蔡晶晶

摘 要：通過具體教學案例，探討單元整體教學設(shè)計的理念和策略，既關(guān)注知識目標和技能目標的達成，也關(guān)注數(shù)學思想、核心素養(yǎng)這些高層次目標的達成。

關(guān)鍵詞：單元整體;教學設(shè)計;核心素養(yǎng);基本不等式

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》突出函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學建模活動與數(shù)學探究活動四條主線，凸顯數(shù)學的內(nèi)在邏輯和思想方法，關(guān)注數(shù)學邏輯體系、內(nèi)容主線、知識之間的關(guān)聯(lián)，提倡單元整體教學設(shè)計。單元整體教學設(shè)計將各個相互聯(lián)系、相互作用的若干環(huán)節(jié)有機融合成一個整體，以數(shù)學六大核心素養(yǎng)為綱領(lǐng)，整合優(yōu)化教學內(nèi)容體系，選擇恰當?shù)恼w教學策略，使點狀的知識得以結(jié)構(gòu)化、整體化，讓單一的數(shù)學思想方法和數(shù)學核心素養(yǎng)得到系統(tǒng)化建構(gòu)和持續(xù)性培養(yǎng)。本文以人教A版《普通高中教科書·數(shù)學1（2019年版）》中的2.2“基本不等式”（2課時）的單元教學設(shè)計為例，進行整理與思考，與同行交流。

一、創(chuàng)設(shè)情境

在前面研究不等式性質(zhì)中，我們發(fā)現(xiàn)：第24屆國際數(shù)學家大會會標（根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設(shè)計）抽象得出的圖形中，四個小直角三角形的面積之和與大正方形ABCD的面積，大小關(guān)系如何？請用數(shù)學式子表示。

追問：a，b滿足什么條件時等號成立？如何利用代數(shù)方法證明這個不等式？

[設(shè)計意圖]：通過對兩部分面積的比較，幫助學生從直觀上理解基本不等式的一種變形形式，為接下來利用換元法推導出基本不等式作鋪墊。最后利用完全平方公式證明上述不等式，體現(xiàn)了數(shù)學知識之間的聯(lián)系。

探究一：令a，b>0，用和分別代替不等式里的a，b，可以得到什么結(jié)論？

[設(shè)計意圖]：利用換元法，推導出基本不等式，把基本不等式與完全平方公式建立聯(lián)系，并利用不等式性質(zhì)進行證明，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想。

二、深化認識

探究二：我們還可以怎樣證明基本不等式？

追問：分析法證明命題的思路是什么？格式是什么？

[設(shè)計意圖]：利用分析法“執(zhí)果索因”，讓學生對基本不等式有更深刻認識，并通過典型案例理解分析法，為高中階段的推理與證明提供更豐富策略。

三、理解升華

探究三：如上圖，AB是圓O的直徑，點C是AB上一點，AC=a，BC=b，。如何利用這個幾何圖形證明基本不等式？

[設(shè)計意圖]：借助學生熟知的幾何圖形，引導學生將和與圖中的幾何線段聯(lián)系起來，從而得到基本不等式的幾何解釋：圓的半徑不小于半弦（即圓的直徑是最長的弦），通過數(shù)形結(jié)合賦予基本不等式幾何直觀形象。同時借助信息技術(shù)，展示點C在直徑AB上移動的過程，體會基本不等式中蘊含的“等式”與“不等式”的內(nèi)在聯(lián)系。

四、歸納提升

層次1：理解基本不等式的背景及其變式

（1）基本不等式的代數(shù)解釋：我們把叫作兩個正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，叫作兩個正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)，則基本不等式可表示為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

（2）基本不等式的幾何解釋：令AC=a，BC=b，則CD≤OD，即（當且僅當a=b時等號成立）。

（3）基本不等式的變形形式：

引申結(jié)論：（當且僅當a=b時等號成立）。

層次2：注意基本不等式求最值的條件

學生在運用基本不等式求最值時，經(jīng)常會忽略“一正、二定、三相等”這一前提條件，其中“一正”是指“正數(shù)”（a，b>0）;“二定”是指“定值”（若ab為定值，則有最小值;若為定值，則ab有最大值）;“三相等”是指“相等”（等號成立的條件是a=b）。

例1：已知x>0，求的最小值。

追問1：“求的最小值”的含義是什么？

追問2：所求代數(shù)式與基本不等式在形式上有何聯(lián)系？如何求的最小值？

變式1：已知x>0，求的最小值。

變式2：已知x>1，求的最小值。

[設(shè)計意圖]：利用基本不等式求最值問題，需要從所求代數(shù)式與基本不等式在形式上的聯(lián)系入手，必要時還可對代數(shù)式進行適當變形，使之符合“一正、二定、三相等”的形式。

例2.已知a，b>0，且，求a+b的最小值。

追問1：請觀察以下解法是否正確？并說明你的理由。

解：由（a，b>0）得：，又∴a+b的最小值為12。

錯誤原因：兩個等號不能同時成立。

追問2：請觀察已知等式與所求代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，思考本題正確解法。

法一（“1”的代換）：由a，b>0，且得：

（當且僅當即a=4，b=12時取到等號）。

法二（配湊法）：由得（a-1）（b-1）=9，又a，b>0∴0<<1，0<<1，即a>1，b>9∴a-1>0，b-9>0

（當且僅當a-1=b-9即a=4，b=12時取到等號）。

法三（消元法）：由（a，b>0）得：>0，a>1

（當且僅當即a=4，b=12時取到等號）。

變式：已知a，b>0，且a+b=4，求的最小值。

[設(shè)計意圖]：本題解題方法多樣，不過最常用的當屬“1”的代換。有時和不一定為“1”，還需加以變形，利用化歸思想，實現(xiàn)舉一反三。

層次3：掌握基本不等式的運用技巧

例3：已知x，y>0，求證：

（1）如果積xy等于定值p，那么當x=y時，和x+y有最小值;

（2）如果和x+y等于定值S，那么當x=y時，積xy有最大值。

追問：利用基本不等式可以解決哪兩類最值問題？

變式：已知0<x<1，求y=x（1-x）的最大值。

[設(shè)計意圖]：讓學生體會到利用基本不等式可以解決兩類最值問題：“積定和最小，和定積最大”，為后續(xù)實際應(yīng)用埋下伏筆。

層次4：掌握基本不等式的實際應(yīng)用

例4：（1）用籬笆圍一個面積為100m2的矩形菜園，當矩形的邊長為多少時，所用籬笆最短？最短長度是多少？（2）用一段長為36m的籬笆圍一個矩形菜園，當矩形的邊長為多少時，菜園面積最大？最大面積是多少？

追問：如何把本例加以簡化，轉(zhuǎn)化為上述兩種模型求解？

[設(shè)計意圖]：可將例4簡化為：（1）已知矩形的面積為定值，長與寬分別取何值時周長最短？（2）已知矩形的周長為定值，長與寬分別取何值時面積最大？從而轉(zhuǎn)化為“積定和最小，和定積最大”進行求解，發(fā)展學生的數(shù)學建模能力，體會數(shù)學在生活中的應(yīng)用價值。

例5：某工廠要建造一個長方形無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m.如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，那么怎樣設(shè)計水池能使總造價最低？最低總造價是多少？

追問1：如何求水池的總造價？（設(shè)池底相鄰兩邊的邊長分別為xm，ym，水池的總造價為z元）

追問2：如何把本例轉(zhuǎn)化為基本不等式運用的常見模型求解？

[設(shè)計意圖]：本題背景更加復雜，要對實際問題加以提煉，轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型：“已知xy=1600，x，y取何值時，最小”，從而利用“積定和最小”求解，引導學生用數(shù)學的思維思考世界，用數(shù)學的語言表達世界。

變式：（P48練習第2題）用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m.當這個矩形的邊長為多少時，菜園面積最大？最大面積是多少？

[總結(jié)提升]：

引導學生回顧本單元內(nèi)容，回答下列問題：通過本節(jié)課，你學到了哪些知識？掌握了哪些方法？體會到哪些思想？

單元整體教學設(shè)計整合了教學內(nèi)容，教學要素，教學目標，教學流程與教學評價和反思，是一個有機的整體。整體中的各部分，層層遞進，相互作用，在具體實踐中要從整體把握、整體優(yōu)化、整體設(shè)計、整體推進四個方面展開。本節(jié)課正是從培養(yǎng)學生的抽象思維和邏輯思維入手，通過多層次、多角度挖掘內(nèi)涵，達到對基本不等式的熟練掌握，有利于學生直觀想象、抽象概括、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)的達成。

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[S].人民教育出版社.2017

本文系福建省基礎(chǔ)教育課程教學研究2019年度立項課題《素養(yǎng)導向的高中數(shù)學單元整體教學設(shè)計實踐研究》（課題編號：MJYKT2019-083）的階段性研究成果，也系福建省教育科學“十三五”規(guī)劃2019年度立項課題《整體性數(shù)學思維培育下的教學案例研究》（課題編號：FJJKXB19-905）的階段性研究成果