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        “找次品”問題的再研究

        2021-11-28 10:46:53陳海飛
        關(guān)鍵詞:分組次數(shù)

        陳海飛

        [摘 要]“找次品”是人教版教材五年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)廣角的內(nèi)容,和“打電話”一樣,屬于解題策略和方案優(yōu)化問題,這類問題具有強(qiáng)烈而明顯的操作性和實(shí)踐性,需要通過實(shí)踐探究總結(jié)出一般策略,進(jìn)而建立一般的解題模型。

        [關(guān)鍵詞]找次品;輕重;至少;次數(shù);分組

        [中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068(2021)32-0029-02

        有一篇論文(以下稱“論文A”)分析了一道關(guān)于找次品的練習(xí)題:“一批產(chǎn)品共有6件,其中1件是次品,從外觀上無法分辨,只有質(zhì)量略有差異,如何找出次品?用天平稱,至少稱幾次能確保找出次品?”并提出“一般通過分一分、稱一稱、找一找三個(gè)步驟,至少稱4次能確保找出次品”。文章作者還引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想“正常情況下,如果提前告知次品是重于或輕于正品,產(chǎn)品數(shù)量介于3[n-1]與3[n]之間,能確保找出次品的最少稱量次數(shù)就是n”,并在后文中驗(yàn)證了這個(gè)猜想,形成結(jié)論。

        一、觀點(diǎn)對(duì)撞

        而另一篇論文(以下稱“論文B”)則對(duì)論文A的結(jié)論予以駁斥,它不僅以檢測有1件次品的4件產(chǎn)品為例來反駁,還以有1件次品的14件產(chǎn)品為例,詳述了在不知道次品與正品誰輕誰重的前提下,找出次品的一般流程。按論文B的論述,當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量為14時(shí),至少稱5次才可以確保找出次品。論文B還論證了3~76件產(chǎn)品找次品(不知次品與正品誰輕誰重)的檢測流程,并歸納出一般公式:當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量大于6時(shí),產(chǎn)品數(shù)量與找出次品所需的最少稱量次數(shù)存在這樣的數(shù)量關(guān)系:當(dāng)2[n-1]< [產(chǎn)品數(shù)量-49] <[2n]時(shí),能確保找出次品的最少稱量次數(shù)是(n+4)次。

        例如:在不知道次品與正品誰輕誰重時(shí),如果產(chǎn)品數(shù)量為9,由于[9-49] = [59],2[-1]< [59] <[20],0+4=4,那么能確保找出次品的最少稱量次數(shù)是4;如果產(chǎn)品數(shù)量為14,由于[14-49] = [109],2[0] <[109] <[21],1+4=5,那么能確保找出次品的最少稱量次數(shù)為5。

        筆者對(duì)論文B的結(jié)論持保留意見。下面,筆者同樣以14件產(chǎn)品為例來闡述個(gè)人意見。筆者的操作方法是:

        首先把14件產(chǎn)品隨機(jī)編號(hào)為1~14,然后按照編號(hào)分成三組:a1組為1~5號(hào),b1組為6~10號(hào),c1組為11~14號(hào)。第一次稱a1、b1兩組,可能出現(xiàn)兩種結(jié)果。

        (1)天平平衡。那么次品在c1組中,第二次可以稱11號(hào)和12號(hào),也可能有兩種結(jié)果。①天平平衡,則次品必然是13號(hào)或14號(hào)。第三次可以稱11號(hào)(已證實(shí)為正品)和13號(hào),若天平平衡,則次品是14號(hào);若天平傾斜,則次品是13號(hào)。②天平傾斜,則次品不是11號(hào)就是12號(hào),13號(hào)和14號(hào)必為正品。第三次可以稱11號(hào)和13號(hào),若天平平衡,則次品必是12號(hào);若天平傾斜,則11號(hào)為次品。

        (2)天平傾斜。則次品在a1、b1兩組的某一組中,不妨將這兩組產(chǎn)品混合,再分為(3,3,4)三組,第二次稱(3,3)兩組,也可能有兩種結(jié)果。①天平平衡,則次品在“4”組中,按4件產(chǎn)品找次品的步驟,至少稱2次能確保找出次品。因此,至少要稱4次。②天平傾斜(假設(shè)左“3”組重于右“3”組),則次品必然在這兩組中,第三次則可在“4”組中取出3件產(chǎn)品與左“3”組對(duì)比稱量。若天平平衡,則次品必然在右“3”組中,同時(shí)可以推知次品偏輕,那么第四次可在右“3”組中任取2件產(chǎn)品對(duì)比稱量,若天平平衡,則沒放到天平上的那件為次品;若天平傾斜,則較輕的那件是次品。若天平傾斜,則次品在左“3”組中,同時(shí)推知次品重于正品,那么第四次可在左“3”組中任取2件對(duì)比稱量,若天平平衡,則次品是沒放到天平上的那件;若天平傾斜,則較重那件是次品。

        二、操作驗(yàn)證

        通過上述操作方法可知,當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量為14時(shí),至少稱4次即可確保找出次品,并非論文B中所說的5次。由此可見,論文B也有漏洞。那么在一批產(chǎn)品中,當(dāng)不知次品比正品輕還是重時(shí)(只含1件次品),如何盡快找出它呢?筆者以為仍需降低層級(jí),從最簡單的情況開始考慮。為敘述方便,設(shè)產(chǎn)品數(shù)量為n,依次編號(hào)為1~n,按照編號(hào)分為a2、b2、c2三組。

        1.當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量為3時(shí),需稱2次。操作如下:

        第一次,稱1號(hào)和2號(hào)。(1)天平平衡,則3號(hào)必然是次品。(2)天平傾斜,則第二次稱1號(hào)和3號(hào)(確認(rèn)為正品),若天平平衡,則2號(hào)是次品;若天平傾斜,則1號(hào)是次品。

        2.當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量為4時(shí),至少稱2次。操作如下:

        第一次,稱1號(hào)和2號(hào)。(1)天平平衡,則次品為3號(hào)或4號(hào),第二次稱1號(hào)和3號(hào)。若天平平衡,則可以確定4號(hào)為次品;若天平傾斜,則3號(hào)定為次品。(2)天平傾斜,則次品為1號(hào)或2號(hào),第二次稱1號(hào)和3號(hào),若天平平衡,則可推知2號(hào)為次品;若天平傾斜,則1號(hào)為次品。

        3.當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量為5時(shí),至少稱3次。操作如下:

        把5件產(chǎn)品分成(2,2,1)三組,先稱(2,2)兩組。(1)天平平衡,則直接確認(rèn)5號(hào)是次品。(2)天平傾斜,則次品在(2,2)兩組中,再按4件產(chǎn)品找次品的步驟來處理,至少還需稱2次,一共是3次。

        4.當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量為6時(shí),至少稱3次。操作如下:

        把6件產(chǎn)品分成(2,2,2)三組,然后稱前(2,2)兩組。(1)天平平衡,則判斷次品為5號(hào)或6號(hào)。再稱1號(hào)和5號(hào),若天平平衡,則判斷6號(hào)為次品;若天平傾斜,則5號(hào)為次品。(2)天平傾斜,則次品在前(2,2)兩組中,再按4件產(chǎn)品找次品的步驟操作,至少還需稱2次,一共是3次。

        5.當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量為7~10時(shí),也至少需稱3次。具體操作略。

        這也說明,論文B中,產(chǎn)品數(shù)量為9時(shí)至少稱4次才能確保找到次品的結(jié)論是錯(cuò)誤的。

        三、原理探索

        筆者通過大量操作驗(yàn)證得出一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

        從上表可以看出,當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量大于2,且不知道次品與正品誰輕誰重時(shí),產(chǎn)品數(shù)量與確保找到次品至少要稱的次數(shù)存在這樣的數(shù)量關(guān)系:當(dāng)[3n]+1<產(chǎn)品數(shù)量≤[3n+1]+ 1時(shí),至少稱(n+2)次可以保證找到次品。例如當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量為4時(shí),由于[30]+1<4≤[31]+ 1,即n =0,所以至少要稱0+2=2(次)。又如當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量為14時(shí),由于[32]+1<14≤[33]+ 1,即n=2,所以至少要稱2+2=4(次)。

        筆者在操作實(shí)踐后發(fā)現(xiàn),在不知次品與正品誰輕誰重時(shí),為了盡快找出次品,分組很關(guān)鍵,分組和操作時(shí)應(yīng)遵循如下原則:

        一是盡量將產(chǎn)品平分成三組(a、b、c),如果實(shí)在無法平分成三組,至少要保證其中兩組(a組與b組)的產(chǎn)品數(shù)量相等,且c組的產(chǎn)品數(shù)量與它們的相差1,第一次稱時(shí)選擇a、b兩組。

        二是當(dāng)[3n]+1<產(chǎn)品數(shù)量≤[3n+1]+1時(shí),a(b)組的產(chǎn)品數(shù)量≤[3n],且c組的產(chǎn)品數(shù)量≤[3n]+1。例如當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量是5~10時(shí),由于[31]+1<產(chǎn)品數(shù)量≤[31+1]+1,即n =1,所以a、b兩組的產(chǎn)品數(shù)量不超過3([31]),同時(shí)c組的產(chǎn)品數(shù)量不超過4([31]+1),這樣首次稱量時(shí),若天平平衡,則次品范圍可以縮小到c組中。由于c組的產(chǎn)品數(shù)量≤[3n]+ 1,所以至少稱(n + 1)次即可找出次品。還是以產(chǎn)品數(shù)量是5~10時(shí)為例,由于 [31]+1<產(chǎn)品數(shù)量≤[31+1]+ 1,即n=1,所以a、b兩組的產(chǎn)品數(shù)量不多于3([31]),同時(shí)c組的產(chǎn)品數(shù)量不超過4([31]+1)。

        當(dāng)稱a、b兩組時(shí),若天平平衡,那么次品可以鎖定在c組中,因?yàn)閏組的產(chǎn)品數(shù)量不超過4,所以找出次品要稱的次數(shù)不超過2次,總次數(shù)也不超過3次。

        三是考慮到如果首次稱量時(shí)天平傾斜,則次品在a、b兩組中,所以在分組時(shí)還應(yīng)考慮到二次稱量后確定次品所在組別,同時(shí)還應(yīng)能夠判斷出次品是輕于還是重于正品。例如產(chǎn)品數(shù)量為70時(shí),若分成(20,20,30)三組,當(dāng)(20,20)組平衡時(shí),次品在30件組中。由于30>28,根據(jù)前述理論可知,在不知道次品是輕于還是重于正品的情況下,30件產(chǎn)品無法稱4次保證找到次品;若分成(25,25,20)三組時(shí),在稱(25,25)組傾斜后,鎖定次品在這兩組產(chǎn)品共50件中,第二次無論怎么稱,既無法確定次品在a組還是在b組,也無法獲知次品是輕于還是重于正品,這樣對(duì)于50件產(chǎn)品,同樣無法保證在4次稱量內(nèi)找出次品。而如果分成(21,21,28)三組,若天平平衡,則次品在c組的28件產(chǎn)品中,按前述理論稱4次即可找出次品;若天平傾斜,則次品在a、b兩組的某一組中,記住a、b傾斜的情況,第二次在c組中取21件產(chǎn)品與a組對(duì)比稱量,即可判斷出次品所在組別,并確定次品是輕于還是重于正品,按理論已知次品輕或重于正品的前提下,21件產(chǎn)品只需稱3次即可找出次品,共5次即可找出次品。根據(jù)上述原則,分成(22,22,26)三組或(23,23,24)三組,同樣稱5次即可保證找出次品。

        (責(zé)編 吳美玲)

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