朱伯舉

【摘要】廣東試行的“3+1+2”新高考模式后，選考物理與選考?xì)v史的學(xué)生在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中要面臨相同的內(nèi)容.從高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的視角來看，兩類學(xué)生的培養(yǎng)目標(biāo)也是基本一致的.本文主要通過課堂教學(xué)片段，探討廣東“3+1+2”新高考模式下物理類與歷史類學(xué)生數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的異同.

【關(guān)鍵詞】新高考;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);同課異構(gòu)

本文討論的“同課異構(gòu)”與傳統(tǒng)意義上的“同課異構(gòu)”不太一樣，本文的“同課異構(gòu)”是指在廣東“3+1+2”新高考模式下，在面對(duì)相同的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的情況下，在相同的高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)下，教師針對(duì)選考物理與選考?xì)v史的兩類學(xué)生的特點(diǎn)對(duì)課堂教學(xué)進(jìn)行“同課異構(gòu)”，使教學(xué)達(dá)到殊途同歸的效果.筆者認(rèn)為，在當(dāng)前新高考模式下，這是值得我們思考的一個(gè)問題.下面筆者以高中數(shù)學(xué)必修5第二章第3.3節(jié)“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”中的兩個(gè)教學(xué)片段為例，淺談一些想法.

【片段一】

根據(jù)課本中“國際象棋”問題進(jìn)行情境創(chuàng)設(shè)，我們得到：

1+2+22+…+263.（1）

師：這是一個(gè)等比數(shù)列求和問題，解決等比數(shù)列求和問題時(shí)能不能利用公式來解決呢？公式如何推導(dǎo)？

師：推導(dǎo)公式前，我們先看如下問題.棋盤的64個(gè)方格上，第1格放2粒小麥，第2格放4粒，第3格放8粒，往后每一格放小麥的數(shù)量都是前一格的2倍，直到第64格，現(xiàn)在要多少粒小麥？

很多同學(xué)不約而同地寫出：2+22+23+…+264.（2）

師：現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)一起觀察式子（1）與（2），它們有什么特點(diǎn)與聯(lián)系？

師：這兩個(gè)式子都是項(xiàng)數(shù)為64項(xiàng)而且公比為2的等比數(shù)列的和，而且（2）式是（1）式的2倍.我們

記：S=1+2+22+…+263，（3）

則2S=2+22+23+…+264.（4）

現(xiàn)在相當(dāng)于利用上面兩個(gè)方程求S，你有什么好的辦法嗎？

不難想到，（4）-（3），得S=264-1.

師：（4）式中的第1項(xiàng)到第63項(xiàng)分別是（3）式中的第2項(xiàng)到第64項(xiàng)，兩式相減，這些項(xiàng)都抵消了，這里體現(xiàn)了方程思想.

師：再看如下問題，棋盤的64個(gè)方格上，第一格放1粒小麥，第二格放q粒，第三格放q2粒，往后每一格放小麥的數(shù)量都是前一格的q倍，直至第64格，這回需要多少粒小麥？

有了前面的鋪墊，不少學(xué)生都會(huì)得到下面的過程和結(jié)果：

S=1+q+q2+…+q63，（5）

qS=q+q2+…+q63+q64，（6）

由（5）-（6），得（1-q）S=1-q64，即S=1-q641-q.

類比前面的方法，我們很容易求出了（5）式的值，其思想也是構(gòu)造出一個(gè)（6）式，然后錯(cuò)位相減.但是要注意一點(diǎn)：q=1這一特殊情況對(duì)于S=1-q641-q是否也適用？該如何解決該問題？

學(xué)生通過討論得出：當(dāng)q≠1時(shí)，S=1-q641-q;當(dāng)q=1時(shí)，該數(shù)列為常數(shù)列，S=64.

上面求等比數(shù)列的和的方法其實(shí)就是“錯(cuò)位相減法”.筆者在滲透類比思想時(shí)提出以下問題：

設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則Sn=a1+a2+a3+…+an，那么Sn的公式怎么推導(dǎo)？上面所用的“錯(cuò)位相減法”對(duì)你是否有所啟發(fā)？

在上面的引導(dǎo)下，不少學(xué)生完成了以下推導(dǎo)：

Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，（7）

qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn，（8）

（7）-（8），得（1-q）Sn=a1-a1qn.

再討論q是否等于1：當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=a1-a1qn1-q;當(dāng)q=1時(shí)，該數(shù)列為常數(shù)列，S=na1.至此基本完成了等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo).

片段一通過問題的改編，給了學(xué)生一個(gè)解決問題的階梯，或者說向?qū)W生滲透了一種解決問題的方法——類比法.

【片段二】

采用與片段一相同的情境創(chuàng)設(shè)，得到

1+2+22+…+263.（9）

師：這是一個(gè)等比數(shù)列求和問題.設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則Sn=a1+a2+a3+…+an，請(qǐng)?zhí)骄縎n怎么求.

該片段直接從解決問題的本質(zhì)出發(fā)：如何解決一般的等比數(shù)列求和問題？為了引導(dǎo)學(xué)生思考，筆者設(shè)置了如下思考問題.

（1）回顧等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法（倒序相加求和），它能用來推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式嗎？

（2）已知Sn=11×2+12×3+13×4+…+1n（n+1），求Sn.

這是“等差數(shù)列求和”一課的課后練習(xí)題目，采用的方法是“裂項(xiàng)相消法”.

通過上面兩個(gè)問題，可以看出，求和的本質(zhì)就是利用數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征或者利用數(shù)列的性質(zhì)減少項(xiàng)數(shù)，從而達(dá)到化簡(jiǎn)的目的，這是思考等比數(shù)列求和公式的一個(gè)方向.故教師可以引領(lǐng)學(xué)生從解決數(shù)列求和問題的本質(zhì)出發(fā)：消除差異，減少項(xiàng)數(shù)，而要做到這一點(diǎn)，就要充分利用數(shù)列項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征或者數(shù)列本身的性質(zhì).學(xué)生領(lǐng)悟到這一點(diǎn)后，教師從旁給予適當(dāng)引導(dǎo)，可能出現(xiàn)以下的解法.

解法一：“錯(cuò)位相減法”

根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1qn-1，得

Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，（10）

qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn，（11）

（10）-（11），得（1-q）Sn=a1-a1qn.

再引導(dǎo)學(xué)生，討論q是否等于1，可得：當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=a1-a1qn1-q;當(dāng)q=1時(shí)，該數(shù)列為常數(shù)列，S=na1.