黃本華
[摘 ?要] 新課程標(biāo)準(zhǔn)將培養(yǎng)學(xué)生“邏輯思維能力”改為“思維能力”,這就啟發(fā)我們要重視培養(yǎng)學(xué)生的觀察力、想象力、直覺力等具有跳躍性的非邏輯思維能力,并培養(yǎng)學(xué)生能夠在復(fù)雜的幾何圖形中捕捉或建構(gòu)幾何模型,探索解題思路.
[關(guān)鍵詞] 幾何模型;跳躍性思維;幾何圖形;直覺力
幾何模型是數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)愛好者或數(shù)學(xué)教師在對幾何圖形進行研究之后總結(jié)出的一些基本圖形,并由這些圖形得出了一些基本結(jié)論,或是求解思路. 幾何模型就如同棋譜中的定式,運用幾何模型解題能大大縮短思維的時間,更快地接近目標(biāo),起到化繁為簡的目的. 但是運用幾何模型解題 ,需要有一定的跳躍性思維. 新課程標(biāo)準(zhǔn)將培養(yǎng)學(xué)生“邏輯思維能力”改為“思維能力”,這就啟發(fā)我們要重視培養(yǎng)學(xué)生的觀察力、想象力、直覺力等具有跳躍性的非邏輯思維能力[1].
中考試題也突出了對直覺力的考查,下面就以2020年江蘇省南通市中考試卷幾何綜合題第24題為例,談一談捕捉或建構(gòu)幾何模型,用跳躍性思維探索思路.
試題呈現(xiàn)
試題 矩形ABCD中,AB=8,AD=12,將矩形折疊,使點A落在點P處,折痕為DE.
(1)如圖1,若點P恰好在邊BC上,連接AP,求的值.
(2)如圖2,若E是AB的中點,EP延長線交BC于點F,求BF的長.
思路探索
1. 知識遷移,探求思路
這道試題是矩形里含有翻折變換,我們頭腦里就會立刻聯(lián)想到勾股定理,進而聯(lián)想到我們特別熟悉的一道題目:如圖3,矩形ABCD中,AB=8,AD=10,E是CD上一點,連接AE,將矩形沿AE折疊,若點D恰好落在BC邊上的點D'處,求CE的長.
【解析】由翻折可知AD=AD′=12,在Rt△ABD′中,AB=8,所以BD′=6 ,設(shè)DE=DE′=x,CE=8-x,在Rt△CED′中用勾股定理得(8-x)2+42=x2,解得x=5,從而CE=3.
2. 是迎難而上,還是另辟蹊徑?
順著這個思路,我們也可以解決這道中考題. 如圖1,在Rt△DPC中,在我們可以得到,CP=4,因此,BP=12- 4. 在Rt△ABP中,AP==,做到這里,我們猛然發(fā)現(xiàn)此題和上題有一個很大的區(qū)別,即上題含有勾股數(shù),計算十分簡便,而這題計算中含有根號,會越做越煩瑣. 這時我們就陷入了兩難的境地,是迎難而上,還是另辟蹊徑?若迎難而上,可能會陷入繁雜的計算中. 若另辟蹊徑,卻又有可能找不到思路.
3. 循規(guī)蹈矩,迎難而上
如果計算能力較強,一時又找不到其他更好的方法,可以選擇迎難而上,畢竟已經(jīng)看到了希望,接近了目標(biāo).
解法1:在Rt△DPC中,PC==4,
所以BP=12-4.
在Rt△ABP中,AP2=82+(12- 4)2 =288-96.
設(shè)AE=EP=x,在Rt△BEP中,(8-x)2+(12-4)2=x2,解得:x=18-6.
則在Rt△AED中,DE2=(18- 6)2+122=648-216.
所以===.
所以=.
在中考閱卷過程中我們發(fā)現(xiàn),確實有很多學(xué)生就是這樣運算的,但其中也有不少學(xué)生半途而廢. 可以想象,如此繁雜的計算,即使算到了正確結(jié)果,也一定花費了很多的時間. 這就迫使我們思考,有沒有更簡單的方法呢?要想獲得簡單的方法,就需要我們克服思維定式,善于捕捉圖形中的幾何模型,用跳躍性的思維探索思路.
4. 思維跳躍,另辟蹊徑——捕捉K型相似模型
首先,我們最容易觀察到的幾何模型就是最熟悉的△EBP和△PCD組成的K型相似模型. 于是,求EP還可以這樣解:如圖1,易證△EBP∽ △PCD,所以=,即=,解得EP=18-6.
我們也可以借助方程思想,設(shè)EP=3x,BP=2x,則2x=12-4,所以x=6-2. 所以EP=18-6. 下面的解法同上.
可以看出,運用了K型相似這個幾何模型之后,運算量就降低了很多. 那么,題目中還有沒有其他的幾何模型呢?
5. 思維跳躍,另辟蹊徑——捕捉四點共圓模型
這里我們觀察到∠EAD=∠EPD=90°,也就是說,A,E,P,D四點共圓. 其中AP 是弦,DE是垂直于這條弦的直徑,這就容易聯(lián)想到垂徑定理. 弦與直徑的比,就等于弦的一半與半徑的比. 弦和直徑是兩條交叉的線段,而弦的一半和半徑再加上弦心距卻可以構(gòu)成一個直角三角形. 因此,只要找到一個三角形和這個直角三角形相似即可.
解法2:(1)如圖4,取DE的中點O,連接PO,由折疊可知AM=PM,AP⊥DE,∠2=∠3.
在Rt△EPD中,點O為DE的中點,
所以DE=2PO=2EO=2DO.
所以∠3=∠OPD.
所以∠1=∠3+∠OPD=2∠3.
因為∠ADP=∠2+∠3=2∠3,
所以∠1=∠ADP.
因為AD∥BC,所以∠DPC=∠ADP.
所以∠1=∠DPC. 又因為∠OMP=∠C=90°,所以△POM∽△DPC.
所以===.
所以===.
可以看出,用這種方法解題,計算量大大降低了. 類似地,也可以連接AO,證明△AOM和△DCP相似.
6. 思維跳躍,另辟蹊徑——捕捉三垂直模型
繼續(xù)觀察,圖中還有其他模型嗎?如圖5,我們還可以找到三垂直模型. 這個三垂直模型里面還含有一個母子三角形,我們易得∠1=∠2,從而△ABP∽△DAE.
解法3:因為∠B=∠EAD=∠AMD=90°,所以易證∠1=∠2. 所以△ABP∽△DAE. 所以==.
感悟:解法如此簡便,令人嘆為觀止!幾何模型竟有如此魅力!
7. 建構(gòu)模型,迎刃而解——建構(gòu)K型相似模型
受第(1)問的啟發(fā),在求解第(2)問的時候,我們可以建構(gòu)K型相似模型.
解法1:如圖6,過點P作GH∥AD交AB于點G,交DC于點H.
易證△EGP∽△PHD,因為====.
設(shè)PG=x,EG=y,則DH=3x,PH=3y,由圖可知x+3y=12,
4+y=3x, ?解得x=2.4,
y=3.2.
又因為PG∥BF,所以=,即=,解得BF=3.
當(dāng)然,我們也可以運用勾股定理列方程解決問題. 比如,在Rt△DPH中,(12-x)2 +(3x)2=122 ,或者在Rt△EPG中,x2+(3x-4)2=42.
8. 建構(gòu)模型,迎刃而解——建構(gòu)8字全等模型
由于點E是AB的中點,我們聯(lián)想到平行線加中點,可以構(gòu)造8字全等模型,再借助角平分線定理和勾股定理,利用方程思想解決問題.
解法2:如圖7,延長FE,DA交于點H,易證△BFE≌△AHE,設(shè)BF=AH=x,HE=y,因為DE平分∠HDP,所以=,即=. 又在Rt△AEH中,42+x2=y2,聯(lián)立兩個方程解得x=3,
y=5, 或者x=0,
y=4 (舍去). 所以BF=3.
9. 正切公式,屢試不爽——如果含有角平分線或45°角(這也是模型)
如果盯住這個四點共圓的模型,還可以有這樣的思路:外角∠BEF=內(nèi)對角∠ADP. 因此,在△EBF中,求tan∠BEF,也就是求tan∠ADP,而∠ADP=2∠ADE,于是我們立刻聯(lián)想到正切公式.
解法3:如圖8,tanα===. 所以tan2α===. 所以=,解得BF=3.
若想避免分?jǐn)?shù)運算,也可以這樣解——
解法4:tan∠AEF=tan2∠AED===-,所以tan∠BEF=,即=,解得BF=3.
試題賞析
在解完題目之后,我們回過頭來再看這道題,發(fā)現(xiàn)這道題出得真好.
(1)試題以矩形為載體,融合了重要的基本幾何元素,如中點、角平分線等,結(jié)合翻折變換,給學(xué)生提供了一個思考的平臺,很好地考查了學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.
(2)第(1)問中蘊含了多個基本圖形或幾何模型,如母子三角形、一線三等角、對角互補四邊形、三垂直模型等. 第(2)問又可以通過多種方法建構(gòu)幾何模型求解. 在考查學(xué)生思維能力的同時,也考查了學(xué)生的創(chuàng)新意識.
(3)結(jié)合思路探索,試題也考查了多種數(shù)學(xué)思想:轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、對稱思想、從特殊到一般思想、建模思想等.
(4)試題是課本習(xí)題的挖掘和延伸,是從全等到相似的拓展. 從全等到相似不僅是形式上的飛躍,更是思維方式上的一個突變.
如圖9,在正方形ABCD中,AF⊥DE,求證AF=DE.
上面這道題大家都很熟悉,是課本中的一個題目. 而前面那道中考題就是對該題的一種拓展. 如圖10,當(dāng)正方形ABCD變?yōu)榫匦蜛BCD以后,由于三垂直模型始終存在,于是始終有=. 顯然,全等是相似的一種特殊情況. 有了這個模型,現(xiàn)在再來看中考題的第(1)問,就覺得十分容易了.
今后打算
(1)在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的同時,突出對學(xué)生觀察力、直覺力、想象力等非邏輯思維能力及跳躍性思維能力的培養(yǎng). 大力培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維、發(fā)散思維、求異思維等,要努力讓學(xué)生的頭腦活絡(luò)起來.
(2)重視對基本圖形、幾何模型的搜集、整理與滲透. 引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會對復(fù)雜的幾何圖形進行分解,訓(xùn)練其在復(fù)雜的幾何圖形中捕捉幾何模型或基本圖形的本領(lǐng),并指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會建構(gòu)幾何模型,探索解題思路.
(3)重視對初高中數(shù)學(xué)知識的銜接. 如滲透正切公式、基本不等式、角平分線定理等高中知識.
(4)重視對課本習(xí)題的挖掘、研究與拓展. 特別要重視從全等到相似的變式拓展研究.
(5)重視對數(shù)學(xué)思想的滲透. 培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識,以尋求最佳的或最適合自己的解題途徑.
參考文獻:
[1]唐耀庭. 建構(gòu)幾何模型 ?巧妙進行探究——2008年江蘇省鹽城市中考數(shù)學(xué)壓軸題評析[J]. 中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2009(1).
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