徐凱

[摘 要]如果對(duì)于知識(shí)的教學(xué)只是浮于表面，過(guò)于注重結(jié)論、方法以及習(xí)題，學(xué)生就無(wú)法深入探究數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵。文章立足于“數(shù)學(xué)證明”，深層剖析“證明”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的內(nèi)涵和價(jià)值，并針對(duì)如何利用小學(xué)生力所能及的“證明”展開(kāi)探討，給出“剖析教材，發(fā)掘素材”“以錯(cuò)引措，以誤換悟”“探本溯源，突破界限”和“多樣證明，活化認(rèn)知”等策略，力求將“數(shù)學(xué)證明”融入課堂，使之成為學(xué)生探尋數(shù)學(xué)本質(zhì)的最佳路徑，讓課堂充滿濃濃的“數(shù)學(xué)味”。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)證明;數(shù)學(xué)本質(zhì);小學(xué)數(shù)學(xué)

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）32-0001-04

如果說(shuō)問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，那么“證明”就是數(shù)學(xué)的靈魂。數(shù)學(xué)家匈菲爾德對(duì)于“證明”的解讀是“證明是尋找數(shù)學(xué)意義的活動(dòng)”?？梢?jiàn)，“證明”就是讓學(xué)生理解概念、公式、法則、定律等的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程和原因，即探索數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的過(guò)程，而非把數(shù)學(xué)證明看作推理過(guò)程的“固化痕跡”。

作為教師，要注重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的感悟，讓學(xué)生學(xué)習(xí)“帶得走”的數(shù)學(xué)，而非遨游于“數(shù)學(xué)題?！?。正如數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏所言“唯有深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想方法、研究方法、推理方法和看待問(wèn)題的著眼點(diǎn)等，隨時(shí)隨地地發(fā)生作用，使他們終身受益” ，“數(shù)學(xué)證明”的深刻性就具有這樣的“威力”。

一、審視：當(dāng)下課堂教學(xué)中“數(shù)學(xué)證明”的現(xiàn)狀剖析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確提出“四基”，即“基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。關(guān)于數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，史寧中教授指出“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是親身經(jīng)歷和感悟了歸納推理和演繹推理的過(guò)程，尤其是歸納推理過(guò)程后的一種結(jié)果”，這與“數(shù)學(xué)證明”不謀而合。反觀當(dāng)下的數(shù)學(xué)課堂，難有“證明”的身影，即使有，也大都如走馬觀花一般，重知識(shí)、技能，輕活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的現(xiàn)象比比皆是。

1.對(duì)小學(xué)“數(shù)學(xué)證明”概念理解狹隘

有些教師覺(jué)得“數(shù)學(xué)證明”伴隨著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎?、高深的定理以及極其規(guī)范的格式，對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)遙不可及，非小學(xué)生所能掌控。其實(shí)不然，在小學(xué)階段，“數(shù)學(xué)證明”通常只涉及一些非形式的推理和論證，這個(gè)階段的“數(shù)學(xué)證明”不是嚴(yán)格的、形式化的，其主要目標(biāo)是讓學(xué)生從事力所能及的邏輯論證。

2.對(duì)課堂中“數(shù)學(xué)證明”過(guò)程的剝削

不少教師潛意識(shí)里認(rèn)為“證明”不屬于小學(xué)教學(xué)內(nèi)容，尤其是對(duì)于中低年級(jí)的學(xué)生，讓其掌握“證明”無(wú)異于揠苗助長(zhǎng)，學(xué)生只需掌握一些基本的知識(shí)或技能會(huì)解題足矣，于是把得出結(jié)論的證明過(guò)程一帶而過(guò)，將寶貴的課堂時(shí)間大多用于習(xí)題訓(xùn)練和鞏固所學(xué)知識(shí)，此種做法無(wú)異于竭澤而漁。

以蘇教版教材三年級(jí)上冊(cè)“比較同分子異分母的分?jǐn)?shù)大小”為例，很多學(xué)生都能掌握比較分?jǐn)?shù)大小的方法“分子相同時(shí)，分母越小分?jǐn)?shù)越大”，尤其在課堂中花大量時(shí)間鞏固和練習(xí)，一節(jié)課下來(lái)學(xué)生均“熟能生巧”。殊不知，結(jié)論雖然易懂，但其真正價(jià)值蘊(yùn)含于得出結(jié)論的過(guò)程和方法中：通過(guò)畫(huà)出二分之一和四分之一的示意圖（如圖1）來(lái)佐證兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小，其間蘊(yùn)藏著“數(shù)形結(jié)合，以形證數(shù)”的原生態(tài)的“證明”雛形。

試想一下，若課堂中只注重結(jié)論和方法，罔顧證明的過(guò)程，長(zhǎng)此以往數(shù)學(xué)課不免枯燥和冰冷。要想學(xué)生的思維有深度，那在中低年級(jí)這個(gè)起步階段，就得在學(xué)生心中埋下“知其然還要知其所以然”的種子。

3.對(duì)教材中“數(shù)學(xué)證明”素材的輕視

目前各版本教材或多或少都安排了“證明”的素材，除了顯而易見(jiàn)的公式、定理的推導(dǎo)與證明，在“思考題”“動(dòng)手做” “你知道嗎”等部分皆有“證明”的身影。但一些教師對(duì)于這些素材的處理往往淺嘗輒止，僅僅停留在學(xué)生“了解、知道”層面，沒(méi)有充分挖掘和激活其內(nèi)在價(jià)值。

以蘇教版教材五年級(jí)上冊(cè)中的 “你知道嗎”為例（如圖2）：

該內(nèi)容介紹的是《九章算術(shù)》中記載的關(guān)于古代三角形面積的計(jì)算方法，即“半廣以乘正從”。不少教師只是在課末簡(jiǎn)單介紹這部分內(nèi)容，僅將其作為可有可無(wú)的補(bǔ)充，如此有“證明”價(jià)值的素材就被一帶而過(guò)，可謂是暴殄天物。這個(gè)三角形面積的計(jì)算方法看似簡(jiǎn)單，實(shí)則是三角形面積公式的另一種推導(dǎo)和證明的過(guò)程，不同方法相互驗(yàn)證，彰顯數(shù)學(xué)的嚴(yán)密與嚴(yán)謹(jǐn)，可以引導(dǎo)學(xué)生在原有的基礎(chǔ)上感受證明方法的多樣化，感嘆證明的精妙之處;深挖下去，亦是“轉(zhuǎn)化”這一數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，學(xué)生能夠在“證明”中感受數(shù)學(xué)思想的妙處，構(gòu)建未知與已知的橋梁，思維得到長(zhǎng)足的發(fā)展與提升。

在具體的教學(xué)過(guò)程中教師只有有效激活相關(guān)素材，將其融入課堂教學(xué)，而不是使其像“孤島”般游離在學(xué)習(xí)體系之外，學(xué)生才能從內(nèi)心深處感受到“證明”的價(jià)值所在，才能將證明意識(shí)根植于心。

4.對(duì)小學(xué)“數(shù)學(xué)證明”的評(píng)價(jià)片面

隨著課改的深入，“數(shù)學(xué)證明”與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的聯(lián)系日益緊密，尤其是中高年級(jí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，但 “數(shù)學(xué)證明”考不考？怎么考？考到何種程度？這都是教師面臨的實(shí)際問(wèn)題。

例如，五年級(jí)某練習(xí)檢測(cè)題：你認(rèn)為[nm]和[n+1m+1]哪個(gè)大（m>n>0）？請(qǐng)用你喜歡的方法證明。

有些學(xué)生根據(jù)直覺(jué)胡亂猜測(cè)，然后證明過(guò)程亦是胡寫(xiě)一氣;有些學(xué)生只寫(xiě)結(jié)論毫無(wú)證明過(guò)程;更有甚者，完全不會(huì)……

筆者對(duì)一些學(xué)生進(jìn)行了訪談，他們表示：看到“證明”兩個(gè)字不知所措，沒(méi)遇到此類題型;只記得老師講過(guò)類似的結(jié)論，記不清具體為什么;沒(méi)有比較過(guò)帶有字母的分?jǐn)?shù)的大小，所以看不明白，通分的方法也不會(huì)用在這里……其實(shí)解答本題只要言之有理，將自己想法解釋清楚即可。

由此可見(jiàn)，考什么就教什么，不考就不教，就給“證明”套上了“應(yīng)試”的枷鎖，不但慢慢抹殺了“數(shù)學(xué)證明”本身的價(jià)值，而且這種極具功利性和工具性的評(píng)價(jià)取向，也成為制約“數(shù)學(xué)證明”進(jìn)入課堂的一個(gè)重要因素。

二、沉思：“數(shù)學(xué)證明”的意蘊(yùn)內(nèi)涵和實(shí)踐價(jià)值

1.“數(shù)學(xué)證明”的意蘊(yùn)內(nèi)涵

數(shù)學(xué)是人類智慧的結(jié)晶，“證明”就是其靈魂所在。將“數(shù)學(xué)證明”適時(shí)地融入課堂，能讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)精巧的方法、奇妙的思想和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫛?/p>

數(shù)學(xué)家波利亞曾說(shuō)：“教師講了什么并非不重要，但更重要千萬(wàn)倍的是學(xué)生想了些什么，學(xué)生的思路應(yīng)該在學(xué)生自己的頭腦中產(chǎn)生，教師的作用在于系統(tǒng)地給學(xué)生發(fā)現(xiàn)事物的機(jī)會(huì)。” 因此，在課堂中融入“數(shù)學(xué)證明”的目的在于改變數(shù)學(xué)教育只停留在知識(shí)技能層面的現(xiàn)狀，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解深入到思維、能力乃至精神層面，感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，在大膽猜想、勇于探究和嚴(yán)謹(jǐn)求證中不斷獲得推理能力、數(shù)學(xué)思維、創(chuàng)新精神以及理性精神，從而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2.“數(shù)學(xué)證明”的實(shí)踐價(jià)值

（1）有利于激發(fā)學(xué)生探秘?cái)?shù)學(xué)的內(nèi)在動(dòng)力

現(xiàn)代認(rèn)知學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，充分利用知識(shí)本身的一切能引起機(jī)體產(chǎn)生動(dòng)機(jī)性行為的外部刺激就是啟動(dòng)學(xué)生認(rèn)知學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)力，而“數(shù)學(xué)證明”就蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí)本身的“誘因”價(jià)值。

以“三角形的內(nèi)角和”教學(xué)為例，課始，教師發(fā)現(xiàn)絕大部分學(xué)生都知道了三角形的內(nèi)角和為180°，于是要求學(xué)生證明為何三角形的內(nèi)角和為180°。學(xué)生通過(guò)量角度、先撕再拼和折成長(zhǎng)方形來(lái)說(shuō)明三角形的內(nèi)角和是180°，與教材所給出的方法如出一轍。本以為證明過(guò)程就此結(jié)束，突然有位學(xué)生提出疑問(wèn)：“我也是撕和拼的，為何有的縫隙對(duì)不上，得出的角不像是180°的平角?！苯處煵](méi)有以“存在誤差”為理由搪塞過(guò)去，而是以此為契機(jī)，提出：“既然有誤差，那有沒(méi)有更有說(shuō)服力的證明方法呢？”學(xué)生冥思苦想后，得出以下方法：

①一個(gè)長(zhǎng)方形的四個(gè)角都是直角，所以長(zhǎng)方形的內(nèi)角和是360°;畫(huà)一條對(duì)角線，把長(zhǎng)方形分成兩個(gè)完 全一樣的三角形，那么一個(gè)三角形的內(nèi)角和就是180°。

②先畫(huà)一個(gè)三角形 ，然后把三角形慢慢“壓扁”，兩個(gè)底角就越來(lái)越小，慢慢接近0°，頂角越來(lái)越大，逐漸接近平角180°，所以三角形的內(nèi)角和是180°。

至此，學(xué)生大開(kāi)眼界，感悟到不同的證明方法，甚至極限思想，從而打開(kāi)了思維的閘門?？梢?jiàn)，“數(shù)學(xué)證明”可以直接驅(qū)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)，使學(xué)生變得積極、主動(dòng)，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣、動(dòng)機(jī)、品質(zhì)都會(huì)有積極影響。

（2）有利于學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)體系

課程標(biāo)準(zhǔn)要求數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中要注重學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程，而知識(shí)的學(xué)習(xí)其實(shí)是一個(gè)學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)體系的過(guò)程，“證明”亦是學(xué)習(xí)探索過(guò)程的一種，它能幫助學(xué)生探索知識(shí)本質(zhì)，是一種由表及里、由外而內(nèi)的學(xué)習(xí)過(guò)程。

以“兩位數(shù)加兩位數(shù)（進(jìn)位）”教學(xué)為例，大部分學(xué)生課前都已知曉或接觸過(guò)該計(jì)算方法，那整節(jié)課都用來(lái)訓(xùn)練鞏固計(jì)算方法？當(dāng)然不是，既然是進(jìn)位加法，那進(jìn)位“1”的重要性便不言而喻。教師給學(xué)生若干小棒、計(jì)數(shù)器等學(xué)具，讓學(xué)生自主證明進(jìn)位“1”的來(lái)歷，最終形成板書(shū)（如圖3）。學(xué)生在教師的引領(lǐng)下通過(guò)“擺小棒（10根小棒為一捆）”“撥計(jì)數(shù)器”“加法算式”三種方式去證明“滿十進(jìn)一”這個(gè)核心知識(shí)點(diǎn)。想必通過(guò)學(xué)生的自主操作、自主探索和自主證明，“滿十進(jìn)一”便不再是一句簡(jiǎn)單的口訣，學(xué)生也深刻理解了進(jìn)位“1”的來(lái)龍去脈。

雖然上述證明過(guò)程較為簡(jiǎn)單，但足以在低年級(jí)學(xué)生的心中埋下“證明”的種子，學(xué)生能通過(guò)操作、觀察去證明 “約定俗成”的口訣或計(jì)算方法，建構(gòu)知識(shí)體系，將浮于表面、需要記憶的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)化于心、融會(huì)貫通，此乃“證明”之妙處所在。

（3）有利于培養(yǎng)學(xué)生的理性精神

數(shù)學(xué)教育給學(xué)生留下的是什么？是概念、公式，還是某次考試？其實(shí)，重要的是用數(shù)學(xué)化的頭腦與眼光看待事物，以及思考問(wèn)題和觀察世界的能力。融入“證明”的教學(xué)就是讓學(xué)生在尋找理由和依據(jù)的過(guò)程中不斷進(jìn)行深入的思考，潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生的理性精神。

“籃球隊(duì)中小王身高約2米，小張身高約2.0米，2=2.0，所以他們兩人一樣高。你認(rèn)同么？”這是教學(xué)“小數(shù)的近似數(shù)”時(shí)教師拋出的一句話。某學(xué)生的表述令人眼前一亮：“雖然2和2.0的大小一樣，但都是近似數(shù)，所以取值范圍和精確度不同?！痹搶W(xué)生還利用數(shù)軸來(lái)佐證自己的想法（如圖4）。

數(shù)軸激活了學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和四舍五入取值經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生結(jié)合圖示證明自己的想法，直觀感受近似數(shù)2和2.0的取值差異。

看似平平無(wú)奇的一句話，看似兩個(gè)毫無(wú)差別的數(shù)據(jù)，從數(shù)學(xué)的角度看卻大有不同。通過(guò)“數(shù)學(xué)證明”，學(xué)生能夠認(rèn)真思考和判斷，能夠理性地看待問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)隱藏的數(shù)學(xué)秘密， 學(xué)生的理性精神得到充分的孕育。

三、實(shí)踐：“數(shù)學(xué)證明”助課堂的策略探究

1.深層剖析教材，發(fā)掘證明素材

數(shù)學(xué)自身的多元性使其具有豐富的證明素材。每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)背后都有可挖掘的證明價(jià)值，如基本的公式、定理、定律皆不是從天而降的，都是無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家經(jīng)過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明與思考凝練而成的智慧結(jié)晶。

例如，教學(xué)三角形的面積公式后，教師提出問(wèn)題：“還記得正方形面積計(jì)算的另一個(gè)公式‘對(duì)角線×對(duì)角線÷2嗎？能聯(lián)系今天所學(xué)，證明這個(gè)公式嗎？”學(xué)生思考后給出證明過(guò)程：將正方形分成兩個(gè)相等的三角形，其中一個(gè)三角形的底是一條對(duì)角線，高是另一條對(duì)角線的一半，所以一個(gè)三角形的面積就是“對(duì)角線×（對(duì)角線÷2）÷2”，正方形由兩個(gè)這樣的三角形組成，再把一個(gè)三角形的面積乘2就得到正方形的面積，“÷2”和“×2”抵消，最終得到這個(gè)正方形的面積公式“對(duì)角線×對(duì)角線÷2”。學(xué)生通過(guò)證明，加強(qiáng)了公式與公式之間的關(guān)聯(lián)，感受到每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)都不是孤立存在的，每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都有跡可循的。

這些素材雖然沒(méi)有完全呈現(xiàn)在教材當(dāng)中，但只要教師做個(gè)有心人，加強(qiáng)自身對(duì)于教材和知識(shí)的理解，打開(kāi)自己的數(shù)學(xué)視野，一定能二度開(kāi)發(fā)出教材中的價(jià)值。俗話說(shuō)：“巧婦難為無(wú)米之炊。”只有挖掘出不同類型的證明素材，才能在課堂教學(xué)中將它們有效激活，才能更有效地引領(lǐng)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

2.以錯(cuò)引措，以誤換悟

面對(duì)學(xué)生五花八門的錯(cuò)誤以及質(zhì)疑，教師該如何應(yīng)對(duì)？是呵斥？是置之不理？還是給予充分的回應(yīng)？其實(shí)，錯(cuò)誤和質(zhì)疑都是學(xué)生最原生態(tài)的思考痕跡，對(duì)其探索，定能體現(xiàn)出其中的價(jià)值。

對(duì)于計(jì)算題“1200÷（30+20）”，不少學(xué)生受乘法分配律的干擾，將計(jì)算過(guò)程寫(xiě)成“1200÷30+1200÷20=100”，他們會(huì)提出：“難道沒(méi)有除法分配律嗎？”教師隨即將問(wèn)題拋給學(xué)生：“有沒(méi)有除法分配律？能證明你的想法嗎？”不少學(xué)生采用列舉法證明，得到的結(jié)果卻是只有部分成立，他們自己也說(shuō)不清原因。有一位學(xué)生的證明方法特別新穎（如圖5）：第一幅圖里的寬相當(dāng)于是“公除數(shù)” ，第二幅圖雖然面積都是 20 平方厘米，但由于長(zhǎng)和寬各不相同，無(wú)法拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形， 此處相當(dāng)于用“公被除數(shù)”除以兩個(gè)寬的和，“公除數(shù)”可以像乘法分配律中的公因數(shù)一樣被提取出來(lái)，但“公被除數(shù)”是不能被提取出來(lái)的，所以第二種情況不成立。學(xué)生看了這個(gè)方法后恍然大悟、茅塞頓開(kāi)。

由此可見(jiàn)，教師不能避開(kāi)學(xué)生的想法，就知識(shí)教知識(shí)，要以學(xué)生的視角去對(duì)待他們的錯(cuò)誤與質(zhì)疑，從中挖掘有探索價(jià)值的想法。過(guò)程比結(jié)果更重要，學(xué)生在自主思考、自主證明的過(guò)程中能獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的感悟，能加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的理解。

3.探本溯源，突破界限

課堂教學(xué)首先要做的就是回歸知識(shí)的“源”點(diǎn)，讓學(xué)生通過(guò)“證明”找尋、感悟知識(shí)的本源 ，突破對(duì)原有知識(shí)淺層次的理解，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)知。

以“3的倍數(shù)特征”為例，學(xué)生通過(guò)列舉法很容易發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)有哪些特征，但當(dāng)教師提出“為什么3的倍數(shù)具有這樣的特征？”時(shí)，學(xué)生均陷入沉思，直到一位學(xué)生帶著自己的作品上臺(tái)講解：我把一個(gè)三位數(shù)abc改寫(xiě)成100a+10b+c，再改寫(xiě)成（99a+9b）+（a+b+c），這時(shí)候可以知道99和9都是3的倍數(shù)，那只要看a、b、c這幾個(gè)數(shù)的和是不是3的倍數(shù)就可以了，而這幾個(gè)數(shù)的和就是a+b+c，所以只要看幾個(gè)數(shù)位上的數(shù)的和是不是3的倍數(shù)就可以判斷這個(gè)數(shù)是不是3的倍數(shù)了。

如此，利用數(shù)學(xué)推理與證明，學(xué)生在重塑知識(shí)的過(guò)程中不斷探索，不但推開(kāi)原有的認(rèn)知“墻”，突破知識(shí)的界限，還在還原本質(zhì)中發(fā)現(xiàn)更大的世界。

4.多樣證明，活化認(rèn)知

獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的道路不止一條，正所謂“條條大路通羅馬”，“數(shù)學(xué)證明”亦是如此，教師要引導(dǎo)學(xué)生了解多種證明策略，領(lǐng)略“證明”之路的不同風(fēng)景。

對(duì)于“圓的面積”，教材中只編排了將圓轉(zhuǎn)化成近似長(zhǎng)方形的方法。筆者利用多媒體課件展示圓除了可以轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，還可以轉(zhuǎn)化成梯形和三角形（如圖6），以及可以將圓轉(zhuǎn)化成三角形（如圖7）。隨后通過(guò)演示讓學(xué)生理解圓的面積公式推導(dǎo)過(guò)程并不是單一的。

在課堂教學(xué)中，引領(lǐng)學(xué)生體會(huì)多樣的證明策略，學(xué)生在見(jiàn)識(shí)多種證明策略的過(guò)程中，擴(kuò)展和延伸自己的知識(shí)面，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵。這是一種從“一”到“多”的思維沖擊。

（責(zé)編 金 鈴）