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        關(guān)于角平分線與高的夾角模型的深入探討

        2021-03-21 22:05:43高德文
        關(guān)鍵詞:拓展性質(zhì)模型

        高德文

        [摘 ?要] 三角形的角平分線與高的夾角模型有著極高的研究?jī)r(jià)值,總結(jié)模型、解析方法,生成模型突破策略,可提升學(xué)生的解題能力. 文章以常見問題為例,引出幾何模型并立足基本性質(zhì),論證模型結(jié)論,同時(shí)在考查視角下進(jìn)行綜合探究,開展教學(xué)探討.

        [關(guān)鍵詞] 角平分線;高線;模型;結(jié)論;性質(zhì);拓展

        問題引出

        問題 ?如圖1所示,在△ABC中,AD和AE分別是△ABC的高和角平分線. 已知∠B=50°,∠C=60°,則∠DAE=____°.

        解析 ?問題中給定了三角形的高和角平分線,以及部分角的度數(shù),求其所構(gòu)成的角的度數(shù),可充分利用三角形內(nèi)角和定理及角平分線定理進(jìn)行推導(dǎo).

        在△ABC中,已知∠B=50°,∠C=60°,則∠BAC=70°. 又知AE是△ABC的角平分線,則∠EAC=∠BAC=35°;AD是△ABC的高,則∠ADC=90°,所以在△ADC中,可得∠DAC=30°. 所以∠DAE=∠EAC-∠DAC=35°-30°=5°.

        思考 ?上述問題中,角平分線定理、三角形內(nèi)角和定理是問題突破的關(guān)鍵,對(duì)于∠DAE,可將其視為角平分線(AE)與高(AD)的夾角;關(guān)注另外的兩角(∠B=50°,∠C=60°),顯然它們之間有如下角度關(guān)系:∠DAE=. 由該角度關(guān)系猜想如下:三角形一個(gè)頂角的平分線與底邊上的高的夾角,與另外兩角之間存在著一個(gè)恒定的數(shù)量關(guān)系.

        教學(xué)探究

        三角形的角平分線(在此指線段)和高是其重要的線段,對(duì)應(yīng)的性質(zhì)定理在幾何中也有著廣泛的應(yīng)用. 實(shí)際上,兩條線段之間的夾角與三角形另外兩角之間存在著一定的規(guī)律,具體內(nèi)容如下.

        定理 ?三角形同一頂點(diǎn)引出的角平分線與高的夾角等于三角形另外兩角之差的絕對(duì)值的一半. 以圖1為例,可表述為∠DAE=.

        實(shí)際教學(xué)中,建議采用信息描述、角度分析、過程探究的方式,引導(dǎo)學(xué)生充分思考,逐步剖析,具體如下.

        信息描述:已知△ABC中,AD是底邊BC上的高,AE是∠BAC的平分線.

        角度分析:∠DAE是三角形角平分線與高的夾角,思考該角可用哪些角來(lái)表示,主要有如下幾種表示方法.

        ①∠DAE=

        ∠BAD-∠BAE

        (角的和、差關(guān)系);

        ②∠DAE=90°-∠AED(直角三角形兩銳角互余或外角性質(zhì));

        ③∠DAE=

        ∠AEC-∠ADE

        (三角形的外角性質(zhì)).

        過程探究:探究過程應(yīng)立足已知條件,充分結(jié)合幾何定理進(jìn)行角度代換、關(guān)系推導(dǎo).

        AE平分∠BAC→∠BAE=∠BAC(角平分線的定義);AD是底邊BC上的高→∠ADB=90°(三角形高的定義)→∠BAD=90°-∠B(直角三角形兩銳角互余).

        因?yàn)椤螧AC=180°-∠B-∠C(三角形內(nèi)角和定理),則∠BAE=(180°-∠B-∠C)(等量代換).

        綜上,∠DAE=

        ∠BAE-∠BAD

        =

        (180°-∠B-∠C)-(90°-∠B)=.

        總結(jié) ?三角形的角平分線與高之間的性質(zhì)定理是對(duì)角度關(guān)系的探究總結(jié),其本質(zhì)是關(guān)于三角形角平分線性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的綜合構(gòu)建. 圖形特征也較為明顯,以三角形的同一頂點(diǎn)出發(fā)引出角平分線和高,提煉圖形特征可形成相應(yīng)的幾何模型,有利于后續(xù)的應(yīng)用探究. 而在實(shí)際應(yīng)用時(shí)建議分步突破:①審題,建模型;②引定理,理思路;③代換,推關(guān)系.

        角平分線與高的夾角模型在幾何中十分常見,充分利用其結(jié)論可簡(jiǎn)化解題過程,高效構(gòu)建思路. 而幾何中的問題類型也較為多樣,包括常見的角度關(guān)系題,以及其他以探究形式呈現(xiàn)的幾何題,下面對(duì)其進(jìn)行綜合探究.

        1. 角度關(guān)系題

        例1 ?在圖2所示的△ABC中,已知AD是∠BAC的平分線,點(diǎn)G是AD上的動(dòng)點(diǎn),且GH⊥AD,與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H,試回答下列問題.

        (1)若∠B=30°,∠BAC=40°,求∠H的度數(shù);

        (2)當(dāng)點(diǎn)G在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí),探究∠H,∠B,∠ACB之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

        解析 ?(1)利用三角形的外角性質(zhì)和角平分線的定義可得∠ADH的度數(shù),再結(jié)合直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)即可求∠H的度數(shù).

        已知AD是∠BAC的平分線,則∠BAD=∠BAC=×40°=20°,所以∠ADH= ∠B+∠BAD=50°. 又GH⊥AD,所以∠H=90°-∠ADH=40°.

        (2)該問針對(duì)的是點(diǎn)G位置的一般化,但解析思路與第(1)問是相同的,即從已知出發(fā),結(jié)合定理推導(dǎo)即可.

        已知AD是∠BAC的平分線,則∠BAD=∠BAC,所以∠ADH=∠B+∠BAD= ∠B+∠BAC. 又GH⊥AD,所以∠H=90°-∠ADH=90°-(∠B+∠BAC). 由三角形內(nèi)角和定理可得∠B+∠BAC+∠ACB=180°,所以∠B+∠BAC+∠ACB=90°,故∠H=∠B+∠BAC+∠ACB-(∠B+∠BAC),即∠H=(∠ACB-∠B).

        評(píng)析 ?本題基于特殊到一般思想命制,首先探究特殊情形中角平分線與高的夾角的大小,然后引入動(dòng)點(diǎn),探究一般情形中角度關(guān)系的規(guī)律. 整個(gè)問題充分圍繞模型及角度關(guān)系而構(gòu)建,雖然解法思路較為簡(jiǎn)潔,但具有一定的代表性.

        2. 幾何探究題

        例2 ?角平分線與高的夾角模型在幾何中十分常用,模型中存在一些角度關(guān)系,下面深度探究.

        感知 ?如圖3所示,在△ABC中,AD平分∠BAC,AE⊥BC,∠B=40°,∠C=70°,求∠DAE的度數(shù).

        探究 ?如圖4所示,在△ABC中,若將“感知”中的“AE⊥BC”變?yōu)椤包c(diǎn)F在DA的延長(zhǎng)線上,F(xiàn)E⊥BC”,其他條件不變,試求∠DFE的度數(shù).

        拓展 ?如圖5所示,若將“感知”中的△ABC變?yōu)樗倪呅蜛BEF,再將“AE⊥BC”變?yōu)椤癊A平分∠BEC”,其他條件不變,猜想∠DAE的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化,請(qǐng)證明你的結(jié)論.

        解析 ?在“感知”環(huán)節(jié),問題基于三角形角平分線與高的夾角模型命制,利用角平分線性質(zhì)和內(nèi)角和定理即可直接推知∠DAE=15°.

        在“探究”環(huán)節(jié),將點(diǎn)F設(shè)定于DA的延長(zhǎng)線上,探究過程與“感知”環(huán)節(jié)的問題相似,直接推知∠ADE=75°,又知FE⊥BC,則∠FEB=90°,從而∠DFE=90°-∠ADE=15°.

        在“拓展”環(huán)節(jié),問題將三角形變更為四邊形,并將垂直關(guān)系變?yōu)榻瞧椒株P(guān)系,實(shí)際上,其探究思路同樣可參考上述兩問. 已知EA平分∠BEC,則∠AEB=∠AEC,所以∠C+∠CAE=∠B+∠BAE. 結(jié)合角度關(guān)系可得∠C+∠CAD-∠DAE=∠B+∠BAD+∠DAE. 因?yàn)锳D平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD,進(jìn)而可得2∠DAE=∠C-∠B=30°,所以∠DAE=15°. ∠DAE的度數(shù)依然不變.

        評(píng)析 ?本綜合題屬于角平分線與高的夾角模型的變式拓展題,實(shí)則依然是對(duì)三角形內(nèi)角和定理和角平分線性質(zhì)的綜合運(yùn)用. “感知”環(huán)節(jié)的問題是對(duì)模型的深入感知,旨在總結(jié)解析思路;“探究”環(huán)節(jié)的問題破除了傳統(tǒng)模型,但依然存在角平分關(guān)系和垂直關(guān)系,難點(diǎn)在于串聯(lián)兩個(gè)三角形的角度關(guān)系;“拓展”環(huán)節(jié)的問題構(gòu)建了一般的四邊形,問題解析可采用圖形割補(bǔ)策略,將角度關(guān)系放置在三角形中,依托三角形開展關(guān)系推導(dǎo).

        教學(xué)思考

        上述基于三角形的角平分線和高的夾角模型開展了教學(xué)探討,論證了角度關(guān)系,并結(jié)合實(shí)例探討了命題思路. 在實(shí)際教學(xué)中,建議參考上述探究過程,幫助學(xué)生總結(jié)模型,構(gòu)建解題思路,全面提升學(xué)生的解題能力. 下面對(duì)此提出幾點(diǎn)建議:

        (1)關(guān)注模型特征,挖掘核心知識(shí). 角平分線與高的夾角模型是初中幾何的重點(diǎn)模型,深入探究模型對(duì)于后續(xù)幾何問題的突破有一定幫助. 而在模型探究中,需要注重兩點(diǎn):一是關(guān)注模型的特征,二是挖掘模型的核心知識(shí). 其中角平分線與高的夾角模型是構(gòu)建其他模型的基礎(chǔ),對(duì)應(yīng)的角平分線性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理是探究的核心. 教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生充分理解問題,掌握幾何與文字語(yǔ)言的對(duì)照關(guān)系,提升學(xué)生的模型提取、圖像閱讀能力.

        (2)注重探究體驗(yàn),充分驗(yàn)證定理.模型教學(xué)應(yīng)注重學(xué)生的探究體驗(yàn),強(qiáng)化學(xué)習(xí)知識(shí)定理的重要性,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維. 建議探究時(shí)采用設(shè)問引導(dǎo)、互動(dòng)交流的方式,結(jié)合具體問題引導(dǎo)學(xué)生思考. 在定理歸納環(huán)節(jié)倡導(dǎo)“從定理中來(lái),到問題中去”,即充分利用教材中的定理來(lái)證明問題、論證結(jié)論,幫助學(xué)生形成“論證有理,推理有據(jù)”的意識(shí).

        (3)模型綜合拓展,提升綜合素養(yǎng).幾何模型在解題中有廣泛的應(yīng)用,實(shí)際考查側(cè)重兩個(gè)方向:一是依托模型開展應(yīng)用探究,二是基于模型進(jìn)行拓展探究. 尤其對(duì)于拓展性極強(qiáng)的幾何模型,中考常以其為基礎(chǔ)開展綜合幾何探究題的構(gòu)建,通過知識(shí)融合、關(guān)系設(shè)定綜合考查學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用和拓展探究能力. 通常拓展性問題的突破思路是一致的,教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解決問題的知識(shí)與方法,形成模型問題的突破策略. 同時(shí)合理滲透數(shù)學(xué)思想或方法,尤其是模型思想、數(shù)形結(jié)合思想、類比思想等,利用模型教學(xué)提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

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