亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        初中數(shù)學(xué)中“含有一個動點的線段和(差)的最值問題”的解題策略

        2021-03-21 22:05:43趙玉葉
        關(guān)鍵詞:對稱點動點最值

        趙玉葉

        [摘 ?要] 文章通過模型研究,分類探討“含有一個動點的線段和(差)的最值問題”. 一是利用“兩點之間線段最短”解決問題;二是利用三角形的三邊關(guān)系(三角形任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊)“化曲為直”,找到最值;三是在實例中展現(xiàn)此類問題的解決方案和解題步驟.

        [關(guān)鍵詞] 動點;線段和(差);最值;對稱點

        動點問題是初中數(shù)學(xué)的重難點,線段和(差)的最值問題一般含有一個或幾個動點,是經(jīng)典的一類題型,也會進一步結(jié)合后續(xù)的幾何、函數(shù)等知識考查學(xué)生,但學(xué)生對這部分知識的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀不容樂觀.

        在幾何問題中,線段和(差)一般不是簡單的數(shù)量關(guān)系的運算,往往需要構(gòu)造圖形“化曲為直”,最后在點共線的特殊情況下求得最值[1]. 文章從最基本的含一個動點的情形開始探究,歸納此類問題的模型,旨在給出一個細致的思考路徑,用這個導(dǎo)火索點燃學(xué)生的思維. 我們需要明確,以下問題中雖然都含有一個動點,但我們常常瞄準(zhǔn)的不是這個動點,而是這個動點所在的那條“固定”的直線,最終達到“以靜制動”的效果.

        兩類數(shù)學(xué)模型:“異側(cè),線段和

        最小”“同側(cè),線段差最大”

        模型1 ?異側(cè),線段和最小

        問題1 ?如圖1所示,直線l的異側(cè)有兩點A,B,在直線l上求作一點P,使得PA+PB最小.

        首先,明確動點P在定直線l上,以及問題中確定的元素——兩個定點A,B,一條定直線l(有一動點). 其次,明確兩個定點A,B的位置——在直線l的異側(cè). 于是把此類模型直觀地命名為“異側(cè),線段和最小”.

        解析 ?由“兩點之間線段最短”可知,當(dāng)點A,P,B在一條直線上時,PA+PB最小. 任意異于點P的點P′,由“三角形任意兩邊之和大于第三邊”可知,P′A+P′B>AB=PA+PB,點P即為求作的點.

        模型2 ?同側(cè),線段差最大

        問題2 ?如圖2所示,直線l的同側(cè)有兩點A,B,在直線l上求作一點P,使得

        PA-PB

        最大.

        同樣,先明確動點P在定直線l上,以及問題中確定的元素——兩個定點A,B,一條定直線l(有一動點). 其次,明確兩個定點A,B的位置——在直線l的同側(cè). 于是把此類模型命名為“同側(cè),線段差最大”.

        解析 ?由“三角形任意兩邊之差小于第三邊”可知,任意異于點P的點P′,都有

        P′A-P′B

        <AB=

        PA-PB

        ,所以當(dāng)點A,P,B在一條直線上時,

        PA-PB

        最大,點P即為求作的點.

        [條件 兩個定點,一條定直線 結(jié)論 模型1 異側(cè),線段和最小 模型2 同側(cè),線段差最大 ][表1 ?“含有一個動點的線段和(差)的最值”的基本模型]

        什么時候取對稱點

        線段和(差)的最值問題常常與對稱點結(jié)合在一起. 幾何題中,已知的點、線往往較多,能夠準(zhǔn)確迅速地引入對稱點來解決問題需要學(xué)生有清晰的思路. 那么到底什么時候取對稱點呢?很簡單,只需要聯(lián)系以上兩個模型即可——“異側(cè),線段和最小”“同側(cè),線段差最大”. 在此以問題3為例:

        問題3 ?如圖3所示,直線l的同側(cè)有兩點A,B,在直線l上求作一點P,使得PA+PB最小.

        解析 ?條件:兩個定點,一條定直線;結(jié)論:線段和最小,對應(yīng)模型幾?答案很顯然,對應(yīng)的是模型1——“異側(cè),線段和最短”. 但是題目中的兩個定點在同側(cè),因此在此需要轉(zhuǎn)移定點的位置. 利用點關(guān)于直線的對稱點的畫法,作點A關(guān)于直線l的對稱點A′,如圖4所示,將點A轉(zhuǎn)化成點A′. 由點A與點A′關(guān)于直線l對稱可得PA=PA′,將PA+PB轉(zhuǎn)化成PA′+PB. 轉(zhuǎn)化后,兩個定點是A′,B,定直線是l. 由模型1可知圖4中的點P即為求作的點,使得PA′+PB最小,也就是使得PA+PB最小.

        由此可知,取對稱點可以實現(xiàn)“同側(cè)”“異側(cè)”的轉(zhuǎn)化,且不會改變線段的長度. 如此,在解決線段和(差)的最值問題時,若無法直接套用模型,就可以利用點的對稱性轉(zhuǎn)移點的位置,讓問題與模型對接.

        含有一個動點的線段和(差)的最值問題,解決步驟如下:第一步,找到確定的元素——兩個定點,一條定直線;第二步,套用模型(若無法直接套用模型,則作定點關(guān)于定直線的對稱點后再套用模型);第三步,利用模型求解.

        求解“兩定點、一定直線”線段

        和的最小值

        例1 ?如圖5所示,在正方形ABCD中,E是AB上一點,BE=2,AE=3BE,P是對角線AC上一動點,則PB+PE的最小值是______.

        解析 ?①找到兩個定點B,E,一條定直線AC;②套用模型1——“異側(cè),線段和最小”;③作點B關(guān)于直線AC的對稱點,正是正方形ABCD的頂點D,連接DE,交AC于點P′,如圖6所示. 當(dāng)點E,P′,D共線時,PB+PE的最小值=PD+PE的最小值=P′D+ P′E=DE,結(jié)果為10.

        例2 ?如圖7所示,正方形ABCD的面積為18,△ABE是等邊三角形,點E在正方形ABCD內(nèi),P是對角線AC上一動點,則PD+PE的最小值是______.

        解析 ?①找到兩個定點D,E,一條定直線AC;②套用模型1——“異側(cè),線段和最小”;③作點D關(guān)于直線AC的對稱點,正是正方形ABCD的頂點B,連接BE,交AC于點P′,如圖8所示. 當(dāng)點B,P′,E共線時,PD+PE的最小值=PB+PE的最小值=P′B+P′E=BE,結(jié)果為3.

        差的最大值

        例3 ?如圖9所示,已知A

        ,y1,B(2,y2)為反比例函數(shù)y=圖像上的兩點,動點P(x,0)在x軸正半軸上運動,當(dāng)線段AP與線段BP之差達到最大時,點P的坐標(biāo)為______.

        \11-72.tif>[圖9][x][y][O][P][B][A]

        解析 ?①找到兩個定點A,B,一條定直線x軸;②套用模型2——“同側(cè),線段差最大”;③延長AB交x軸于點P′,如圖10所示. 當(dāng)點A,B,P′共線時, AP-BP的最大值=AP′-BP′=AB,點P′即為所求的點.

        例4 ?如圖11所示,已知點A(1,5),B(3,-1),點M在x軸上,當(dāng)AM-BM最大時,點M的坐標(biāo)為______.

        解析 ?①找到兩個定點A,B,一條定直線x軸;②套用模型2——“同側(cè),線段差最大”;③作點B關(guān)于直線x軸的對稱點B′,連接AB′并延長交x軸于點M′,如圖12所示. 當(dāng)點A,B′,M′共線時,AM-BM的最大值=M′A-M′B′=AB′,點M′即為所求的點.

        關(guān)于線段和(差)的最值問題,以上是最基礎(chǔ)的題型——只有一個動點且題目的背景比較簡單. 即使換成復(fù)雜的背景,再加入多個動點,其本質(zhì)是一樣的,都只是“對稱點”和“三邊關(guān)系”等幾何知識的融合[2]. 只要充分理解和把握問題的本質(zhì),抓住關(guān)鍵點、線的位置關(guān)系(“同側(cè)”或“異側(cè)”),就能在復(fù)雜的問題中找到基本模型,“化曲為直”,最終形成解決問題的基本策略[3]. 總之,這類共性問題需要教師引導(dǎo)學(xué)生多思考、多觀察、多總結(jié)、多歸納,建立模型使之公式化、條理化,便于學(xué)生理解、掌握模型并靈活應(yīng)用.

        參考文獻:

        [1]李若志. 與軸對稱相關(guān)的線段之和最短問題[J]. 考試周刊,2017(49).

        [2]張宇石. 用三角形三邊關(guān)系求線段之差的最大值[J]. 中小學(xué)數(shù)學(xué)(初中版),2013(09).

        [3]倪勇. 探究折線段差的最大值問題[J]. 理科考試研究(初中版),2015,22(01).

        3061500589275

        猜你喜歡
        對稱點動點最值
        單調(diào)任意恒成立,論參離參定最值
        九點圓圓心關(guān)于三邊的對稱點的性質(zhì)
        聚焦圓錐曲線中的最值問題
        巧用不等式求最值
        數(shù)列中的最值題型例講
        函數(shù)中的動點問題解答策略
        線性代數(shù)中矩陣特征值的解析方法
        分類討論化解動點型題
        動點軌跡方程的解法探討
        利用對稱求函數(shù)的解析式
        女人张开腿让男人桶爽| 四虎国产精品成人影院| 伊人狼人影院在线视频| 亚洲精品第一页在线观看| 亚洲精品无码久久久久av老牛| 97人人超碰国产精品最新o| 亚洲中出视频| 激情视频在线观看好大| 日韩av无码一区二区三区不卡| 色噜噜狠狠色综合成人网 | 免费大学生国产在线观看p| 中文字幕在线乱码日本| 亚洲亚洲人成综合丝袜图片| 国产亚洲美女精品久久久| 亚洲日日噜噜噜夜夜爽爽| 精品综合久久88少妇激情| 亚洲av日韩av天堂久久| 色狠狠色狠狠综合一区| 91国产超碰在线观看| 加勒比东京热中文字幕| 国产成人无码a区在线观看视频| 97人妻视频妓女网| 最新国产精品国产三级国产av| 日本污ww视频网站| 亚洲av日韩av永久无码色欲| 亚洲AV日韩AV高潮喷潮无码| 亚洲无人区乱码中文字幕能看| 热久久国产欧美一区二区精品| 99re这里只有热视频| 中国精学生妹品射精久久| 国产杨幂AV在线播放| 日韩肥臀人妻中文字幕一区| 精品欧洲av无码一区二区| 亚洲第一无码精品久久| 国产精品女丝袜白丝袜美腿| 精品伊人久久大线蕉色首页| 18无码粉嫩小泬无套在线观看| 亚洲电影久久久久久久9999| 特级国产一区二区三区| 亚洲av日韩综合一区二区三区| 国产久视频国内精品999|