何曉麗 郭海萍

【內(nèi)容摘要】核心素養(yǎng)是當(dāng)代課程改革與發(fā)展的靈魂，教師是新課程推行的主體，課堂是教書育人的主要陣地，教師應(yīng)將“學(xué)生為本”的理念與教學(xué)實(shí)際有機(jī)結(jié)合，培養(yǎng)并提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。筆者結(jié)合《球的體積和表面積》的教學(xué)實(shí)際，談?wù)勛约涸趦?yōu)化課堂教學(xué)過(guò)程中的實(shí)踐與思考。

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng)?數(shù)學(xué)文化?生活實(shí)例?探究學(xué)習(xí)

核心素養(yǎng)是當(dāng)代課程改革與發(fā)展的靈魂，旨在培養(yǎng)適應(yīng)社會(huì)需要的全面發(fā)展的人?！督逃筷P(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》指出：課程改革的深化“將提出各學(xué)段學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系，明確學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力，突出強(qiáng)調(diào)個(gè)人修養(yǎng)、社會(huì)關(guān)愛、家國(guó)情懷，更加注重自主發(fā)展、合作參與、創(chuàng)新實(shí)踐”[1]。高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算能力、直觀想象和數(shù)據(jù)分析[2]。教師應(yīng)將“學(xué)生為本”的理念與教學(xué)實(shí)際有機(jī)結(jié)合，將核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落到實(shí)處。筆者結(jié)合立體幾何中《球的體積和表面積》的教學(xué)實(shí)際，談?wù)勛约涸趦?yōu)化課堂教學(xué)過(guò)程中的實(shí)踐與思考。

一、弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)家國(guó)情懷

中華民族的文化博大精深，數(shù)學(xué)文化更是燦爛的瑰寶，在古代數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中涌現(xiàn)出許多杰出的數(shù)學(xué)家，如劉徽、祖沖之、秦九韶、楊輝等，他們的豐功偉績(jī)?yōu)橥苿?dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展做出了巨大的貢獻(xiàn)。老師在課堂中應(yīng)充分利用數(shù)學(xué)文化的寶貴資源，為學(xué)生展現(xiàn)他們嚴(yán)謹(jǐn)務(wù)實(shí)、堅(jiān)韌執(zhí)著的治學(xué)態(tài)度，讓他們的敬業(yè)品質(zhì)和民族精神給學(xué)生以心靈的觸動(dòng)。

【教學(xué)實(shí)例】由于球的體積和表面積公式在推導(dǎo)證明上比較繁瑣，學(xué)生在理解掌握上也比較困難，根據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求，學(xué)生了解即可，但對(duì)其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化和思想的體會(huì)，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)卻是難得的機(jī)會(huì)，因此在授課過(guò)程中筆者作了如下處理。

問(wèn)題：我們回顧了柱體、錐體、臺(tái)體的體積和表面積公式及其推導(dǎo)，球既沒有底面，也無(wú)法展成平面圖形，那么，要怎樣求球的體積和表面積呢？

對(duì)體積問(wèn)題，學(xué)生提出了自己的想法——排液法，“置象大船之上，而刻其水痕所至，稱物以載之，則?？芍??！苯柚軟_稱象之法，取一容器，放入小球，則排開的液體體積即為小球體積。老師首先肯定了同學(xué)們的想法，同時(shí)也指出局限性，排液法可操作性不強(qiáng)且沒有廣泛的應(yīng)用性，每次測(cè)量都要取容器何其麻煩，測(cè)量較大的球體如星球則容器無(wú)處可尋，這時(shí)，老師介紹祖暅原理——“冪勢(shì)既同，則積不容異”，同時(shí)不失時(shí)機(jī)地說(shuō)：“它是由我國(guó)南北朝杰出的數(shù)學(xué)家祖沖之的兒子祖暅?zhǔn)紫忍岢鰜?lái)的，在西方，球體的體積計(jì)算方法雖然早已由希臘數(shù)學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)，但祖暅原理是在獨(dú)立研究的基礎(chǔ)上得出的，且內(nèi)容更豐富，涉及的問(wèn)題更復(fù)雜。17世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里在1635年出版的《連續(xù)不可分幾何》中提出了等積原理，他的發(fā)現(xiàn)要比我國(guó)的祖暅晚1100多年。”

老師結(jié)合教材內(nèi)容，在課堂中介紹與所授知識(shí)有關(guān)的數(shù)學(xué)家、名言、故事等，展示豐富的數(shù)學(xué)文化，能讓學(xué)生在潛移默化中接受熏陶，增強(qiáng)民族自豪感，不但有利于培養(yǎng)學(xué)生思考問(wèn)題的積極性，更重要的是通過(guò)人格品行的教育，激發(fā)學(xué)生的求知欲。

二、活用生活實(shí)例，靈動(dòng)教學(xué)課堂

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，服務(wù)于生活，生活為數(shù)學(xué)提供了豐富的素材，教師要善于利用生活，就地取材，化腐朽為神奇，激發(fā)學(xué)生的興趣，幫助學(xué)生沖破思想的難關(guān)。

【教學(xué)實(shí)例】老師以問(wèn)題形式引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)球的表面積公式：球面不能展開成平面圖形，所以球的表面積無(wú)法用展開圖求出，那么，要如何推導(dǎo)球的表面積公式呢？

老師結(jié)合課件進(jìn)行回顧：“我們把一個(gè)半徑為R的圓分成若干等分，然后重新拼接，把一個(gè)圓近似看成邊長(zhǎng)分別是R和

R的矩形，當(dāng)所分的份數(shù)不斷增加時(shí)，精確度就越來(lái)越高;當(dāng)份數(shù)無(wú)窮大時(shí)，就得到了圓的面積公式。”圓面積的推導(dǎo)過(guò)程體現(xiàn)了分割、求近似和、化準(zhǔn)確和的極限思想，學(xué)生自然而然地聯(lián)想到要對(duì)球進(jìn)行分割，設(shè)想一個(gè)球由許多頂點(diǎn)在球心，底面在球面上的“準(zhǔn)錐體”組成，那么問(wèn)題來(lái)了，平面的近似可以理解，立體的分割卻不易接受，這時(shí)，老師話鋒一轉(zhuǎn)：“同學(xué)們對(duì)學(xué)校的田徑場(chǎng)相當(dāng)熟悉吧，我們平常都把田徑場(chǎng)近似地看成一個(gè)平面四邊形，可田徑場(chǎng)也是地球表面的一部分呀?！睂W(xué)生恍然大悟：“這些準(zhǔn)錐體的底面并不是真的多邊形，但只要其底面足夠小，就可以看成真正的錐體?！?/p>

為鞏固公式的應(yīng)用，老師給出例題：一只飛蟲被長(zhǎng)為2的細(xì)繩綁在棱長(zhǎng)為4的正方體的底面中心，求飛蟲在正方體內(nèi)活動(dòng)范圍的體積。學(xué)生很快得出飛蟲的運(yùn)動(dòng)軌跡是半球，老師問(wèn)：“若飛蟲綁在正方體的一個(gè)頂點(diǎn)上呢？”有的學(xué)生脫口而出“球的四分之一”，此時(shí)，老師借助多媒體將球進(jìn)行復(fù)原：“我們把球看成一個(gè)西瓜，過(guò)球心橫切一刀，分成兩份，豎切一刀，分成四份，再切一刀，分成八份?！边@樣，猶如切西瓜般，再現(xiàn)了球被切割的過(guò)程，因?yàn)橘N近生活，學(xué)生很快就理解了。

三、適當(dāng)探究學(xué)習(xí)，提升思維水平

數(shù)學(xué)思想方法大部分通過(guò)解題教學(xué)得以呈現(xiàn)，教師要精選課例，善于挖掘其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和延伸空間，讓學(xué)生從初始的模仿記憶，到主動(dòng)的理解感悟，豐富學(xué)生的解題策略，提升學(xué)生的思維水平。

【教學(xué)實(shí)例】在教授完公式后，筆者設(shè)計(jì)了與球有關(guān)的切接問(wèn)題的探究活動(dòng)。

例題：已知小皮球直徑是10cm，在物流快遞中，郵遞員要將此球（充氣狀態(tài)）用正方體紙箱進(jìn)行打包，怎樣才能做到用料最?。?/p>

探究一：正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，如果球O和正方體的棱都相切，求球的表面積。

探究二：正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，如果各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，求球的表面積。

本題組以正確把握?qǐng)D形結(jié)構(gòu)特征為基礎(chǔ)，是空間想象力的直接反映。初學(xué)立體幾何，學(xué)生的圖形語(yǔ)言表達(dá)及空間想象能力相對(duì)不足，空間向平面轉(zhuǎn)化的意識(shí)也不夠，為方便學(xué)生觀察，筆者利用紙盒、建構(gòu)球等工具制作了三個(gè)教具，并適時(shí)引導(dǎo)、鼓勵(lì)學(xué)生思考討論。

對(duì)例題，老師指導(dǎo)學(xué)生畫出平面圖形，并組織語(yǔ)言：球內(nèi)切于正方體，它們的中心重合，切點(diǎn)是六個(gè)正方形的中心，過(guò)球心及四個(gè)切點(diǎn)作截面（球的軸截面），對(duì)面中心的連線是球的直徑，即直徑等于正方體的棱長(zhǎng)。

教師：在解決此類問(wèn)題時(shí)，一般要通過(guò)一些特殊點(diǎn)如球心、切點(diǎn)、頂點(diǎn)，或特殊的線如軸線、高線等，準(zhǔn)確作出軸截面，再運(yùn)用平面幾何知識(shí)研究有關(guān)元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系。接下來(lái)請(qǐng)大家思考，探究題的解題關(guān)鍵是什么？

學(xué)生1：把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，即作出過(guò)球心的軸截面。

老師：軸截面有無(wú)數(shù)多個(gè)，要找哪一個(gè)？請(qǐng)大家模仿例題描述自己的分析思路，并畫出相應(yīng)的圖形。

學(xué)生2：探究一，球和正方體的中心重合，切點(diǎn)在各棱的中點(diǎn)，過(guò)球心作相應(yīng)軸截面，對(duì)棱中點(diǎn)的連線是球的直徑，即直徑等于正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)。

學(xué)生3：探究二，球和正方體的中心也重合，頂點(diǎn)都在球面上，球心在對(duì)角面內(nèi)，故過(guò)球心作過(guò)對(duì)角面的軸截面，則直徑與對(duì)角線相等。

老師乘勝追擊，讓學(xué)生繼續(xù)思考：

探究三：在球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C，若PA、PB、PC都等于2且兩兩互相垂直，求這個(gè)球的體積。

探究四：已知正四面體的棱長(zhǎng)為a，四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D都落在球面上，求這個(gè)球的表面積。

對(duì)探究三，老師先利用課件進(jìn)行演示和鋪墊：“我們把正方體沿著面對(duì)角線進(jìn)行切割，可以得到側(cè)棱兩兩互相垂直的三棱錐，若正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)也在相同的球面上?！睂W(xué)生何其聰慧，一點(diǎn)就通，老師話音未落，馬上回答：“把已知的三棱錐補(bǔ)形成為正方體，本題就轉(zhuǎn)化成正方體的外接球問(wèn)題了?！?/p>

老師：非常好，我們不知不覺已經(jīng)利用化歸轉(zhuǎn)化思想實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題的解決。類比探究三，正四面體與正方體有何聯(lián)系？

學(xué)生4：正方體的面對(duì)角線相等，正四面體的六條棱也相等，取正方體中A、C、B 、D

四個(gè)頂點(diǎn)即可構(gòu)成正四面體，所以正四面體的外接球即為對(duì)應(yīng)正方體的外接球。

經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，問(wèn)題迎刃而解。數(shù)學(xué)問(wèn)題表象不一，方法卻是相通的，通過(guò)探究活動(dòng)，經(jīng)歷了啟迪和反思，相信學(xué)生能夠更深刻地領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想。

核心素養(yǎng)體系處于深化課程改革、落實(shí)立德樹人目標(biāo)的基礎(chǔ)地位，教師是新課程推行的主體，課堂是教書育人的主要陣地，教師應(yīng)與時(shí)俱進(jìn)，更新觀念，聚焦核心素養(yǎng)，精雕細(xì)琢，畫龍點(diǎn)睛，優(yōu)化課堂教學(xué)，讓課堂煥發(fā)生機(jī)活力，充分展現(xiàn)其潛在的教育功能，引導(dǎo)學(xué)生真正觸及數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。實(shí)現(xiàn)提升核心素養(yǎng)的目標(biāo)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]孫宏安.數(shù)學(xué)素養(yǎng)探討[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（10）：7-10.

[2]教育部課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組.普通高中各學(xué)科核心素養(yǎng)一覽表[EB/OL].

【本文系福州市教育科學(xué)研究“十三五”規(guī)劃2017年度課題“聚焦核心素養(yǎng)，優(yōu)化課堂教學(xué)一一全國(guó)卷背景下高中數(shù)學(xué)有效教學(xué)策略研究”（課題編號(hào)：FZ2017GH104）的研究成果之一?！?/p>

（作者單位：福建省福清第一中學(xué)）