鄭娟娟

摘 要：“幾何直觀”主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。通過借助幾何圖形，可啟發(fā)學生數(shù)學思考，正確分析數(shù)量關系，找到解決問題的關鍵信息，提高問題解決的有效性。作者結合人教版義務教育教科書小學數(shù)學五年級下冊“解決問題——分數(shù)加減法”的教學，從作圖析意，助力題意解讀;數(shù)形結合，助力策略探索;內化升華，助力思想感悟三個方面來闡述如何借助幾何直觀，探尋問題解決的教學實踐。

關鍵詞：幾何直觀;作圖析意;數(shù)形結合;內化升華

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 收稿日期：2019-03-24 文章編號：1674-120X（2019）21-0074-02

一、引言

幾何直觀就是依托、利用圖形進行數(shù)學思考和想象，它在本質上是一種通過圖形所展開的想象能力，可以幫助學生發(fā)現(xiàn)、描述問題，探索解決問題的思路，理解和記憶得到的結果，正確分析數(shù)量關系，找到解決問題的策略，在整個數(shù)學學習過程中起著至關重要的作用。因此，在日常教學中，遇到比較復雜、難以用語言來描述清楚的問題時，教師不妨讓學生嘗試以畫示意圖作為突破口，在直觀形象的基礎上更好感知、領悟。應有這樣的導向：能畫示意圖時盡量畫，其實質是將抽象的思考對象“圖形化”，盡量把問題、證明等數(shù)學過程變得直觀，在直觀中去解決問題。

現(xiàn)以五年級下冊“解決問題——分數(shù)加減法”為例來進行闡述。

二、作圖析意，助力題意解讀

小學數(shù)學問題解決一般都以靜態(tài)的文字信息的方式呈現(xiàn)，有時候也會以某種動態(tài)呈現(xiàn)的純文字的信息出現(xiàn)，這樣就使數(shù)學研究的對象是“看不到，摸不著”的，學生也會由于信息的繁雜而無法理清數(shù)量關系，導致無從下手。這時，可以借力幾何直觀的解題優(yōu)勢，借助畫示意圖來理解動態(tài)呈現(xiàn)的數(shù)學信息，使信息理解更加形象、更加生動，在理解的基礎上深入思考，并學會自我表達與簡單的題意刻畫。借助幾何直觀的形象生動的信息呈現(xiàn)過程，使學生在思考、想象、猜想中梳理信息，解讀和分析題意，理清解題思路，使所有的信息都交匯于示意圖上，找出解題的關鍵——理清正確的數(shù)量關系，從而打開學生智慧的心門，為順利解題提供方法保障。

例如，人教版五年級下冊“解決問題——分數(shù)加減法”一課，教材以純文字的形式呈現(xiàn)“ 一杯純牛奶，樂樂喝了半杯后，覺得有些涼，就兌滿了熱水。他又喝了半杯，就出去玩了。樂樂一共喝了多少杯牛奶？多少杯水？”這部分內容新增加的問題是“喝牛奶的問題”，這一問題所涉及的分數(shù)比較抽象，常作為數(shù)學愛好者研究的智力題。學生面對這些文字時，往往無從下手，感受更多的是煩瑣、無跡可尋。因此，幫助學生理解題意，是解決問題的基礎，在讓學生閱讀理解的基礎上，教師可以充分放手讓他們用自己喜歡的方式進行梳理、摘錄。大部分學生會采用文字描述的方法，在用文字描述方法的基礎上，會感受到信息量的多且難以理解。這時再突出用示意圖摘錄信息的方式，在用這兩種方法進行表達之后，引導學生對這兩種摘錄信息的方法進行對比，學生在充分對比之后會發(fā)現(xiàn)用文字描述比較煩瑣又不易理解，而畫示意圖的方法不但能直觀呈現(xiàn)問題的信息，而且有助于加深對題意的刻畫，從而更易于找出解決問題的關鍵——第二次喝的純牛奶是幾分之幾杯。但是學生由于還沒學習分數(shù)乘法，無法用乘法來解決二分之一杯純牛奶的一半是多少的問題。此時，我們要作圖析意，充分借助幾何直觀，把靜態(tài)的數(shù)學信息鮮活地呈現(xiàn)在學生的面前，使學生感悟幾何直觀的魅力，助力學生更加形象直觀地感知二分之一的一半是四分之一這一教學難點，也為后續(xù)進一步探究解題策略，提供方法上的支撐。

三、數(shù)形結合，助力策略探索

幾何直觀是一種重要的解題策略，它具有形象性和可感性，它能有效溝通學生的具體形象思維與枯燥學習的內容之間的聯(lián)系。在數(shù)學學習中，教師要有效挖掘幾何直觀的科學內涵，要充分發(fā)揮這種解題策略在數(shù)學探究中的作用，化靜態(tài)的學科知識為動態(tài)化，有效地突破學生的固有的思維。通過幾何直觀畫出示意圖，可以讓學生感受學習內容的直觀化、形象化。因此，在教學中，要充分引導學生采用畫圖的方法，助力解題策略的探索，在“數(shù)形結合”中凸顯問題解決的本質，從而突破教學難點，以形解數(shù)。

例如，在本課中，當學生們已經明確要解決樂樂一共喝了多少杯牛奶、多少杯水，解決問題的關鍵是要讓學生找出第二次喝純牛奶是幾分之幾杯。于是，我充分放手讓學生先獨立探索，學生在探究后展示時有很多種方法。有的學生用文字描述的方法：樂樂喝了半杯牛奶，兌滿了熱水，這時候杯子里有半杯牛奶、半杯熱水，又喝了半杯，這半杯里，一半是純牛奶，一半是水。所以樂樂第二次喝了半杯中一半的牛奶、一半的水。學生聽后眉頭緊鎖，有的若有所思。我又請一位學生來補充回答：“樂樂喝的一杯中，有半杯牛奶、半杯熱水，又喝了半杯，這半杯中一半是純牛奶，另外一半是水。所以樂樂第二次喝了四分之一杯的牛奶、四分之一杯的水。”在第二位學生回答后，我適時追問：“老師聽懂了，你們聽懂了嗎？”有一小部分的學生點點頭，大部分的學生都在沉默著，沉默的原因是過于抽象，學生們無法理解半杯中的一半是四分之一。這用言語來解釋過于蒼白，學生無法理解透徹。我趁機追問是否還有其他方法。有幾位學生在沉默之后舉起了手，我請他們來介紹做法，并適時展示兩位學生所畫的示意圖（如下圖）。

從學生所呈現(xiàn)的示意圖中，我們不難發(fā)現(xiàn)，由于有了示意圖的直觀呈現(xiàn)，學生能夠更加直觀地感知四分之一杯的牛奶在哪里，在數(shù)學上又該如何表示，使文字枯燥的呈現(xiàn)變得形象、多元。正是有了合理的數(shù)形結合，學生一下子明白了圖形中的四分之一杯牛奶的含義，不用乘法也可以直觀理解“一半的一半”就是四分之一。幾何直觀達到了“只可意會，不可言傳”的教學效果，使難懂的數(shù)學變得可感，變得形象、具體，活生生地呈現(xiàn)學生的思維過程，幫助學生理清思緒，豐富學生的解題策略，有效培養(yǎng)學生的數(shù)學思維。我又適時地激發(fā)學生去思考如何更簡潔地表示，有的學生用線段圖的雛形圖表示，有的把示意圖化圖為線……學生在不斷思考、碰撞的過程中突出了幾何直觀的作用，又彰顯了示意圖的優(yōu)勢，在數(shù)形結合中，找到了解決問題的最佳策略。

四、內化升華，助力思想感悟

數(shù)學學習的歸宿點不僅是讓學生學會解決問題，發(fā)現(xiàn)問題解決的方法（畫示意圖），更重要的是要進一步挖掘數(shù)學教學中所蘊含的數(shù)學思想方法，發(fā)展學生的解題策略，使學生在梳理內化的過程中，感悟數(shù)學教學的魅力，滲透數(shù)學思想方法。

例如，在學生借助畫圖策略找到解決問題的答案后，我并沒有就此打住，而是適時追問學生們還有沒有其他的辦法，能不能換個角度思考。學生們經歷了強烈的頭腦風暴。過了一會兒一個學生站起來說：“我們可以把注意力集中在純牛奶上，第一次喝了半杯牛奶，現(xiàn)在杯子里只剩半杯是純牛奶，第二次又喝了這半杯純牛奶中的一半，也就是四分之一杯牛奶。再把注意力集中在水上，加了半杯水，也是喝了這半杯水的一半，所以第二次喝的水和牛奶都是四分之一杯?！痹谶@位學生的啟發(fā)下，另外一位學生站起來說：“牛奶我們只要看喝的，第一次喝了半杯后，杯子中只剩下半杯，第二次喝了半杯中的一半，不就是四分之一杯嗎？水只要看加的，加了半杯水，喝了這半杯的一半也就是四分之一杯水，所以第二次喝的是四分之一杯的水和四分之一杯的牛奶。”這一環(huán)節(jié)促進了學生對數(shù)學方法的掌握。學生不僅感悟數(shù)形結合思想、變中不變的思想，還學會用換角度思考的方法來解決問題。

在回顧反思的過程中，我讓學生們用自己喜歡的方法檢驗，有的學生用畫圖法，有的學生用換角度思考法，有的用倒推法等進行檢驗反思。

在這一系列的探究活動中，學生不僅獲得了解決問題的策略，更重要的是把數(shù)學思維推向深刻。這樣的學習過程一方面突出了解題策略的多樣化，另一方面彰顯了幾何直觀在解決問題中的作用，深化學生對數(shù)學的理解，內化并提升學生的數(shù)學思維。

五、結語

透過一節(jié)課的數(shù)學探究，我們不難發(fā)現(xiàn)幾何直觀在數(shù)學學習上的作用，它溝通了數(shù)學與思維的聯(lián)系，通過形象直觀的思維呈現(xiàn)過程，整體把握學生對數(shù)學知識的理解，借助數(shù)形結合這一橋梁，有利于培養(yǎng)和發(fā)展學生的數(shù)學思維。因此，在數(shù)學教學中，教師要緊緊抓住數(shù)學思維的培養(yǎng)這一核心，有效挖掘數(shù)學內涵，適時滲透數(shù)學思想，合理把握學生的思維動向，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維。

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