高德文

[摘 ?要] 三角形的角平分線與高的夾角模型有著極高的研究?jī)r(jià)值，總結(jié)模型、解析方法，生成模型突破策略，可提升學(xué)生的解題能力. 文章以常見問題為例，引出幾何模型并立足基本性質(zhì)，論證模型結(jié)論，同時(shí)在考查視角下進(jìn)行綜合探究，開展教學(xué)探討.

[關(guān)鍵詞] 角平分線;高線;模型;結(jié)論;性質(zhì);拓展

問題引出

問題 ?如圖1所示，在△ABC中，AD和AE分別是△ABC的高和角平分線. 已知∠B=50°，∠C=60°，則∠DAE=____°.

解析 ?問題中給定了三角形的高和角平分線，以及部分角的度數(shù)，求其所構(gòu)成的角的度數(shù)，可充分利用三角形內(nèi)角和定理及角平分線定理進(jìn)行推導(dǎo).

在△ABC中，已知∠B=50°，∠C=60°，則∠BAC=70°. 又知AE是△ABC的角平分線，則∠EAC=∠BAC=35°;AD是△ABC的高，則∠ADC=90°，所以在△ADC中，可得∠DAC=30°. 所以∠DAE=∠EAC-∠DAC=35°-30°=5°.

思考 ?上述問題中，角平分線定理、三角形內(nèi)角和定理是問題突破的關(guān)鍵，對(duì)于∠DAE，可將其視為角平分線（AE）與高（AD）的夾角;關(guān)注另外的兩角（∠B=50°，∠C=60°），顯然它們之間有如下角度關(guān)系：∠DAE=. 由該角度關(guān)系猜想如下：三角形一個(gè)頂角的平分線與底邊上的高的夾角，與另外兩角之間存在著一個(gè)恒定的數(shù)量關(guān)系.

教學(xué)探究

三角形的角平分線（在此指線段）和高是其重要的線段，對(duì)應(yīng)的性質(zhì)定理在幾何中也有著廣泛的應(yīng)用. 實(shí)際上，兩條線段之間的夾角與三角形另外兩角之間存在著一定的規(guī)律，具體內(nèi)容如下.

定理 ?三角形同一頂點(diǎn)引出的角平分線與高的夾角等于三角形另外兩角之差的絕對(duì)值的一半. 以圖1為例，可表述為∠DAE=.

實(shí)際教學(xué)中，建議采用信息描述、角度分析、過程探究的方式，引導(dǎo)學(xué)生充分思考，逐步剖析，具體如下.

信息描述：已知△ABC中，AD是底邊BC上的高，AE是∠BAC的平分線.

角度分析：∠DAE是三角形角平分線與高的夾角，思考該角可用哪些角來(lái)表示，主要有如下幾種表示方法.

①∠DAE=

∠BAD-∠BAE

（角的和、差關(guān)系）;

②∠DAE=90°-∠AED（直角三角形兩銳角互余或外角性質(zhì)）;

③∠DAE=

∠AEC-∠ADE

（三角形的外角性質(zhì)）.

過程探究：探究過程應(yīng)立足已知條件，充分結(jié)合幾何定理進(jìn)行角度代換、關(guān)系推導(dǎo).

AE平分∠BAC→∠BAE=∠BAC（角平分線的定義）;AD是底邊BC上的高→∠ADB=90°（三角形高的定義）→∠BAD=90°-∠B（直角三角形兩銳角互余）.

因?yàn)椤螧AC=180°-∠B-∠C（三角形內(nèi)角和定理），則∠BAE=（180°-∠B-∠C）（等量代換）.

綜上，∠DAE=

∠BAE-∠BAD

=

（180°-∠B-∠C）-（90°-∠B）=.

總結(jié) ?三角形的角平分線與高之間的性質(zhì)定理是對(duì)角度關(guān)系的探究總結(jié)，其本質(zhì)是關(guān)于三角形角平分線性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的綜合構(gòu)建. 圖形特征也較為明顯，以三角形的同一頂點(diǎn)出發(fā)引出角平分線和高，提煉圖形特征可形成相應(yīng)的幾何模型，有利于后續(xù)的應(yīng)用探究. 而在實(shí)際應(yīng)用時(shí)建議分步突破：①審題，建模型;②引定理，理思路;③代換，推關(guān)系.

角平分線與高的夾角模型在幾何中十分常見，充分利用其結(jié)論可簡(jiǎn)化解題過程，高效構(gòu)建思路. 而幾何中的問題類型也較為多樣，包括常見的角度關(guān)系題，以及其他以探究形式呈現(xiàn)的幾何題，下面對(duì)其進(jìn)行綜合探究.

1. 角度關(guān)系題

例1 ?在圖2所示的△ABC中，已知AD是∠BAC的平分線，點(diǎn)G是AD上的動(dòng)點(diǎn)，且GH⊥AD，與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H，試回答下列問題.

（1）若∠B=30°，∠BAC=40°，求∠H的度數(shù);

（2）當(dāng)點(diǎn)G在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究∠H，∠B，∠ACB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

解析 ?（1）利用三角形的外角性質(zhì)和角平分線的定義可得∠ADH的度數(shù)，再結(jié)合直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)即可求∠H的度數(shù).

已知AD是∠BAC的平分線，則∠BAD=∠BAC=×40°=20°，所以∠ADH= ∠B+∠BAD=50°. 又GH⊥AD，所以∠H=90°-∠ADH=40°.

（2）該問針對(duì)的是點(diǎn)G位置的一般化，但解析思路與第（1）問是相同的，即從已知出發(fā)，結(jié)合定理推導(dǎo)即可.

已知AD是∠BAC的平分線，則∠BAD=∠BAC，所以∠ADH=∠B+∠BAD= ∠B+∠BAC. 又GH⊥AD，所以∠H=90°-∠ADH=90°-（∠B+∠BAC）. 由三角形內(nèi)角和定理可得∠B+∠BAC+∠ACB=180°，所以∠B+∠BAC+∠ACB=90°，故∠H=∠B+∠BAC+∠ACB-（∠B+∠BAC），即∠H=（∠ACB-∠B）.

評(píng)析 ?本題基于特殊到一般思想命制，首先探究特殊情形中角平分線與高的夾角的大小，然后引入動(dòng)點(diǎn)，探究一般情形中角度關(guān)系的規(guī)律. 整個(gè)問題充分圍繞模型及角度關(guān)系而構(gòu)建，雖然解法思路較為簡(jiǎn)潔，但具有一定的代表性.

2. 幾何探究題

例2 ?角平分線與高的夾角模型在幾何中十分常用，模型中存在一些角度關(guān)系，下面深度探究.

感知 ?如圖3所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=40°，∠C=70°，求∠DAE的度數(shù).

探究 ?如圖4所示，在△ABC中，若將“感知”中的“AE⊥BC”變?yōu)椤包c(diǎn)F在DA的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)E⊥BC”，其他條件不變，試求∠DFE的度數(shù).

拓展 ?如圖5所示，若將“感知”中的△ABC變?yōu)樗倪呅蜛BEF，再將“AE⊥BC”變?yōu)椤癊A平分∠BEC”，其他條件不變，猜想∠DAE的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化，請(qǐng)證明你的結(jié)論.

解析 ?在“感知”環(huán)節(jié)，問題基于三角形角平分線與高的夾角模型命制，利用角平分線性質(zhì)和內(nèi)角和定理即可直接推知∠DAE=15°.

在“探究”環(huán)節(jié)，將點(diǎn)F設(shè)定于DA的延長(zhǎng)線上，探究過程與“感知”環(huán)節(jié)的問題相似，直接推知∠ADE=75°，又知FE⊥BC，則∠FEB=90°，從而∠DFE=90°-∠ADE=15°.

在“拓展”環(huán)節(jié)，問題將三角形變更為四邊形，并將垂直關(guān)系變?yōu)榻瞧椒株P(guān)系，實(shí)際上，其探究思路同樣可參考上述兩問. 已知EA平分∠BEC，則∠AEB=∠AEC，所以∠C+∠CAE=∠B+∠BAE. 結(jié)合角度關(guān)系可得∠C+∠CAD-∠DAE=∠B+∠BAD+∠DAE. 因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，進(jìn)而可得2∠DAE=∠C-∠B=30°，所以∠DAE=15°. ∠DAE的度數(shù)依然不變.

評(píng)析 ?本綜合題屬于角平分線與高的夾角模型的變式拓展題，實(shí)則依然是對(duì)三角形內(nèi)角和定理和角平分線性質(zhì)的綜合運(yùn)用. “感知”環(huán)節(jié)的問題是對(duì)模型的深入感知，旨在總結(jié)解析思路;“探究”環(huán)節(jié)的問題破除了傳統(tǒng)模型，但依然存在角平分關(guān)系和垂直關(guān)系，難點(diǎn)在于串聯(lián)兩個(gè)三角形的角度關(guān)系;“拓展”環(huán)節(jié)的問題構(gòu)建了一般的四邊形，問題解析可采用圖形割補(bǔ)策略，將角度關(guān)系放置在三角形中，依托三角形開展關(guān)系推導(dǎo).

教學(xué)思考

上述基于三角形的角平分線和高的夾角模型開展了教學(xué)探討，論證了角度關(guān)系，并結(jié)合實(shí)例探討了命題思路. 在實(shí)際教學(xué)中，建議參考上述探究過程，幫助學(xué)生總結(jié)模型，構(gòu)建解題思路，全面提升學(xué)生的解題能力. 下面對(duì)此提出幾點(diǎn)建議：

（1）關(guān)注模型特征，挖掘核心知識(shí). 角平分線與高的夾角模型是初中幾何的重點(diǎn)模型，深入探究模型對(duì)于后續(xù)幾何問題的突破有一定幫助. 而在模型探究中，需要注重兩點(diǎn)：一是關(guān)注模型的特征，二是挖掘模型的核心知識(shí). 其中角平分線與高的夾角模型是構(gòu)建其他模型的基礎(chǔ)，對(duì)應(yīng)的角平分線性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理是探究的核心. 教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生充分理解問題，掌握幾何與文字語(yǔ)言的對(duì)照關(guān)系，提升學(xué)生的模型提取、圖像閱讀能力.

（2）注重探究體驗(yàn)，充分驗(yàn)證定理.模型教學(xué)應(yīng)注重學(xué)生的探究體驗(yàn)，強(qiáng)化學(xué)習(xí)知識(shí)定理的重要性，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維. 建議探究時(shí)采用設(shè)問引導(dǎo)、互動(dòng)交流的方式，結(jié)合具體問題引導(dǎo)學(xué)生思考. 在定理歸納環(huán)節(jié)倡導(dǎo)“從定理中來(lái)，到問題中去”，即充分利用教材中的定理來(lái)證明問題、論證結(jié)論，幫助學(xué)生形成“論證有理，推理有據(jù)”的意識(shí).

（3）模型綜合拓展，提升綜合素養(yǎng).幾何模型在解題中有廣泛的應(yīng)用，實(shí)際考查側(cè)重兩個(gè)方向：一是依托模型開展應(yīng)用探究，二是基于模型進(jìn)行拓展探究. 尤其對(duì)于拓展性極強(qiáng)的幾何模型，中考常以其為基礎(chǔ)開展綜合幾何探究題的構(gòu)建，通過知識(shí)融合、關(guān)系設(shè)定綜合考查學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用和拓展探究能力. 通常拓展性問題的突破思路是一致的，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解決問題的知識(shí)與方法，形成模型問題的突破策略. 同時(shí)合理滲透數(shù)學(xué)思想或方法，尤其是模型思想、數(shù)形結(jié)合思想、類比思想等，利用模型教學(xué)提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

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