zhǎng)的題目文本，本例提供了一種比較切實(shí)可行的利用劃分段落提取關(guān)鍵詞，列數(shù)學(xué)關(guān)系式進(jìn)行分析的這樣一種直接分析方法，可以簡(jiǎn)要概括為“段→句→詞→式”.

可以發(fā)現(xiàn)不是所有的學(xué)生都能夠這么順利地提取信息，因此除了直接分析法，還可以引導(dǎo)學(xué)生利用圖表進(jìn)行審題.課本中對(duì)于本題還提供了一個(gè)表格，實(shí)際問(wèn)題中還有很多適用于列表法解決的應(yīng)用題，如何設(shè)計(jì)表格、表頭是其中的難點(diǎn)，適用于列表法解決的應(yīng)用題類(lèi)型比如配套問(wèn)題、行程問(wèn)題、比賽問(wèn)題、古籍問(wèn)題等.詳細(xì)的讀者可以參閱王壽娟及劉勇老師的《用列表法解應(yīng)用題》[ 3 ].此外，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生利用題目中的圖進(jìn)行審題分析，觀察可以讀取出鐵路有兩段，分別是120 km與110 km，公路有兩段，分別是10 km與20 km，從A地到長(zhǎng)青化工廠運(yùn)輸?shù)氖窃?，從長(zhǎng)青化工廠到地運(yùn)送的是產(chǎn)品，因此可以對(duì)圖中每段鐵路或者公路的運(yùn)價(jià)進(jìn)行標(biāo)注，再結(jié)合題目已知的公路及鐵路的總運(yùn)價(jià)便可發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)系式.

3 ?拓展延伸，鞏固應(yīng)用

值得一提的是，教材在分析這道題的未知量都與產(chǎn)品及原料的數(shù)量有關(guān)系后，便給出了設(shè)元方式：設(shè)產(chǎn)品為x噸，原料為y噸.關(guān)于這個(gè)設(shè)元方式有以下兩個(gè)問(wèn)題需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析：

（1）應(yīng)該直接設(shè)元還是間接設(shè)元？

（2）產(chǎn)品數(shù)量跟原料數(shù)量相等嗎，為什么是設(shè)兩個(gè)未知數(shù)而不是一個(gè)未知數(shù)？

對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題，很明顯的本題直接設(shè)元存在困難，需要通過(guò)先求解產(chǎn)品數(shù)量和原料數(shù)量再分別求出問(wèn)題中的銷(xiāo)售款、原料費(fèi)和運(yùn)輸費(fèi).其二，產(chǎn)品數(shù)量跟原料數(shù)量是不相等的，為了證明這個(gè)結(jié)論我們可以先假設(shè)二者相等，設(shè)產(chǎn)品數(shù)量與原料數(shù)量均為x噸，則根據(jù)公路運(yùn)費(fèi)的總費(fèi)用我們可以列式得到：10×1.5x+20×1.5x=15000，求出x=，再將x的值代入鐵路運(yùn)費(fèi)計(jì)算得到總價(jià)為92000，與題目中的97200不符，因此產(chǎn)品數(shù)量與原料數(shù)量不相等，所以需要設(shè)兩個(gè)未知數(shù).

在課本探究3的基礎(chǔ)上，2020-2021學(xué)年七年級(jí)第二學(xué)期廈門(mén)數(shù)學(xué)市質(zhì)檢第24題對(duì)其進(jìn)行了改編與設(shè)計(jì)：第一問(wèn)考察二元一次方程組在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，問(wèn)題中有兩個(gè)未知數(shù)，直接設(shè)元便可.學(xué)生在此問(wèn)中可以初步體會(huì)數(shù)學(xué)閱讀與模型思想.第二問(wèn)信息量大，學(xué)生需要梳理題目中復(fù)雜的信息，厘清各數(shù)學(xué)量之間的關(guān)系，通過(guò)模型思想尋找到合適的數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題.采用前文所述的審題方式，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)本問(wèn)中方案的費(fèi)用均與公路及鐵路的運(yùn)輸單價(jià)有關(guān)，且兩者均未知，因此求解方案費(fèi)用需要間接設(shè)2個(gè)元.學(xué)生還需利用分類(lèi)討論的思想得到有兩種方案，方案一：原料A公路運(yùn)輸，原料B鐵路運(yùn)輸;方案二：原料A鐵路運(yùn)輸， 原料B公路運(yùn)輸.將每個(gè)方案的具體費(fèi)用用未知數(shù)表示出來(lái)后發(fā)現(xiàn)每種方案的費(fèi)用表示都帶有兩個(gè)未知數(shù)，怎么辦呢？此時(shí)學(xué)生回顧數(shù)的大小比較方法，含未知數(shù)的式子要進(jìn)行比較，就需要用到課本121頁(yè)的求差法，通過(guò)解不等式分類(lèi)討論出最終的結(jié)果.可以說(shuō)本道題的設(shè)計(jì)獨(dú)具匠心，蘊(yùn)含了模型思想，具體有二元一次方程組及不等式;分類(lèi)討論思想.所用的方法均來(lái)源于課本所學(xué)，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀及模型意識(shí)的要求比較高.

4 ?總結(jié)

通過(guò)以上分析，我們給出了運(yùn)用直接分析法、列表法、圖例法進(jìn)行應(yīng)用題審題的示范過(guò)程，實(shí)際解決問(wèn)題中，學(xué)生要學(xué)會(huì)選用靈活的方式進(jìn)行審題，每種方法都有其優(yōu)缺點(diǎn)，直接分析法要求學(xué)生具備較高的數(shù)學(xué)閱讀能力，能夠?qū)⑽淖终Z(yǔ)言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的能力，列表法及圖例法都相對(duì)直觀，而列表法中對(duì)表格的設(shè)計(jì)是難點(diǎn).學(xué)生在解決應(yīng)用題的過(guò)程中，既可以單一地選取其中一種方法，而在其中一種方法行不通時(shí)又可以有效地選用其他的方法結(jié)合進(jìn)行分析.通過(guò)本道探究問(wèn)題的分析，學(xué)生能夠體會(huì)到解決數(shù)學(xué)問(wèn)題方法的多樣性，不斷突破數(shù)學(xué)問(wèn)題閱讀的難點(diǎn).

數(shù)學(xué)應(yīng)用題形式多樣，如何更好地帶領(lǐng)學(xué)生簡(jiǎn)潔高效地解決問(wèn)題是我們不斷追求的目標(biāo).通過(guò)課本探究3的授課，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)會(huì)基本的審題技巧.審題關(guān)過(guò)了，學(xué)生便能較迅速地匹配所學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)學(xué)模型，從而將具體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行求解.初一年的應(yīng)用題的解答所涉及的重要模型便是方程及不等式，教師要不斷強(qiáng)化學(xué)生提取關(guān)鍵信息，厘清數(shù)學(xué)關(guān)系的能力.在基礎(chǔ)模型夯實(shí)以后，便可進(jìn)一步做技能疊加，也為后續(xù)的函數(shù)應(yīng)用題等更多更復(fù)雜類(lèi)型的應(yīng)用題做鋪墊.

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