汪蕾

摘 要：數(shù)概念是數(shù)學學習中的基礎部分，而數(shù)概念的教學中，計數(shù)單位的教學是重要的一環(huán)。計數(shù)單位的教學關乎學生學習數(shù)的認識、數(shù)的運算等部分知識，想要讓學生理解計數(shù)單位的概念，教師首先要弄清計數(shù)單位的本質。低段教學中可以利用小棒、計數(shù)器、畫圖等多種表征幫助學生建立計數(shù)單位的概念，高段利用計數(shù)單位的概念，將數(shù)結構化，從而推進計算教學，全面扎實掌握數(shù)概念。

關鍵詞：數(shù)概念;數(shù)學教學;計數(shù)單位

一、低段——多元表征，感受數(shù)是“壘”起來的

學生在系統(tǒng)地認識數(shù)概念之前，對數(shù)的認識是松散的，他們認為一個數(shù)就是一個整體，而教師則需在教學活動中，利用多元表征幫助學生直觀感受到數(shù)是由若干個不同的計數(shù)單位“壘”起來的，這一點在教材的編排中有很多體現(xiàn)。

（一）用小棒、圖形、珠子等擺數(shù)

一年級上冊《1—5的認識》，這是學生認識數(shù)的第一課，除了數(shù)的讀寫，最重要的學習活動是用小棒、圓片、珠子等物品擺出1—5。

以5為例：學生擺出5根小棒：│││││。學生擺出5個圓片：○○○○○。

通過擺一擺的數(shù)學活動，5被分解并直觀地呈現(xiàn)在學生眼前，這5根小棒、5個圓片清晰地呈現(xiàn)出5里面有“5個一”，學生對“一”這個計數(shù)單位產(chǎn)生感性認識。這個階段，擺一擺和數(shù)一數(shù)的過程都讓學生模糊地感受到數(shù)是一個一個“壘”起來的。

一年級上冊《6—10的認識》，本單元中安排了這樣的圓點圖。在一個最多可容納10個圓點的框中，一個一個增加圓點，這是計數(shù)單位“一”不斷累加，得到1個“十”的過程，是對“十”作為計數(shù)單位的有意滲透。教師應當在教學時用好這組圖，幫助學生認識“十”這個計數(shù)單位。

（二）用計數(shù)器撥數(shù)

一年級上冊《11—12各數(shù)的認識》，教材的安排很有梯度。例1第一次出現(xiàn)“一”和“十”這兩個計數(shù)單位的名稱，并且用“將10根散放的小棒捆成一捆”這樣分步驟的呈現(xiàn)，展示了計數(shù)單位“一”與“十”之間的關系：10個一是1個十?！袄Α痹谶@里是十分重要的動作，后續(xù)還有將10個十捆成1個百、將10個百捆成1個千，這其中隱含的是“滿十進一”的十進制思想。

例3第一次出現(xiàn)了計數(shù)器，將兩位數(shù)的計數(shù)和記數(shù)方法進行了完整的表述。例題的圖中將一捆小棒轉化成十位上的一顆珠子，11的表征發(fā)生變化：1捆小棒+1根小棒→2顆珠子：十位上1顆，個位上1顆。

這里需要將兩顆珠子進行對比：它們所在的位置不同，表示的意義也不同，十位上的1顆珠子代表1個十，個位上的1顆珠子代表1個一。對于一年級學生來說，他們認為的十幾是一個整體，現(xiàn)在要一下子把一個整體調整成兩個部分：“十”和“幾”，學生往往不明所以。因此，教學中要實實在在地操作，將算理講透，讓學生真切地感受如此操作帶來的便利，并在后續(xù)的學習中逐步感悟計數(shù)單位。

（三）在白紙上畫數(shù)

一年級下冊《100以內數(shù)的認識》，用小棒表征數(shù)直觀具象，能夠清晰地向學生展示10個十是一百的過程，容易理解。當出現(xiàn)計數(shù)器，數(shù)概念十分抽象，是基于學生認識計數(shù)單位十的經(jīng)驗上進行教學的。那么，除了擺小棒、擺圓片、撥計數(shù)器，還有沒有別的方式表征100以內的數(shù)？筆者給學生布置了一個數(shù)學作業(yè)，“用你喜歡的方法畫出100以內你最喜歡的數(shù)”，收到了許多作品。

類型一：畫出所有的個數(shù)。如分別表示23和82，他們畫出了所有的個數(shù)，但不雜亂，說明他們已經(jīng)掌握了10個一是十的概念。類型二：用計數(shù)器表征。三位學生表示的分別是95、100、100，但最后一個學生在十位上畫了10個珠子，說明他對“10個十是一百”這個概念還沒吸收，計數(shù)單位只有一和十，還沒有擴展到百。類型三：用不同圖形表示不同的計數(shù)單位。如分別表示75、95、99，他們用不同長度的線段、不同大小的圓圈、不同圖形區(qū)分不同的計數(shù)單位。如果學生能用這樣的方式表征數(shù)，說明他們已經(jīng)對計數(shù)單位有了全面認識，知道數(shù)是若干個計數(shù)單位的累加，并能進行應用。類型四：沒有形成計數(shù)單位的概念。學生有以群計數(shù)的意識，但沒有形成用計數(shù)單位計數(shù)的概念，可能是被教學活動中的“兩個兩個數(shù)”“五個五個數(shù)”等各種數(shù)法負遷移，這其中的“兩個”“五個”并等同于計數(shù)單位，計數(shù)單位只在計數(shù)和計算中才有體現(xiàn)。部分學生已掌握了計數(shù)單位“十”，但還沒有形成計數(shù)單位“百”的概念。對于這樣的情況，計數(shù)單位的教學還需要加強。

二年級上冊《千以內數(shù)的認識》的教學中，教師還是應當利用多元表征，幫助學生理解計數(shù)單位的概念，讓學生感受到數(shù)是一個一個累加起來的，湊足10個小計數(shù)單位就能換一個更大的計數(shù)單位，如果前序的計數(shù)單位和十進教學不到位，勢必影響后續(xù)小數(shù)的認識。

二、高段——逐步抽象，感受數(shù)的“結構化”

十進制使用了10個不同的數(shù)字符號，它的底數(shù)是10，特點是滿十進一，按照位值原則，從右邊起第一位上的計數(shù)單位是“一”，是10的0次冪;第二位上的計數(shù)單位是“一”的10倍;第三位上的計數(shù)單位是“一”的102倍……因此，任何一個十進數(shù)都可以寫成各個數(shù)位上的數(shù)與它所在的計數(shù)單位（10的冪）之積的和的形式。

（一）從“結構化”的角度認數(shù)

大數(shù)的認識中，如果用小棒、小方塊等物品表征數(shù)量會過于龐大，不容易觀察，一般使用計數(shù)器。計數(shù)器是邏輯結構化的學具，能很好地體現(xiàn)位值原則，而學生的思維也具備了抽象的能力，這時候教師要引導學生從“結構化”的角度去認識數(shù)：所有的自然數(shù)都可以看成是若干個計數(shù)單位的累加組合，計數(shù)單位擴展到億級后依然遵循這個規(guī)律。因此，如269是由2個百、6個十、9個一組合而成的。又如800502604是由8個億、5個十萬、2個千、6個百、4個一組成的。不同的組合產(chǎn)生不同的數(shù)，數(shù)的不同僅僅是因為每個計數(shù)單位的個數(shù)發(fā)生了變化，每個數(shù)都有其唯一性，讓學生產(chǎn)生對數(shù)的整體結構把握的意識。

小數(shù)的計數(shù)原則跟整數(shù)一樣，是十進制：10個0.001是0.01，10個0.01是0.1。有整數(shù)的學習經(jīng)驗，學小數(shù)比較容易。教學中教師不要過分強調生活情境，要有計數(shù)單位的適時抽象，如2.73元、2.73米的7表示什么？會有很多學生認為7表示7角、表示7分米，雖然兩者的理解都對，但無論從數(shù)學知識的抽象程度，還是對學習后續(xù)知識的影響上看，教師都應當向計數(shù)單位方向引導。

課例《小數(shù)的意義》：教師由0.5元介入，引導學生思考數(shù)量間的關系，得到將1元平均分成10份，其中5份就是5 / 10元，即0.5元。

師：如果去掉單位“元”，0.5是什么意思？

生：5/10。

教師出示圖片，引導學生找到0.5、0.6、0.4、0.1……

師：這樣的小數(shù)都叫“一位小數(shù)”。這些小數(shù)中哪個更重要？

生：0.1，因為0.5、0.6都是由幾個0.1組成的。

師：他說0.5是由0.1一個一個壘起來組成的，一起數(shù)數(shù)0.5里面有幾個0.1。

生齊數(shù)：1個0.1，2個0.1，3個0.1，4個0.1，5個0.1。

師：0.5真的是由0.1壘起來的，壘了6次就是0.6，壘了4次就是0.4。你們一下子就抓住了一位小數(shù)的關鍵——0.1！是啊，0.1就是一位小數(shù)的計數(shù)單位。

以上課例中，教師雖然用人民幣引入，但很快去掉生活情境，直接研究分數(shù)與小數(shù)之間的聯(lián)系，簡單又有效，之后又幫助學生快速、準確地找到一位小數(shù)的計數(shù)單位0.1，并形象地描述為一位小數(shù)都是由0.1壘起來的，抓住了問題的本質。

（二）從“結構化”的角度計算

既然所有的數(shù)是結構化的，那么數(shù)的計算也要從結構化的角度進行教學。小學階段的計算有加減乘除四種類型，包含整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)，但無論哪一種都是以計數(shù)單位為核心。加減法的核心是相同計數(shù)單位相加減，因此在筆算中會有“數(shù)位對齊”這個規(guī)定，這是“相同計數(shù)單位相加減”這個核心的外顯。當學生理解這個核心，所有的整數(shù)、小數(shù)加減法的計算方法都能夠很好地掌握。

在四年級下冊《小數(shù)的加法和減法》中出現(xiàn)會0.32+0.2=0.34這種錯誤，其癥結是學生將整數(shù)加減法中筆算的“數(shù)位對齊”誤認為“末位對齊”，而三年級下冊的《簡單小數(shù)加減法》中，由于都是一位小數(shù)相加減，末位對齊的錯誤是隱性的，到了四年級不同位數(shù)的小數(shù)相加減時才凸顯出來。所以教學中，一定要強調“相同數(shù)位相加減”這一核心。

分數(shù)加減法需要更加凸顯相同分數(shù)單位相加減的核心，對于同分母分數(shù)加減法，借助圖形，學生對算理還比較好理解，但在這個課時中，“相同分數(shù)單位相加減”的意識必須根深蒂固;異分母分數(shù)加減法有了前面的鋪墊，教學重點就放在尋找相同分數(shù)單位上。

三、結語

理想的數(shù)學教學，應該把一個個散落的知識點按照一定的邏輯關系串成一條知識鏈。而認數(shù)和計算就要靠“計數(shù)單位”這條線去串聯(lián)。數(shù)學教學唯有抓準了這一條條“線”，才能把知識進行有機統(tǒng)整，才能使學生的建構更為科學合理、學習更有效率。

（浙江省寧波市鎮(zhèn)海區(qū)蛟川中心學校，寧波 315000）