陳寶真

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的基本元素，是數(shù)學(xué)推理、建模的基礎(chǔ). 概念教學(xué)應(yīng)該從學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)或數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)，學(xué)生通過復(fù)雜的認(rèn)識(shí)活動(dòng)，主動(dòng)參與概念的抽象過程，并將這種體驗(yàn)遷移和推廣到后續(xù)的學(xué)習(xí)中.

[關(guān)鍵詞] 概念教學(xué);數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí);邏輯連貫

數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性的思維形式[1]. 數(shù)學(xué)判斷、推理、論證建立在數(shù)學(xué)概念基礎(chǔ)之上，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)抽象思維的最基本元素，因此初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)在師生教與學(xué)活動(dòng)中起到了相當(dāng)重要的作用. 許多教師忽視了概念教學(xué)的重要性，在概念教學(xué)中直接給出定義，歸納出幾條注意事項(xiàng)，再通過反復(fù)練習(xí)提升學(xué)生的認(rèn)知水平;或給出的情境不夠貼切，有刻意安排之嫌，無(wú)法幫助學(xué)生揭示概念的本質(zhì)[2];或新知概念的引入沒有根據(jù)學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備，做不到前后知識(shí)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)、邏輯連貫. 文章從概念的引入、形成、辨析等方面闡述了如何創(chuàng)新性地開展數(shù)學(xué)概念教學(xué).

概念的引入，提供數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)

生的路徑

概念的引入是概念教學(xué)的第一步，教師要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的必要性. 在概念的引入環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)如何從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，把握事物的本質(zhì)從而生成概念. 教師要依據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，有針對(duì)性地選用不同的引入途徑.

1. 從生活現(xiàn)實(shí)出發(fā)，反映數(shù)學(xué)的實(shí)際需要

學(xué)生在日常生活中接觸的事物或?qū)嶋H問題，很多可以成為引入數(shù)學(xué)概念的感性材料. 教師引導(dǎo)學(xué)生在豐富的具體事例中進(jìn)行觀察、比較、分析，抽象出它們?cè)跀?shù)量關(guān)系和空間形式上的共同特征，突出其本質(zhì)屬性，舍棄非本質(zhì)屬性. 這樣生成的概念更具形象性、直觀性，便于學(xué)生理解.

比如教學(xué)正比例函數(shù)概念時(shí)，首先給出5個(gè)常見的實(shí)際問題，由這些問題得到關(guān)系式，再由關(guān)系式抽象出正比例函數(shù)概念.

問題1：判斷以下兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)關(guān)系. 如果是，請(qǐng)寫出相應(yīng)的解析式，并尋找它們之間的共同特征.

（1）正方形的周長(zhǎng)y隨邊長(zhǎng)x的變化而變化.

（2）小明每小時(shí)能平均閱讀15頁(yè)書，小明讀書頁(yè)數(shù)y（頁(yè)）隨讀書時(shí)間x（時(shí)）的變化而變化.

（3）小峰騎自行車去上學(xué)，每分鐘行駛0.2 km，小峰騎車行駛路程s（km）隨行駛時(shí)間t（min）的變化而變化.

（4）小杜去商店購(gòu)買鉛筆，鉛筆的單價(jià)為0.6元，購(gòu)買鉛筆的費(fèi)用w（元）隨購(gòu)買鉛筆的數(shù)量n（支）的變化而變化.

（5）關(guān)不緊的水龍頭每分鐘會(huì)滴90滴水，每滴水約0.06 ml，關(guān)不緊的水龍頭滴水v（ml）隨時(shí)間t（min）的變化而變化.

經(jīng)討論，得出以上5個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系的共同特點(diǎn)是：①都有自變量;②都是函數(shù)關(guān)系;③都有常量.

問題2：這5個(gè)函數(shù)的右邊都是常量和自變量的什么形式？

學(xué)生：這5個(gè)函數(shù)都是常量和自變量的乘積形式，都可以表達(dá)為y=kx（k≠0）.

至此，自然地提出了正比例函數(shù)概念.

正比例函數(shù)概念的形成，讓學(xué)生經(jīng)歷從形象到抽象、從直觀感知到提出概念的過程中，并在充分感知的基礎(chǔ)上進(jìn)行概括，使學(xué)生倍感親切.

2. 由數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)引入，體現(xiàn)數(shù)學(xué)自身的邏輯結(jié)構(gòu)

有些數(shù)學(xué)概念需要從數(shù)學(xué)自身的邏輯結(jié)構(gòu)出發(fā)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程中的必然結(jié)果，隨著學(xué)習(xí)不斷深化，在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上生長(zhǎng)出新的概念.

比如在“分式”教學(xué)過程中的部分實(shí)錄：

師：只用運(yùn)算符號(hào)（加、減、乘、除）將2，a，b連接成數(shù)學(xué)式子，每位同學(xué)各寫出4個(gè)不同的式子.

學(xué)生動(dòng)手寫出含2，a，b的代數(shù)式，問題的開放性為學(xué)生數(shù)學(xué)思維的拓展提供了空間.

教師將3位學(xué)生寫的式子展示出來(lái)：

學(xué)生1：2ab，，，2a-b.

學(xué)生2：a+2+b，+b，，a+.

學(xué)生3：a+2b，，，a（b+2）.

師：能否將這12個(gè)數(shù)學(xué)式子進(jìn)行分類，哪些式子是我們已經(jīng)研究過的？

師生共同回顧已學(xué)過的整式的相關(guān)概念，找出其中的單項(xiàng)式和多項(xiàng)式，還有一部分不是整式的數(shù)學(xué)式子.

師：a+是多項(xiàng)式嗎？

學(xué)生4：a是單項(xiàng)式，但不是單項(xiàng)式，所以a+不是多項(xiàng)式.

師：，a+，，等這些式子不是整式，但它們有哪些共同特點(diǎn)？

這樣的課程設(shè)計(jì)既有利于學(xué)生對(duì)整式、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式等有關(guān)概念的復(fù)習(xí)與鞏固，又通過認(rèn)知沖突使新概念的產(chǎn)生水到渠成.

概念的形成，揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征

概念教學(xué)可從生活現(xiàn)實(shí)或數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)，利用學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平，通過層層遞進(jìn)的“問題串”的引導(dǎo)，新知就在知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上主動(dòng)建構(gòu)起來(lái)，學(xué)生的思維將經(jīng)歷從特殊到一般、從具體到抽象的過程.

比如“相交線”教學(xué)過程中促使概念形成的“問題串”設(shè)計(jì).

問題1：如果將兩根木條的中間釘在一起抽象成一個(gè)幾何圖形，是怎樣的圖形？我們能否動(dòng)手畫出來(lái)，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)說(shuō)明.

問題2：兩條直線相交，形成的小于平角的角有哪幾個(gè)？

追問：將這些角兩兩組合后能得到幾對(duì)角？

問題3：你能根據(jù)這幾對(duì)角的位置關(guān)系，對(duì)它們進(jìn)行分類嗎？

問題4：從角的兩要素（頂點(diǎn)和邊）出發(fā)，觀察∠AOC和∠AOD，它們有怎樣的位置關(guān)系？

讓學(xué)生感知兩個(gè)角（如∠AOC和∠AOD）“相鄰”和“互補(bǔ)”的關(guān)系：若∠AOC和∠AOD的頂點(diǎn)重合，有一邊重合，則這兩個(gè)角“相鄰”;同時(shí)，若這兩個(gè)角的另一邊互為反向延長(zhǎng)線，則這兩個(gè)角“互補(bǔ)”. ∠AOC和∠AOD既相鄰又互補(bǔ)，則稱∠AOC和∠AOD互為鄰補(bǔ)角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的鄰補(bǔ)角.

追問：圖中還有哪些互為鄰補(bǔ)角？

問題5：你能寫出∠AOC和∠AOD的數(shù)量關(guān)系式嗎？

問題6：鄰補(bǔ)角與補(bǔ)角有何區(qū)別與聯(lián)系？

問題7：類比∠AOC和∠AOD關(guān)系的探討，那么∠AOC和∠BOD有怎樣的位置關(guān)系？

從角的兩要素（頂點(diǎn)和邊）出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生直觀感知，體會(huì)兩個(gè)角的“相對(duì)”關(guān)系，要求學(xué)生嘗試用幾何語(yǔ)言來(lái)表達(dá)，得出對(duì)頂角的定義.

追問：圖中還有哪些互為對(duì)頂角？

問題8：互為對(duì)頂角的∠AOC和∠BOD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

在思考、操作后，很多學(xué)生通過度量的方法便能直觀得到其數(shù)量關(guān)系.

追問：能用說(shuō)理的方法推出結(jié)論嗎？

讓學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)手操作、獨(dú)立思考、直觀想象、抽象概括、推理論證等過程，感受從實(shí)驗(yàn)幾何到論證幾何的自然延伸，體會(huì)概念的產(chǎn)生和發(fā)展過程.

概念的辨析，把握數(shù)學(xué)知識(shí)的?內(nèi)涵和外延

許多數(shù)學(xué)概念敘述簡(jiǎn)練，有的還用式子來(lái)表示，比較抽象. 對(duì)于這樣的概念，教師要認(rèn)真揭示其中每一詞、每一句的真實(shí)含義，讓學(xué)生從不同角度、不同層面認(rèn)識(shí)概念，并從與其他知識(shí)的聯(lián)系中獲得概念的內(nèi)涵，達(dá)到全面準(zhǔn)確掌握概念、靈活運(yùn)用概念的目的.

“只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫作一元二次方程”，這是一元二次方程用文字?jǐn)⑹龅亩x，教師要引導(dǎo)學(xué)生將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，于是得到：任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理都可以化為ax2+bx+c=0（a≠0），這是一元二次方程的一般形式. 數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美. 式子中，x是未知數(shù)，a，b，c是字母系數(shù)，字母a，b，c的具體含義要厘清，區(qū)分二次項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)與一次項(xiàng)系數(shù). 通過系列問題讓學(xué)生加深對(duì)一元二次方程的理解：

（1）一元二次方程的一般形式中左右兩邊有何特點(diǎn)？

（2）為什么一元二次方程的一般形式中要有a≠0這個(gè)條件，b，c可不可以為0？

（3）方程2x2-x+3=0的一次項(xiàng)系數(shù)是1嗎？

（4）你能寫出一元二次方程的特殊形式嗎？

在概念辨析中，學(xué)生能否恰當(dāng)舉出數(shù)學(xué)概念中的相關(guān)元素，所舉的元素是否具有典型性和全面性，這可以作為判斷學(xué)生是否掌握了概念的一種方法. 既可以通過正例加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵的理解，也可以通過反例說(shuō)明數(shù)學(xué)概念外延的準(zhǔn)確范圍. 在較復(fù)雜的實(shí)例中，讓學(xué)生抓住概念的本質(zhì)，將抽象的概念和具體實(shí)例有機(jī)結(jié)合，消除歧義，最終加深對(duì)概念的理解.

比如學(xué)生可以通過判斷題的辨析和根據(jù)條件寫方程的形式加深對(duì)一元二次方程概念的理解：

（1）判斷下列關(guān)于x的方程是否為一元二次方程：

①x2+x=2; ? ? ? ? ? ②2x2=5;

③=; ? ? ? ? ? ?④x2+2y-1=0;

⑤9x2-5=（3x+1）2; ⑥ax2+bx+c=0.

（2）以-2，3，0三個(gè)數(shù)作為一元二次方程的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，請(qǐng)盡可能多地寫出滿足條件的不同的一元二次方程.

兩點(diǎn)思考

1. 概念教學(xué)要基于學(xué)生、基于課堂

數(shù)學(xué)概念需要學(xué)生自主建構(gòu)，課堂是學(xué)生自主獲取知識(shí)、形成能力的主陣地，教師要考慮學(xué)生的年齡特征、認(rèn)知水平和知識(shí)儲(chǔ)備，關(guān)注學(xué)生之間的差異，設(shè)置層層遞進(jìn)、引發(fā)學(xué)生思考的“問題串”. 通過追問、甚至學(xué)生自主提問，引導(dǎo)學(xué)生探究概念的形成過程. 發(fā)揮學(xué)生的主體作用，給學(xué)生充足的思考和表達(dá)的時(shí)間和空間，教師要善于等待，靜待花開. 面向全體學(xué)生，課堂提問空間要大，要協(xié)作學(xué)習(xí)，讓不同層次的學(xué)生都能得到相應(yīng)的發(fā)展.

2. 概念教學(xué)要培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的最基本元素，是形成數(shù)學(xué)判斷、推理和計(jì)算論證的基礎(chǔ). 在概念教學(xué)中，要明確學(xué)習(xí)的概念在教材中的地位和作用，要深刻剖析數(shù)學(xué)概念的來(lái)龍去脈：為什么要引入這個(gè)概念？如何引入這個(gè)概念？怎樣抽象形成概念？怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)？要明確幾種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)方式和相互轉(zhuǎn)化，要善于挖掘概念教學(xué)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想，將這些方法與思想遷移和推廣到后續(xù)的知識(shí)學(xué)習(xí)中. 這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)條理明晰、脈絡(luò)清楚、前后一致、邏輯連貫，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)的邏輯性和整體性. 從而實(shí)踐用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界的理念，在潛移默化之下培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

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