王平 曾雪東 符禮梅

[摘 ?要] 許多中考試題是由專(zhuān)家精心命制而成，具有豐富的知識(shí)內(nèi)涵和多樣的解題方法，對(duì)這些試題的研究，有助于后續(xù)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的解題能力和應(yīng)變能力.文章研究了2020年重慶中考數(shù)學(xué)A卷的一道幾何題的多種解法，并對(duì)其進(jìn)行了拓展探究，進(jìn)而達(dá)到“一題多解”的效果.

[關(guān)鍵詞] 三角形;解法;探究

問(wèn)題的多種證法

題目 ?（2020年重慶中考數(shù)學(xué)A卷第26題）如圖1所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，把AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到AE. 連接CE，DE. 點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接CF.

（1）求證：CF=AD;

（2）如圖2所示，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)BD=2CD時(shí)，分別延長(zhǎng)CF，BA，相交于點(diǎn)G，猜想AG與BC存在的數(shù)量關(guān)系，并證明猜想的結(jié)論. （后面省略了原題的第（3）問(wèn)）

本題以等腰直角三角形為背景，是中考數(shù)學(xué)中出現(xiàn)頻率較高的題型. 本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上中線(xiàn)的性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)變換等相關(guān)知識(shí). 這類(lèi)題目學(xué)生并不陌生，但要求學(xué)生結(jié)合具體條件和所學(xué)知識(shí)能靈活處理問(wèn)題. 下面分別從相似（方法1、方法2）、勾股定理（方法3）、全等（方法4、方法5）、四點(diǎn)共圓（方法6）、三角函數(shù)（方法7）等角度進(jìn)行思考，給出本題第（2）問(wèn)的七種解法.

（1）證明：因?yàn)椤螧AC=90°，∠DAE=90°，所以∠BAD=∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC=∠CAE. 又AB=AC，AD=AE，所以△ABD≌△ACE. 所以∠ACE=∠ABD=45°，∠DCE=∠ACB+∠ACE=90°. 又點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，∠DAE=90°，AD=AE，所以CF=DE=AD.

（2）猜想：BC=3AG.

方法1：由（1）得∠DCE=90°，CF=EF=DF，所以∠FDC=∠FCD. 因?yàn)椤螪AE=90°，AD=AE，所以∠ADE=∠B=45°. 又∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，所以∠BAD=∠EDC，所以∠BAD=∠FCD. 又∠B=∠B，所以△ABD∽△CBG，所以=.

因?yàn)樵赗t△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，所以=，所以BG=BD. 設(shè)CD=a，則BD=2a，BC=3a，AB=a，BG=2a，所以AG=BG-AB=a，所以BC=3AG.

方法2：過(guò)A作AH⊥BC于H，連接AF，如圖3所示.

由（1）得∠DCE=90°，CF=DE. 因?yàn)樵诘妊苯侨切蜛DE中，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，所以AF=DE，∠DAF=45°. 所以AF=CF，所以∠FAC=∠FCA. 在等腰直角三角形ABC中，AH⊥BC，所以∠HAC=45°，BH=CH. 所以∠HAD=∠HAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC=∠FAC，所以∠HAD=∠FCA. 又∠AHD=∠GAC=90°，所以△AHD∽△CAG，所以==，所以AG=HD. 因?yàn)锽H=CH，BD=2CD，所以BC=6HD，所以BC=3AG.

方法3：連接AF，由（1）得∠DCE=90°，BD=CE，CF=DE. 在Rt△ADE中，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，所以AF=DE. 所以AF=CF，所以∠FCA=∠FAC. 因?yàn)椤螰CA+∠G=∠FAC+∠GAF=90°，所以∠G=∠GAF，所以AF=GF=FC=GC，所以DE=CG.

設(shè)CD=a，則BD=CE=2a，BC=3a，AC=a. 所以CG=DE==a，所以AG==a，所以BC=3AG.

方法4：過(guò)D作DH⊥BC交AC于點(diǎn)H，連接BH，如圖4所示，則△HDC為等腰直角三角形，HD=CD.

由（1）得∠DCE=90°，BD=CE，∠ACE=∠ABD，F(xiàn)C=EF. 所以∠DCE=∠BDH，所以△BDH≌△ECD，所以∠DEC=∠HBD. 因?yàn)镕C=EF，所以∠DEC=∠FCE，所以∠FCE=∠HBD. 又∠ACE=∠ABD，所以∠ABH=∠ACG. 又AB=AC，∠BAH=∠GAC=90°，所以△BAH≌△CAG，所以AG=AH.

設(shè)CD=a，則BD=2a，BC=3a，HC=a，AC=a，所以AG=AH=AC-HC=a，所以BC=3AG.

方法5：過(guò)G作GH⊥BC于H，如圖5所示，則△GHB是等腰直角三角形，GH=BH.

由（1）得∠DCE=90°，BD=CE，F(xiàn)D=CF. 所以∠GHC=∠ECD=90°，GH=EC，∠FDC=∠FCD，所以△GHC≌△ECD. 所以HC=CD，即D，H兩點(diǎn)重合.

設(shè)CD=a，則BD=2a，BC=3a，BG=2a，AB=a. 所以AG=BG-AB=a. 所以BC=3AG.

方法6：連接GD，由（1）得∠DCE=90°，EF=CF，所以∠FEC=∠FCE. 因?yàn)椤螪AE=∠DCE=90°，所以A，D，C，E四點(diǎn)共圓，所以∠DAC=∠DEC. 因?yàn)椤螪AE=∠GAC=90°，所以∠GAE=∠DAC. 又∠FEC=∠FCE，所以∠GAE=∠FCE，所以A，C，E，G四點(diǎn)共圓. 所以A，D，C，E，G五點(diǎn)共圓，所以∠GDC=∠GAC=90°.

設(shè)CD=a，則BD=2a，BC=3a，BG=2a，AB=a. 所以AG=BG-AB=a，所以BC=3AG.

方法7：過(guò)F作FH⊥BC于H且交AC于點(diǎn)M，過(guò)F作FN⊥AC于N，如圖6所示，則△MHC是等腰直角三角形，MH=CH.

由（1）得∠DCE=90°，DF=CF，BD=CE. 因?yàn)锽D=2CD，所以CE=2CD. 所以在Rt△DCE中，tan∠FDC==2. 所以在Rt△DFH中，tan∠FDC==2，F(xiàn)H=2HD.

因?yàn)镈F=CF，F(xiàn)H⊥CD，所以DH=HC，所以FH=2CH. 又MH=CH，所以FM=MH=CH. 因?yàn)椤鱉HC是等腰直角三角形，所以∠HMC=45°，所以∠FMN=∠HMC=45°，MC=HC. 因?yàn)镕N⊥AC，所以△FNM是等腰直角三角形，所以NF=NM=MF. ?又FM=MH，所以NF=HC，NC=MN+MC=HC. 所以在Rt△FNC中，tan∠FCN==. 所以在Rt△AGC中，tan∠FCN==. 所以BC=AC=3AG.

問(wèn)題的拓展探究

拓展1 ?考慮將原題的第（2）問(wèn)的條件“當(dāng)BD=2CD時(shí)”拓展為“當(dāng)BD=kCD時(shí)（k>1）”，如圖7所示，連接GD.

由上面的方法6可得GD⊥BC，設(shè)CD=a，則BD=ka，BG=ka，BC=（k+1）a，AB=（k+1）a. 所以AG=BG-AB=（k-1）a，所以BC=AG.

特別地，當(dāng)k=3時(shí)，可以得到BC=2AG. 此時(shí)可以將原題的第（2）問(wèn)改編為：如圖7所示，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)BD=3CD時(shí)，分別延長(zhǎng)CF，BA，相交于點(diǎn)G，猜想AG與BC存在的數(shù)量關(guān)系，并證明猜想的結(jié)論.

拓展2 ?考慮將原題的第（2）問(wèn)的條件“當(dāng)BD=2CD時(shí)”拓展為“當(dāng)CD=kBD時(shí)（k>1）”，如圖8所示. ?仿照拓展1的推理可得BC=AG.

特別地，當(dāng)k=2時(shí)，可得BC=3·AG;當(dāng)k=3時(shí)，可得BC=2AG. 此時(shí)我們可以將原題的第（2）問(wèn)改編為：如圖8所示，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)CD=2BD時(shí)，延長(zhǎng)CF交BA于點(diǎn)G，猜想AG與BC存在的數(shù)量關(guān)系，并證明猜想的結(jié)論.

選擇一道典型試題探究“一題多解”“一題多變”，成為“多題歸一”的典型解法，將有助于解決同類(lèi)問(wèn)題，從而達(dá)到事半功倍的效果. 在習(xí)題課中，只要教師精心編選，細(xì)心設(shè)計(jì)出一些典型例題，引導(dǎo)同學(xué)充分挖掘題目的內(nèi)涵，從不同的角度來(lái)審視和探求不同的解決方案，再通過(guò)變式練習(xí)進(jìn)一步強(qiáng)化解題的方法和技巧，這對(duì)于開(kāi)闊同學(xué)的視野，提高同學(xué)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力具有重要意義.

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