陳洪偉

摘? 要：數(shù)學(xué)知識在教材中的存在形態(tài)是多樣化的。教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的“問題化”教學(xué)功能，將學(xué)術(shù)形態(tài)、史學(xué)形態(tài)和散點(diǎn)形態(tài)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為原始形態(tài)、教育形態(tài)和整體形態(tài)。由此充分發(fā)揮數(shù)學(xué)教學(xué)的育人功能。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué);問題化;形態(tài)轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)知識存在形態(tài)是多樣化的，比如“原始形態(tài)”“學(xué)術(shù)形態(tài)”“史學(xué)形態(tài)”“教育形態(tài)”和“學(xué)習(xí)形態(tài)”，等等。其中，有些形態(tài)是具體的、形象化的，是學(xué)生容易理解的，比如教育形態(tài)、學(xué)習(xí)形態(tài)等。有些形態(tài)是抽象的、符號化的，是學(xué)生不容易理解的，比如學(xué)術(shù)形態(tài)、史學(xué)形態(tài)等。對于教師而言，一個重要的使命就是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)形態(tài)之間的轉(zhuǎn)化，將學(xué)生不易理解的形態(tài)轉(zhuǎn)化為容易理解的形態(tài)。而“問題化策略”是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)形態(tài)轉(zhuǎn)化的有效路徑。

一、“追根溯源”地問，將“學(xué)術(shù)形態(tài)”的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為“原始形態(tài)”

所謂“學(xué)術(shù)形態(tài)”的數(shù)學(xué)，是指“數(shù)學(xué)家在發(fā)表論文時(shí)所采用的一種形態(tài)，這種形態(tài)往往比較嚴(yán)謹(jǐn)、概括、形式化，但卻將數(shù)學(xué)原始、火熱的思考淹沒在形式化海洋之中”（華東師范大學(xué)張奠宙教授語）。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要警惕數(shù)學(xué)本質(zhì)被過度形式化所掩蓋。為此，可借助問題化策略，對數(shù)學(xué)知識追根、求本、溯源。換言之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要恢復(fù)數(shù)學(xué)知識誕生時(shí)的鮮活，將“冰冷的美麗”轉(zhuǎn)化為“火熱的思考”。

在數(shù)學(xué)教材中，數(shù)學(xué)知識通常是以符號化、簡約化的形態(tài)存在的，因而通常也就是“學(xué)術(shù)形態(tài)”的數(shù)學(xué)，當(dāng)然有時(shí)也夾雜著“教育形態(tài)”。為此，教師就要深度發(fā)掘數(shù)學(xué)知識形成的來龍去脈歷程，了解數(shù)學(xué)知識誕生時(shí)的鮮活背景，將“學(xué)術(shù)形態(tài)”的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為“原始形態(tài)”的數(shù)學(xué)。比如教學(xué)《小數(shù)的意義》，有教師直接從貨幣單位、長度單位等引入小數(shù)，將1角改寫成0.1元，將1分改寫成0.01元，等等。教師急于讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)的改寫，學(xué)生盡管知曉小數(shù)意義，但卻完全是模仿式的“依葫蘆畫瓢”，學(xué)生不理解為什么要學(xué)習(xí)小數(shù)？“量（liàng）起于量（liáng）”，筆者在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生測量學(xué)桌。當(dāng)學(xué)生用米尺測量，不到1米時(shí)，筆者適時(shí)追問學(xué)生：不夠1米，怎么辦呢？學(xué)生自然想到將1米平均分成10份，得到0.1米，用0.1米來測量。當(dāng)學(xué)生用0.1米測量后，多余部分又不夠0.1米，這時(shí)，學(xué)生又自然想到將0.1米再次平均分成10份，也就是將1米平均分成100份，從而用更小的小數(shù)來表示，如此等等，小數(shù)產(chǎn)生的原始形態(tài)被凸顯出來。教學(xué)中，教師可以相機(jī)追問學(xué)生：“將1米平均分成10份、100份、1000份……后，得到了0.1米、0.01米、0.001米……，是不是就這樣簡單而又麻煩地書寫？”學(xué)生再一次對原始形態(tài)小數(shù)展開了深度思考。在問題倒逼下，有學(xué)生想到給這些小數(shù)的數(shù)量命名，如0.1米就是1分米，0.01米就是1厘米，0.001千克就是1克，0.001噸就是1千克，等等。最后，筆者以個位為臨界點(diǎn)，讓學(xué)生向左延宕，滿十進(jìn)一;向右延宕，化一為十，整數(shù)和小數(shù)被有機(jī)貫通，從而充實(shí)了學(xué)生對原先整數(shù)數(shù)位順序表的認(rèn)識。

教師要用本源性問題，驅(qū)動學(xué)生探究數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。比如在上述教學(xué)過程中，“不夠1米怎么辦”就是催生學(xué)生借助火熱的思考，產(chǎn)生對1米平均分的需求。在這個過程中，讓學(xué)生感受到小數(shù)產(chǎn)生的必要性。只有當(dāng)學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識在數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)中形成的意義和價(jià)值時(shí)，數(shù)學(xué)知識對學(xué)生而言才是真正有意義和價(jià)值的，才能敞亮學(xué)生的數(shù)學(xué)視界。

二、“思疑證惑”地問，將“史學(xué)形態(tài)”的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”

所謂“史學(xué)形態(tài)”，是指數(shù)學(xué)教材中那些客觀的數(shù)學(xué)史知識、素材、趣聞、逸事，等等。以蘇教版教材為例，數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)史通常都是以“你知道嗎”的形式嵌入教材，直接向?qū)W生展示。這樣的數(shù)學(xué)史教師易把握，學(xué)生易閱讀。但與此同時(shí)，還有一類數(shù)學(xué)史，是以隱性形態(tài)存在于教材之中的，有待教師的精心發(fā)掘。作為教師，要對這些數(shù)學(xué)知識進(jìn)行“思疑證惑”地發(fā)問，引導(dǎo)學(xué)生感受教材中數(shù)學(xué)知識的歷史形態(tài)，同時(shí)將數(shù)學(xué)知識的“史學(xué)形態(tài)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤敖逃螒B(tài)” [1]。

比如《認(rèn)識負(fù)數(shù)》這一部分內(nèi)容，與數(shù)學(xué)史聯(lián)系非常緊密，許多教師曾經(jīng)拿它做文章。作為教師，要研讀數(shù)學(xué)史，以便從人類探索“負(fù)數(shù)”的歷程中獲得教學(xué)啟示。過去，不少教師常常從生活實(shí)例入手，如向東走50米記作正數(shù)+50米，向西走100米記作-100米。這樣的負(fù)數(shù)概念就容易讓學(xué)生將“正數(shù)和負(fù)數(shù)”等同于“說反義詞”，降低了負(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)意義。如當(dāng)教師在課堂上詢問學(xué)生，“-100米”和“+50米”哪個數(shù)量大時(shí)，絕大部分學(xué)生都認(rèn)為“-100米”大，因?yàn)椤?100米”表示向西走100米，而“﹢50米”只表示向東走50米。學(xué)生的說法是有道理的，因?yàn)檫@時(shí)，盡管他們也能用正負(fù)數(shù)表示“具有相反意義的量”，但負(fù)數(shù)在這里都是以正數(shù)范疇、視角來考量的，用初中數(shù)學(xué)語言表達(dá)就是“絕對值”。中國古代盡管早就有了正負(fù)數(shù)記載，但就因?yàn)猷笥谏罘懂牰鴽]有得到發(fā)展。現(xiàn)代意義上的負(fù)數(shù)不是從生活中誕生的，而是源于數(shù)學(xué)發(fā)展的需要、需求，即“從減法運(yùn)算的封閉性”思考中誕生的。鑒于此，筆者在教學(xué)中，借助“數(shù)軸”，讓學(xué)生在數(shù)軸上認(rèn)識正數(shù)、0和負(fù)數(shù)，并以0為中心，讓學(xué)生建立正負(fù)數(shù)對應(yīng)關(guān)系?！皬?往右正著數(shù)，能數(shù)得完嗎？”“你能從0往左數(shù)嗎？”“0的右邊的數(shù)叫作正數(shù)，0的左邊的數(shù)叫作負(fù)數(shù)?！薄罢龜?shù)和負(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的，這些正數(shù)對應(yīng)著哪些負(fù)數(shù)呢？”正是借助這些“思疑證惑”地發(fā)問，學(xué)生初步認(rèn)識了負(fù)數(shù)，了解了負(fù)數(shù)，從數(shù)學(xué)的、抽象的、形式化的意義上建構(gòu)了負(fù)數(shù)。學(xué)生認(rèn)識到，正是由于有了負(fù)數(shù)，整個數(shù)軸才具有完整的意義。

“思疑證惑”地問，就是要深入挖掘（構(gòu)造）蘊(yùn)藏于數(shù)學(xué)知識背后的數(shù)學(xué)史活動要素 [2]。以問題為線索，能搭建數(shù)學(xué)“史學(xué)形態(tài)”與“教育形態(tài)”之間的橋梁，并促成數(shù)學(xué)知識由“史學(xué)形態(tài)”向“教育形態(tài)”轉(zhuǎn)化。這里，重要的不是鏈接數(shù)學(xué)史，而是將數(shù)學(xué)史思想、文化與精神融入、滲透數(shù)學(xué)教學(xué)之中，以擴(kuò)大數(shù)學(xué)知識史學(xué)形態(tài)的育人價(jià)值。

三、“聚點(diǎn)成塊”地問，將“散點(diǎn)形態(tài)”的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為“整體形態(tài)”

數(shù)學(xué)知識原本是一個整體、一個系統(tǒng)，古希臘歐幾里得的《幾何原本》就是一個例證。但在現(xiàn)代數(shù)學(xué)教材之中，整體性、系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性的數(shù)學(xué)知識被人為分割、肢解。因此，數(shù)學(xué)知識在教材中的存在形態(tài)就是“散點(diǎn)形態(tài)”。作為教師，有義務(wù)、有責(zé)任、有必要將數(shù)學(xué)知識“散點(diǎn)形態(tài)”重新集結(jié)、聚攏，使之成為一個結(jié)構(gòu)性的“整體形態(tài)”?！熬埸c(diǎn)成塊”地發(fā)問，能夠喚醒學(xué)生的建構(gòu)、結(jié)構(gòu)意向，讓學(xué)生有意識地對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行勾連、貫通。

比如對于《小數(shù)乘整數(shù)》，絕大部分教師在教學(xué)中都是按照教材的編寫邏輯，從以下三種思路出發(fā)，進(jìn)行教學(xué)。其一是“小數(shù)乘整數(shù)的意義”，如0.6×3=0.6+0.6+0.6=1.8（元）;其二是“小數(shù)在生活中的應(yīng)用”，如0.6元是6角，6×3=18角，18角就是1.8元;其三從“小數(shù)的意義”出發(fā)，即6個十分之一乘3就相當(dāng)于18個十分之一，也即是18個0.1，也就是1.8元。這樣的教學(xué)，盡管學(xué)生也能掌握知識，但學(xué)生對算理的理解是孤立的、片面的。筆者在教學(xué)中，從學(xué)生的已有知識經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，用問題引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)。首先小數(shù)乘整數(shù)可以看成是整數(shù)乘整數(shù)的問題拓展，因此可以從整數(shù)乘整數(shù)出發(fā)。如“6×3，60×3，600×3…”，引導(dǎo)學(xué)生明晰“6個一乘3，6個十乘3，6個百乘3”，等等。通過這樣的鋪墊，嫁接學(xué)生新舊知識，為學(xué)生的知識建構(gòu)奠基。因此，在出示“0.6×3”后，學(xué)生就會主動畫圖、主動用生活事例進(jìn)行驗(yàn)證。最后，筆者聚點(diǎn)成塊地發(fā)問，“整數(shù)乘整數(shù)與整數(shù)乘小數(shù)有怎樣的聯(lián)系與區(qū)別？”學(xué)生積極反思，形成對整數(shù)乘整數(shù)、小數(shù)乘整數(shù)的整體性、結(jié)構(gòu)性、系統(tǒng)性認(rèn)知。即“整數(shù)乘整數(shù)與小數(shù)乘整數(shù)，盡管乘積不同，但乘積的計(jì)數(shù)單位與因數(shù)的計(jì)數(shù)單位卻是一致的?！边@樣的教學(xué)，為后續(xù)的小數(shù)乘小數(shù)教學(xué)奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，能夠形成積極的知識經(jīng)驗(yàn)、活動經(jīng)驗(yàn)。

南京大學(xué)數(shù)學(xué)系教授鄭毓信教授認(rèn)為，“數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)求全，而應(yīng)求聯(lián)。”在數(shù)學(xué)教學(xué)中，只有引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)新知及時(shí)納入數(shù)學(xué)整體知識結(jié)構(gòu)、系統(tǒng)之中，才能讓學(xué)生真正觸摸到數(shù)學(xué)的靈魂 [3]。抓住數(shù)學(xué)的整體性、結(jié)構(gòu)性、系統(tǒng)性的脈絡(luò)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就能舉一反三、事半功倍。而“聚點(diǎn)成塊”地發(fā)問，能讓數(shù)學(xué)從割裂形態(tài)、散點(diǎn)形態(tài)走向整體形態(tài)、集約形態(tài)。

“問題化”是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)諸種形態(tài)轉(zhuǎn)化的一個最為重要的策略。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，借助追根溯源地問、思疑證惑地問以及聚點(diǎn)成塊地問，深度發(fā)掘數(shù)學(xué)知識背后的育人資源、要素。從而將蘊(yùn)藏在數(shù)學(xué)教材中“學(xué)術(shù)形態(tài)”“史學(xué)形態(tài)”和“散點(diǎn)形態(tài)”的數(shù)學(xué)知識，轉(zhuǎn)化成“原始形態(tài)”“教育形態(tài)”和“整體形態(tài)”的數(shù)學(xué)知識。

參考文獻(xiàn)：

[1]? 孟夢，李鐵安. “問題化”：數(shù)學(xué)“史學(xué)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”的實(shí)踐路徑[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（3）.

[2]? 施惠芳. 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的“問題引領(lǐng)”策略[J]. 教育研究與評論（課堂觀察），2018（3）.

[3]? 王嵐. 小學(xué)數(shù)學(xué)課程統(tǒng)整：從理解到行動[J]. 江蘇教育研究，2014（5）.