【摘要】如何有效地講評錯題是個教學(xué)難點問題，其有效與否直接影響到學(xué)生后續(xù)的復(fù)習(xí)。該文從“‘點子圖錯例講評，講究‘以點帶面”“‘畫垂線錯例講評，講究‘二步畫法”“‘解面積錯例講評，講究‘方圓之道”“‘求體積錯例講評，講究‘等量代換”等四個方面，論述了有效講評錯題需要講究的問題。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);圖形與幾何;高頻錯題;講評;講究

【基金項目】本文系福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度課題“提升小學(xué)數(shù)學(xué)高頻錯題講評有效性的研究”課題成果之一（編號為2020XB0631）。

作者簡介：林聰強（1990.10—），男，福建省廈門集美中學(xué)附屬濱水學(xué)校，一級教師。

講評高頻錯題是課程教學(xué)的重要環(huán)節(jié)之一，講評課可以對學(xué)生的錯誤點進行糾正，對重難點進行鞏固，由此形成一套完整的解題模式，最終實現(xiàn)講評課的真正價值。如何有效講評高頻錯題是數(shù)學(xué)教學(xué)面臨的一項重要挑戰(zhàn)，其有效與否直接影響到學(xué)生后續(xù)的復(fù)習(xí)。然而，在實際教學(xué)中，盡管很多教師都在高頻錯題的講評上花了大量的精力，但是效果依然不盡如人意。為此，筆者結(jié)合自己的研究與實踐，從以下四個方面論述有效講評錯題需要講究的問題。

一、“點子圖”錯例講評，講究“以點帶面”

教師時常會忽視數(shù)學(xué)的高頻錯題的講評課，講評課不但對學(xué)生糾錯學(xué)習(xí)有所幫助，同時也能對教學(xué)活動進行一定的回顧。點子圖是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個重要法寶，同時也是圖形與幾何知識中價值頗高的教學(xué)素材。如何有效地設(shè)計和利用點子圖是教師一直在探索的問題，探索如何既能讓學(xué)生在認知上有所突破，又能符合學(xué)生的發(fā)展需求。然而在實際的錯題講評中，這方面卻較難取得理想的教學(xué)效果，依然存在不少問題。例如“在點子圖中表示出‘23×35中‘23×5的部分”，這類題目錯誤率很高，究其原因是學(xué)生對點子圖的掌握存在一定的缺漏。點子圖主要考查的內(nèi)容是評價學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的運用能力，同時考查學(xué)生對算理算法的理解情況，這其中主要涉及新人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級關(guān)于《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》一課的內(nèi)容，即通過點子圖，學(xué)生能加深對算理的理解，進而達到掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)算法的目的。但在實際的教學(xué)中，學(xué)生對點子圖的理解僅僅停留在表面，縱使學(xué)生已經(jīng)明白兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算法則，但是這種理解程度可能只停留在“數(shù)一數(shù)”的初級階段，這會導(dǎo)致學(xué)生在后續(xù)的數(shù)學(xué)練習(xí)中頻繁犯錯誤，特別對于“一道乘法算式中求解每個部分分別表示什么”類型的題目，學(xué)生時常會混淆算式中各部分的意義。如果學(xué)生對此掌握得不牢固，就會對后續(xù)四年級學(xué)習(xí)乘法運算定律產(chǎn)生負面影響。

例如，“一副羽毛球拍16元，少年宮買了12副羽毛球拍，一共要用多少元？通過小組合作，說出自己的想法，然后在點子圖上把自己的想法圈畫出來。”根據(jù)題意，學(xué)生無法利用點子圖表示乘法分配律，這是因為學(xué)生之前對于點子圖的學(xué)習(xí)，只是機械式地將各部分點子的數(shù)量合起來，而在數(shù)學(xué)的抽象思維訓(xùn)練上有所不足。筆者認為，教師應(yīng)該在講評課上引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，重點讓學(xué)生學(xué)會由點及面，將面積的含義融入兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理中，通過結(jié)構(gòu)化模式將分散的點子統(tǒng)一起來，形成一幅相互關(guān)聯(lián)的點子圖，再將豎式計算中的數(shù)融入點子圖中，通過多次溝通和比較，加深對點子圖與豎式計算關(guān)系的理解，真正發(fā)揮點子圖“以點帶面”的作用，突破算理的認知問題，達到降低題目出錯率的目的。

又例如“在點子圖上畫出兩個不同的平行四邊形”的教法，教師讓學(xué)生自由地畫出平行四邊形的兩組對邊，其實是降低了對平行線教學(xué)的重視程度，起不到點子在實際操作中的作用。學(xué)生只是淺顯地、片面地認識平行線的“平”或“直”，如果遇到傾斜的平行線，就容易弄混淆，無法明確地辨析平行的關(guān)系，久而久之，學(xué)生就會憑感覺來隨意畫點和線[1]?；诖耍瑢W(xué)生在此類題目上的錯誤率居高不下。筆者建議教師要在錯題講評課上帶領(lǐng)學(xué)生認真解讀教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生厘清線段和點子的位置關(guān)系，因為在新人教版四年級上冊中，平行線的畫法已經(jīng)在新教材的編排中被刪減了。由此，教師借助點子圖畫線段，能實現(xiàn)對平行線表象的建構(gòu)，最終教學(xué)生畫出正確的平面圖形。

可見，正確而有效地解決點子圖的高頻錯題，不僅可以幫助學(xué)生正確理解圖形與幾何中概念的本質(zhì)，而且有助于降低學(xué)生做題的錯誤率。

二、“畫垂線”錯例講評，講究“二步畫法”

畫垂線是新人教版四年級上冊的內(nèi)容，掌握垂線的畫法是本節(jié)圖形與幾何課的重難點，是奠定圖形與幾何的操作題的基礎(chǔ)。然而在實際教學(xué)中，看似簡單的畫垂線，學(xué)生卻錯誤百出，這樣學(xué)生以后學(xué)到平面圖形的高的畫法時就難上加難，因為它們都是以畫垂線為基礎(chǔ)的。例如“經(jīng)過O點畫射線OA和OB的垂線”，此類題就是“畫垂線”問題，其實就是如何把三角尺上互相垂直的線段演變成已知直線和待畫直線的垂直關(guān)系的問題，通過建立對應(yīng)關(guān)系，讓學(xué)生明白作垂直線段的方法。但在實際教學(xué)中，教師只是機械式地把正解告訴學(xué)生，學(xué)生似懂非懂。筆者建議在實際的講評課中，教師要判斷學(xué)生出錯的類型，比如學(xué)生會出現(xiàn)以下幾種高頻錯題：第一，學(xué)生對于三角尺上的兩條垂線的印象不深刻，不懂得借助三角尺來作垂線，因此畫垂線時造成垂直角度不精確;第二，學(xué)生縱然知道可以借助三角尺的兩條垂線，但是在操作過程中時常出現(xiàn)畫不垂直的情況，有的學(xué)生索性根據(jù)感官來畫垂線。筆者建議教師在錯題講評中注意以下問題。一方面，讓學(xué)生記住作垂線的步驟，即標(biāo)記、貼住、慢慢移。畫垂線分為兩種情況，一種是過直線上一點作已知直線的垂線，另一種是過直線外一點作已知直線的垂線。但是學(xué)生在實際操作中時常不按套路出牌，只是假裝規(guī)范地作出垂線，實際上根本沒有按照步驟進行。例如“畫出三角形ABC中AB邊上的高EF”，很多學(xué)生在之前畫垂線的時候沒有經(jīng)過充分的思考，只是機械地記憶畫圖步驟，盡管之前還學(xué)過平行四邊形和梯形的高的畫法，但當(dāng)遇到畫三角形的高時，垂線的畫法早就遺忘了。這就表明學(xué)生對點和已知直線關(guān)系的理解不夠透徹。筆者建議教師在教學(xué)中對比總結(jié)垂線的兩種畫法的區(qū)別和聯(lián)系，讓學(xué)生深入建構(gòu)垂直概念，透徹地感悟畫垂線的內(nèi)涵。另一方面，教師在講評過程中可以畫幾條錯誤的線段，讓學(xué)生去糾錯，在糾錯中逐步在兩種畫法中找到平衡點，進而使學(xué)生掌握畫垂線的方法。

因此，教師要在不斷調(diào)整的過程中讓學(xué)生理解點與直線的關(guān)系，讓學(xué)生規(guī)范地畫出垂線，從而解決圖形與幾何中關(guān)于畫法的高頻錯誤點。

三、“解面積”錯例講評，講究“方圓之道”

教師經(jīng)常會不小心把一節(jié)講評課上成簡單的知識復(fù)習(xí)課，因為教師會把重心放在舊知識的再認識、再重復(fù)上，導(dǎo)致學(xué)生對高頻錯題的解決方法重視度不高。如何更好地把握講評課，關(guān)鍵在于講評的內(nèi)容和形式。講評課的形式有很多，可以先講后練，還可以邊講邊練，亦可以先練后講等。如何對高頻錯題進行有效的講評呢？首先，教師不能阻礙學(xué)生的思維發(fā)展，同時也要給學(xué)生一些嘗試鍛煉的機會，不然學(xué)生的學(xué)習(xí)就只能停留在傾聽的表面。其次，教師要利用好學(xué)生的錯誤的教學(xué)資源，從學(xué)生錯得比較多的題目中讀懂學(xué)生的想法，從而改進教學(xué)方式，全面地設(shè)計課堂活動。例如“三角形ABC是邊長為48厘米的正三角形，陰影部分是以每條邊長為直徑畫半圓時出現(xiàn)的幾何圖形，求陰影部分的面積？”的講評課，對于這類圖形與幾何方面的高頻錯題，學(xué)生在對面積的求解方面顯得手足無措，有的學(xué)生對關(guān)系式掌握得不清楚，有的學(xué)生不清楚求解的是哪一個圖形或者是哪一部分的面積。在講評課上，很多教師總是單純地就錯題進行剖析講解，或者是告訴學(xué)生該用什么面積公式。筆者認為，在講評課上應(yīng)該關(guān)注學(xué)生真正的需求。例如，在學(xué)生學(xué)習(xí)不同的平面圖形面積計算方法時，可以將所有的面積知識融會貫通，讓學(xué)生學(xué)會辨別不同圖形的面積關(guān)系，并讓學(xué)生在日常學(xué)習(xí)過程中收集整理高頻錯題的類型題。通過一段時間的積累，學(xué)生便明白面積錯題主要集中在以基本的幾何圖形為底板的變式類型。因此在講評課中，教師不僅要使學(xué)生明白不同圖形面積的推導(dǎo)公式以及它們之間的區(qū)別和聯(lián)系，更要考慮到“內(nèi)圓外方”“內(nèi)方外圓”的關(guān)系，因為掌握“方圓之道”是解決六年級圖形與幾何問題的一個重要的手段。圖形與幾何的源頭是從認識長方形、正方形開始的，在此基礎(chǔ)上進一步拓展到不同的圖形，再根據(jù)圖形的變化找到圓和正方形的數(shù)量關(guān)系，進而解決圖形問題。譬如，“一個正方形的面積是25平方米，那么圓的面積是多少呢？”如果按照正常的數(shù)學(xué)邏輯，我們應(yīng)該先求出圓的半徑，然后根據(jù)面積公式求出圓的面積。而這道題卻無法求出半徑，但是我們可以另找思考的角度，根據(jù)半徑的平方聯(lián)系到正方形的面積公式（即邊長乘邊長），這樣便能直接求出圓的面積。所以說厘清錯題中的圖形關(guān)系很重要，而借助方圓的關(guān)系可以解決許多關(guān)于圖形面積的問題。

圖形與幾何的面積求解題目錯誤率高的原因在于學(xué)生不懂得利用圖形關(guān)系來解題。因此在錯題講評過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生利用正方形和圓的關(guān)系，為解決面積問題另辟蹊徑，尋找最佳的解決策略，實現(xiàn)錯題的再利用、再消化、再吸收。

四、“求體積”錯例講評，講究“等量代換”

錯題講評課不僅要讓學(xué)生明白自己的錯誤在哪里，還應(yīng)該讓學(xué)生懂得怎么避免重復(fù)犯錯，通過這樣的方式讓學(xué)生在講評中關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)知識，整體地把握知識結(jié)構(gòu)，從而實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)[2]。六年級數(shù)學(xué)圖形與幾何模塊的重點是解決體積問題，根據(jù)學(xué)生日常的錯題收集，筆者發(fā)現(xiàn)關(guān)于體積的錯題有很多。例如，“一個圓柱與一個圓錐等底等高，那么它們的體積比是（ ）;一個圓柱與一個圓錐體積相等，且等底，那么它們的高的比是（ ）;一個圓柱與一個圓錐體積相等，且等高，那么它們的底面積比是（ ）。”教師對此類錯題也是很苦惱，在講評課上花費了很多時間，如讓學(xué)生再次“炒冷飯”，回顧圓柱和圓錐的體積公式，讓學(xué)生重復(fù)機械地記憶公式等，但是收效甚微。因此，筆者做出了一些改進。課伊始，筆者先由平面圖形的特征講到周長和面積計算，再梳理復(fù)習(xí)立體圖形的特征和推演體積的公式，如此既讓學(xué)生明白知識的溯源，同時也讓學(xué)生清楚在錯題復(fù)習(xí)中要關(guān)注新問題與舊知識的聯(lián)系，尋找新舊知識之間的突破口[3]。解決圓柱和圓錐二者關(guān)系問題的關(guān)鍵在于等體積的轉(zhuǎn)換。如果單純從體積間的倍數(shù)關(guān)系分析，學(xué)生很快就能得出答案;但是如果題目一旦加入其他物體的體積干擾因素，學(xué)生就辨別不清物體間體積的關(guān)系了。因此，教師在教學(xué)過程中務(wù)必讓學(xué)生透徹地理解等量代換，其實這在五年級的教學(xué)中就有所滲透了。例如，“一個圓柱容器，底面半徑10cm，里面盛有水，現(xiàn)將一個圓錐鐵塊放在容器內(nèi)并浸沒在水中，水面上升2cm，這個圓錐鐵塊體積是多少？”學(xué)生在學(xué)習(xí)六年級的圓柱和圓錐的體積求解之前，就已學(xué)過求解不規(guī)則物體的體積，即把不規(guī)則物體的體積轉(zhuǎn)化成規(guī)則物體的體積，再根據(jù)轉(zhuǎn)化前后的等量關(guān)系進行求解，因此我們可以通過將圓柱和圓錐的體積進行轉(zhuǎn)化來解決問題[4]。教師在講評時，可先讓學(xué)生回顧長方體體積、圓柱體積、圓錐體積的推導(dǎo)公式，歸納出三者體積都是用底面積乘高的關(guān)系來求解。通過這樣的鋪墊，學(xué)生在高頻錯題上就不容易重蹈覆轍。學(xué)生明白了體積的本質(zhì)，明白了利用切割、拼湊、轉(zhuǎn)化等方式把圓柱轉(zhuǎn)化為長方體，亦可以把圓錐轉(zhuǎn)化成圓柱，從而使得自身的思維慢慢進階，從具體表象走向深度學(xué)習(xí)。這樣學(xué)生不僅能進一步加深對體積意義的理解，發(fā)展解決實際問題的能力，還能體驗到等積變形、遷移類推的思想方法，從而形成解決不同物體體積高頻錯題的一套方法。

“等量代換”思想的獲取是靠學(xué)生自己去領(lǐng)悟出來的，單單憑借教師的教學(xué)是無法實現(xiàn)的。因此在高頻錯題的講評中，教師要注重滲透思想方法，在知識講解的基礎(chǔ)上實現(xiàn)思想的內(nèi)化，把錯題的講評權(quán)還給學(xué)生，讓學(xué)生經(jīng)歷問題解決的全過程。

總而言之，高頻錯題講評課的價值就在于讓學(xué)生避免反復(fù)出現(xiàn)同一類型的錯題，為學(xué)生打造一套解決數(shù)學(xué)高頻錯題的策略，提高學(xué)生解決圖形與幾何問題的能力，使核心素養(yǎng)在學(xué)生心中落地生根。

【參考文獻】

[1]侯木華.規(guī)范使用點子圖把握概念準(zhǔn)確性：由“在點子圖上畫出兩個不同平行四邊形”引發(fā)的爭議與思考[J].教育實踐與研究（A），2015（10）：58-60.

[2]朱明俠.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“空間觀念”的把握和培養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2015（18）：93.

[3]崔士欽.小學(xué)生等積變形思想的形成與發(fā)展[J].普教研究，1995（02）：51-52.

[4]劉小會.等體積轉(zhuǎn)化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效滲透[J].新課程研究，2019（19）：45-46.