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        捕捉或建構(gòu)幾何模型 跳躍式思維探索思路

        2021-03-21 22:05:43黃本華
        關(guān)鍵詞:幾何圖形

        黃本華

        [摘 ?要] 新課程標(biāo)準(zhǔn)將培養(yǎng)學(xué)生“邏輯思維能力”改為“思維能力”,這就啟發(fā)我們要重視培養(yǎng)學(xué)生的觀察力、想象力、直覺力等具有跳躍性的非邏輯思維能力,并培養(yǎng)學(xué)生能夠在復(fù)雜的幾何圖形中捕捉或建構(gòu)幾何模型,探索解題思路.

        [關(guān)鍵詞] 幾何模型;跳躍性思維;幾何圖形;直覺力

        幾何模型是數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)愛好者或數(shù)學(xué)教師在對(duì)幾何圖形進(jìn)行研究之后總結(jié)出的一些基本圖形,并由這些圖形得出了一些基本結(jié)論,或是求解思路. 幾何模型就如同棋譜中的定式,運(yùn)用幾何模型解題能大大縮短思維的時(shí)間,更快地接近目標(biāo),起到化繁為簡(jiǎn)的目的. 但是運(yùn)用幾何模型解題 ,需要有一定的跳躍性思維. 新課程標(biāo)準(zhǔn)將培養(yǎng)學(xué)生“邏輯思維能力”改為“思維能力”,這就啟發(fā)我們要重視培養(yǎng)學(xué)生的觀察力、想象力、直覺力等具有跳躍性的非邏輯思維能力[1].

        中考試題也突出了對(duì)直覺力的考查,下面就以2020年江蘇省南通市中考試卷幾何綜合題第24題為例,談一談捕捉或建構(gòu)幾何模型,用跳躍性思維探索思路.

        試題呈現(xiàn)

        試題 矩形ABCD中,AB=8,AD=12,將矩形折疊,使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處,折痕為DE.

        (1)如圖1,若點(diǎn)P恰好在邊BC上,連接AP,求的值.

        (2)如圖2,若E是AB的中點(diǎn),EP延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F,求BF的長(zhǎng).

        思路探索

        1. 知識(shí)遷移,探求思路

        這道試題是矩形里含有翻折變換,我們頭腦里就會(huì)立刻聯(lián)想到勾股定理,進(jìn)而聯(lián)想到我們特別熟悉的一道題目:如圖3,矩形ABCD中,AB=8,AD=10,E是CD上一點(diǎn),連接AE,將矩形沿AE折疊,若點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)D'處,求CE的長(zhǎng).

        【解析】由翻折可知AD=AD′=12,在Rt△ABD′中,AB=8,所以BD′=6 ,設(shè)DE=DE′=x,CE=8-x,在Rt△CED′中用勾股定理得(8-x)2+42=x2,解得x=5,從而CE=3.

        2. 是迎難而上,還是另辟蹊徑?

        順著這個(gè)思路,我們也可以解決這道中考題. 如圖1,在Rt△DPC中,在我們可以得到,CP=4,因此,BP=12- 4. 在Rt△ABP中,AP==,做到這里,我們猛然發(fā)現(xiàn)此題和上題有一個(gè)很大的區(qū)別,即上題含有勾股數(shù),計(jì)算十分簡(jiǎn)便,而這題計(jì)算中含有根號(hào),會(huì)越做越煩瑣. 這時(shí)我們就陷入了兩難的境地,是迎難而上,還是另辟蹊徑?若迎難而上,可能會(huì)陷入繁雜的計(jì)算中. 若另辟蹊徑,卻又有可能找不到思路.

        3. 循規(guī)蹈矩,迎難而上

        如果計(jì)算能力較強(qiáng),一時(shí)又找不到其他更好的方法,可以選擇迎難而上,畢竟已經(jīng)看到了希望,接近了目標(biāo).

        解法1:在Rt△DPC中,PC==4,

        所以BP=12-4.

        在Rt△ABP中,AP2=82+(12- 4)2 =288-96.

        設(shè)AE=EP=x,在Rt△BEP中,(8-x)2+(12-4)2=x2,解得:x=18-6.

        則在Rt△AED中,DE2=(18- 6)2+122=648-216.

        所以===.

        所以=.

        在中考閱卷過程中我們發(fā)現(xiàn),確實(shí)有很多學(xué)生就是這樣運(yùn)算的,但其中也有不少學(xué)生半途而廢. 可以想象,如此繁雜的計(jì)算,即使算到了正確結(jié)果,也一定花費(fèi)了很多的時(shí)間. 這就迫使我們思考,有沒有更簡(jiǎn)單的方法呢?要想獲得簡(jiǎn)單的方法,就需要我們克服思維定式,善于捕捉圖形中的幾何模型,用跳躍性的思維探索思路.

        4. 思維跳躍,另辟蹊徑——捕捉K型相似模型

        首先,我們最容易觀察到的幾何模型就是最熟悉的△EBP和△PCD組成的K型相似模型. 于是,求EP還可以這樣解:如圖1,易證△EBP∽ △PCD,所以=,即=,解得EP=18-6.

        我們也可以借助方程思想,設(shè)EP=3x,BP=2x,則2x=12-4,所以x=6-2. 所以EP=18-6. 下面的解法同上.

        可以看出,運(yùn)用了K型相似這個(gè)幾何模型之后,運(yùn)算量就降低了很多. 那么,題目中還有沒有其他的幾何模型呢?

        5. 思維跳躍,另辟蹊徑——捕捉四點(diǎn)共圓模型

        這里我們觀察到∠EAD=∠EPD=90°,也就是說,A,E,P,D四點(diǎn)共圓. 其中AP 是弦,DE是垂直于這條弦的直徑,這就容易聯(lián)想到垂徑定理. 弦與直徑的比,就等于弦的一半與半徑的比. 弦和直徑是兩條交叉的線段,而弦的一半和半徑再加上弦心距卻可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形. 因此,只要找到一個(gè)三角形和這個(gè)直角三角形相似即可.

        解法2:(1)如圖4,取DE的中點(diǎn)O,連接PO,由折疊可知AM=PM,AP⊥DE,∠2=∠3.

        在Rt△EPD中,點(diǎn)O為DE的中點(diǎn),

        所以DE=2PO=2EO=2DO.

        所以∠3=∠OPD.

        所以∠1=∠3+∠OPD=2∠3.

        因?yàn)椤螦DP=∠2+∠3=2∠3,

        所以∠1=∠ADP.

        因?yàn)锳D∥BC,所以∠DPC=∠ADP.

        所以∠1=∠DPC. 又因?yàn)椤螼MP=∠C=90°,所以△POM∽△DPC.

        所以===.

        所以===.

        可以看出,用這種方法解題,計(jì)算量大大降低了. 類似地,也可以連接AO,證明△AOM和△DCP相似.

        6. 思維跳躍,另辟蹊徑——捕捉三垂直模型

        繼續(xù)觀察,圖中還有其他模型嗎?如圖5,我們還可以找到三垂直模型. 這個(gè)三垂直模型里面還含有一個(gè)母子三角形,我們易得∠1=∠2,從而△ABP∽△DAE.

        解法3:因?yàn)椤螧=∠EAD=∠AMD=90°,所以易證∠1=∠2. 所以△ABP∽△DAE. 所以==.

        感悟:解法如此簡(jiǎn)便,令人嘆為觀止!幾何模型竟有如此魅力!

        7. 建構(gòu)模型,迎刃而解——建構(gòu)K型相似模型

        受第(1)問的啟發(fā),在求解第(2)問的時(shí)候,我們可以建構(gòu)K型相似模型.

        解法1:如圖6,過點(diǎn)P作GH∥AD交AB于點(diǎn)G,交DC于點(diǎn)H.

        易證△EGP∽△PHD,因?yàn)?===.

        設(shè)PG=x,EG=y,則DH=3x,PH=3y,由圖可知x+3y=12,

        4+y=3x, ?解得x=2.4,

        y=3.2.

        又因?yàn)镻G∥BF,所以=,即=,解得BF=3.

        當(dāng)然,我們也可以運(yùn)用勾股定理列方程解決問題. 比如,在Rt△DPH中,(12-x)2 +(3x)2=122 ,或者在Rt△EPG中,x2+(3x-4)2=42.

        8. 建構(gòu)模型,迎刃而解——建構(gòu)8字全等模型

        由于點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),我們聯(lián)想到平行線加中點(diǎn),可以構(gòu)造8字全等模型,再借助角平分線定理和勾股定理,利用方程思想解決問題.

        解法2:如圖7,延長(zhǎng)FE,DA交于點(diǎn)H,易證△BFE≌△AHE,設(shè)BF=AH=x,HE=y,因?yàn)镈E平分∠HDP,所以=,即=. 又在Rt△AEH中,42+x2=y2,聯(lián)立兩個(gè)方程解得x=3,

        y=5, 或者x=0,

        y=4 (舍去). 所以BF=3.

        9. 正切公式,屢試不爽——如果含有角平分線或45°角(這也是模型)

        如果盯住這個(gè)四點(diǎn)共圓的模型,還可以有這樣的思路:外角∠BEF=內(nèi)對(duì)角∠ADP. 因此,在△EBF中,求tan∠BEF,也就是求tan∠ADP,而∠ADP=2∠ADE,于是我們立刻聯(lián)想到正切公式.

        解法3:如圖8,tanα===. 所以tan2α===. 所以=,解得BF=3.

        若想避免分?jǐn)?shù)運(yùn)算,也可以這樣解——

        解法4:tan∠AEF=tan2∠AED===-,所以tan∠BEF=,即=,解得BF=3.

        試題賞析

        在解完題目之后,我們回過頭來(lái)再看這道題,發(fā)現(xiàn)這道題出得真好.

        (1)試題以矩形為載體,融合了重要的基本幾何元素,如中點(diǎn)、角平分線等,結(jié)合翻折變換,給學(xué)生提供了一個(gè)思考的平臺(tái),很好地考查了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.

        (2)第(1)問中蘊(yùn)含了多個(gè)基本圖形或幾何模型,如母子三角形、一線三等角、對(duì)角互補(bǔ)四邊形、三垂直模型等. 第(2)問又可以通過多種方法建構(gòu)幾何模型求解. 在考查學(xué)生思維能力的同時(shí),也考查了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

        (3)結(jié)合思路探索,試題也考查了多種數(shù)學(xué)思想:轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、對(duì)稱思想、從特殊到一般思想、建模思想等.

        (4)試題是課本習(xí)題的挖掘和延伸,是從全等到相似的拓展. 從全等到相似不僅是形式上的飛躍,更是思維方式上的一個(gè)突變.

        如圖9,在正方形ABCD中,AF⊥DE,求證AF=DE.

        上面這道題大家都很熟悉,是課本中的一個(gè)題目. 而前面那道中考題就是對(duì)該題的一種拓展. 如圖10,當(dāng)正方形ABCD變?yōu)榫匦蜛BCD以后,由于三垂直模型始終存在,于是始終有=. 顯然,全等是相似的一種特殊情況. 有了這個(gè)模型,現(xiàn)在再來(lái)看中考題的第(1)問,就覺得十分容易了.

        今后打算

        (1)在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的同時(shí),突出對(duì)學(xué)生觀察力、直覺力、想象力等非邏輯思維能力及跳躍性思維能力的培養(yǎng). 大力培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維、發(fā)散思維、求異思維等,要努力讓學(xué)生的頭腦活絡(luò)起來(lái).

        (2)重視對(duì)基本圖形、幾何模型的搜集、整理與滲透. 引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)復(fù)雜的幾何圖形進(jìn)行分解,訓(xùn)練其在復(fù)雜的幾何圖形中捕捉幾何模型或基本圖形的本領(lǐng),并指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)建構(gòu)幾何模型,探索解題思路.

        (3)重視對(duì)初高中數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接. 如滲透正切公式、基本不等式、角平分線定理等高中知識(shí).

        (4)重視對(duì)課本習(xí)題的挖掘、研究與拓展. 特別要重視從全等到相似的變式拓展研究.

        (5)重視對(duì)數(shù)學(xué)思想的滲透. 培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí),以尋求最佳的或最適合自己的解題途徑.

        參考文獻(xiàn):

        [1]唐耀庭. 建構(gòu)幾何模型 ?巧妙進(jìn)行探究——2008年江蘇省鹽城市中考數(shù)學(xué)壓軸題評(píng)析[J]. 中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2009(1).

        3759500589200

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