蘇文祥

摘要 空間想象能力是中學(xué)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)三大能力之一，高中的立體幾何課程是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的重要栽體?，F(xiàn)行的課程標(biāo)準(zhǔn)教材在內(nèi)容編排順序、教學(xué)要求等方面做很大的改變，但課程對空間想象能力的培養(yǎng)要求并沒有降低，課標(biāo)強(qiáng)調(diào)通過對幾何圖形、幾何體的觀察、直觀感知、操作確認(rèn)、實(shí)驗(yàn)推演、分析歸納來培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。本文在空間幾何的直觀操作的層面給出了作者的經(jīng)驗(yàn)做法，為培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力展示了一種可操作的實(shí)踐方法。

關(guān)鍵詞 教學(xué) 幾何直觀 空間想象能力 培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力

三維空間是人類生存的現(xiàn)實(shí)空間，認(rèn)識空間圖形、發(fā)展幾何直觀能力、發(fā)展空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力是高中階段數(shù)學(xué)課程的基本要求。本文探討在高中立體幾何教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力問題。

1空間想象能力的概述

空間想象能力是中學(xué)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)三大能力之一，歷來受到教師和學(xué)生的重視。空間想象能力是指通過觀察、觸摸，以及實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)得到的一種能思考物體形狀、位置的能力，是對空間圖形的觀察、分析、抽象的能力，主要表現(xiàn)為識圖、畫圖和對圖形的想象能力。具體來說，就是通過觀察研究所給圖形，能迅速合理地把握它的基本幾何元素及它們之間的相互關(guān)系，能將文字語言和符號語言按照畫法規(guī)則繪制出相應(yīng)的空間圖形，從而轉(zhuǎn)化為圖形語言，以及對圖形添加輔助圖形或?qū)D形進(jìn)行分割、補(bǔ)全、折疊、展開、整合等各種變化，能從復(fù)雜的圖形中區(qū)分出基本圖形，甚至在無圖的情況下根據(jù)條件想象出空間圖形的直觀形象并進(jìn)行基本圖形的識記、再現(xiàn)和思考。

2高中立體幾何內(nèi)容的分析

2.1高中立體幾何內(nèi)容呈現(xiàn)的特點(diǎn)

高中原立體幾何教材是從點(diǎn)、直線和面開始，講述平面及其基本性質(zhì)、幾何元素的位置關(guān)系和相關(guān)的公理、定理和性質(zhì)，再研究由他們組成的幾何體，是按照從局部到整體的思路安排的，特點(diǎn)是邏輯關(guān)系嚴(yán)謹(jǐn)。但這種安排被認(rèn)為是有悖于學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，造成高中立體幾何難學(xué)。現(xiàn)行的課標(biāo)教材則打破這種邏輯安排，先從對空間幾何體的整體感受入手認(rèn)識常見的幾何體，如柱、錐、臺、球等，或者更細(xì)化的長方體、四面彈等，然后再研究組成空間幾何體的點(diǎn)、直線和平面。

2.2高中立體幾何的教學(xué)安排

高中立體幾何教學(xué)分三步。第一步，必修課程中數(shù)學(xué)2的“立體幾何初步”，主要通過直觀感知、操作確認(rèn)，獲得空間幾何圖形的性質(zhì)，并通過簡單的推理發(fā)現(xiàn)、論證一些幾何性質(zhì)；第二步，選修系列2中的“空間向量與立體幾何”（理科要求），這是對于立體幾何初步的進(jìn)一步提升，借助空間向量處理立體幾何中的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系等；第三步，選修3系列和選修4系列，如選修4-1的“幾何證明選講”等，但由于高考對選修系列3不作要求，所以在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中并非所有的學(xué)校都能夠完全開出此類選修課程，不能不說是一個遺憾。

2.3高中立體幾何學(xué)習(xí)的分層

新課程標(biāo)準(zhǔn)降低了幾何證明的要求，且對證明的要求也是逐步分層提高的：

層次1：必修2中的“立體幾何初步”對幾何體的認(rèn)識，依賴學(xué)生的直觀感受，不作任何的推理要求；

層次2：以長方體為載體、其他幾何體的實(shí)物模型、生活中的實(shí)際例子，對照此圖形或者模型進(jìn)行觀察、操作實(shí)驗(yàn)和說理，引入合情推理；

層次3：嚴(yán)格的推理證明，如證明線面平行、線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理等。

層次4：在選修2-1的“空間向量和立體幾何”引入向量坐標(biāo)，用空間向量處理空間中角問題和距離問題，使幾何問題代數(shù)化，使幾何問題的處理多了一種方法，對立體幾何的認(rèn)識也多了一個視角。

對于立體幾何的學(xué)習(xí)，為了達(dá)到各個層次的要求與目標(biāo)，課程標(biāo)準(zhǔn)也給出了基本方法：通過對幾何圖形、幾何體的觀察、直觀感知、操作確認(rèn)、實(shí)驗(yàn)推演、分析歸納出相應(yīng)層次的結(jié)論，即相關(guān)的幾何性質(zhì)定理。

3高中立體幾何的教學(xué)策略

3.1立體幾何教學(xué)應(yīng)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律

教師在立體幾何教學(xué)中要遵循“直觀感知-操作確認(rèn)-思辨論證-度量計(jì)算”的規(guī)律，設(shè)計(jì)相關(guān)的教學(xué)活動，充分利用觀察、思考、探究等教學(xué)過程展開學(xué)習(xí)研究活動。比如，可以以長方體作為直觀載體學(xué)習(xí)空間幾何元素的位置關(guān)系，按照觀察、操作確認(rèn)，用精確的語言進(jìn)行描述，再將判定定理、性質(zhì)定理進(jìn)行嚴(yán)格的論證，然后對相關(guān)的幾何度量進(jìn)行計(jì)算等。

通過觀察、思考、探究等教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中發(fā)揮自主探索精神，認(rèn)識和掌握空間圖形的性質(zhì)，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展空間觀念和推理能力、空間想象能力。

3.2立體幾何教學(xué)要突出幾何直覺

立體幾何教學(xué)強(qiáng)調(diào)幾何直覺，就是把空間觀念的建立和對空間想象能力的培養(yǎng)置于突出的位置。圖形的直觀，不僅為學(xué)生感受、理解抽象的數(shù)學(xué)概念提供了有力支撐，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生的合情推理和演繹推理的能力。

無論是空間幾何體的結(jié)構(gòu)，還是他們的三視圖、直觀圖、表面積、體積，都涉及大量的空間圖形、平面圖形，以及他們之間的相互轉(zhuǎn)化。沒有這些圖形的直觀演示而讓學(xué)生憑空掌握理解是不現(xiàn)實(shí)的，必須突出學(xué)生的幾何直覺。因此教師要積極引導(dǎo)學(xué)生從對空間幾何體的整體觀察入手，認(rèn)識空間圖形，再以長方體為載體，直觀認(rèn)識空間元素的位置關(guān)系，抽象出概念，用數(shù)學(xué)語言表述性質(zhì)與判定。

3.3立體幾何教學(xué)要適當(dāng)使用信息技術(shù)

在立體幾何教學(xué)中，利用信息技術(shù)工具，可以幫助學(xué)生建立空間觀念，提高學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀能力。比如展示豐富的實(shí)物圖片，讓學(xué)生抽象出幾何體的及其結(jié)構(gòu)特征；或者態(tài)展示空間幾何體，這樣能很好地幫助學(xué)生認(rèn)識立體幾何圖形與平面幾何圖形的關(guān)系。因此，應(yīng)該適當(dāng)使用信息技術(shù)，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的內(nèi)容。

4空間圖形的直觀操作舉例

因?yàn)榭臻g想象能力涉及這些復(fù)雜的認(rèn)知、操作、推理過程，所以盡管學(xué)生從小學(xué)開始接觸空間圖形，但到了高中階段，還是有一部分學(xué)生的空間想象能力不夠強(qiáng)。筆者認(rèn)為在模塊“立體幾何初步”的授課中，借助一些經(jīng)典的題目，對提高學(xué)生的空間想象能力有一定的幫助。

4.1把空間圖形倒過來

筆者教數(shù)學(xué)必修2模塊“立體幾何初步”時，在開始階段總拿一小題目來做一個測試。

題目1：正方體ABCD-A1B1C1D1如圖1，請學(xué)生想象一下，（1）過A1、D1、C、B四點(diǎn)“切一刀”，切下來的下半部分是什么形狀？（2）如果接著再過D1、D、B三點(diǎn)“切一刀”，切出來的兩個部分各是什么形狀？

想象不出“第一刀”結(jié)果的學(xué)生，在往后的立體幾何學(xué)習(xí)過程中表現(xiàn)出困難重重；而能迅速準(zhǔn)確答對“第二刀”所得到的兩個多面體的形狀的學(xué)生，就是那些在往后的學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出良好的空間想象能力的學(xué)生。所以這個小測驗(yàn)往往成為了解學(xué)生空間想象能力比較有效的依據(jù)。筆者教的2014級有一個學(xué)生就是一個經(jīng)不起“第一刀”的學(xué)生，小測試過后他來訴苦：老師，我看那些圖都是平面的，怎么也“立”不起來；我好像完全沒有空間想象能力??！但當(dāng)他站在我面前看到我備課本上圖形時驚呼：圖形現(xiàn)在會“立”起來了！他是站在我的對面與我相向的，我意識到這可能是因?yàn)橛行┤烁菀住翱炊币暰€是從左往右看的圖形（圖2）中的空間關(guān)系。這件事使我想起自己念小學(xué)時遇到鏡面反射成像與鐘面指時關(guān)系的問題，每當(dāng)難確定鏡像中的時間讀數(shù)時，就把頁面翻過來看就解決問題了（如果頁面能夠透光的話）。也許對一部分學(xué)生來說，學(xué)習(xí)立體幾何也需要這種“倒過來”看的竅門。

4.2把不動的變成動的

立體幾何中的一些幾何體本身就是通過運(yùn)動產(chǎn)生的，如球、圓錐、圓臺、圓柱等，課本在描述圓錐、圓臺、圓柱之間的關(guān)系時也是通過運(yùn)動的方式來串通的。讓學(xué)生把握好空間幾何中的元素的運(yùn)動來研究它們的關(guān)系，能培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，現(xiàn)舉一例。

題目2：過△ABC所在平面a外一點(diǎn)P，作OP⊥a，垂足為O，連接PA、PB、PC。

（1）若PA=PB=PC，∠C=90°，則點(diǎn)O是AB邊的_點(diǎn)；

（2）若PA=PB=PC，則點(diǎn)O是△ABC的_心。

這是在人教A版高中數(shù)學(xué)必修2模塊第67頁的練習(xí)2的一部分。學(xué)習(xí)了圓錐的概念學(xué)生就知道，除了通過直角三角形繞一直角邊旋轉(zhuǎn)得到圓錐外，也可以過一個圓的圓心作這個圓面的垂直線，垂足為P，點(diǎn)P沿著垂線在平面的其中一側(cè)作遠(yuǎn)離平面的運(yùn)動，此時點(diǎn)P與圓周上的點(diǎn)連接，就能得到一個圓錐，這些連接的線段就是圓錐的母線。由本題中的（1）、（2）的條件PA=PB=PC可知PA、PB、PC可以看作圓錐的母線，結(jié)合其余條件，就可以輕易解決這兩個問題。這個解題過程充分運(yùn)用了運(yùn)動的思想，學(xué)生一旦掌握這種處理問題的方法，有助于提升他們的空間想象能力，讓他們解決這類問題表現(xiàn)出良好的空間想象能力。

4.3把空間圖形切開來

學(xué)習(xí)立體幾何，學(xué)生都懂得要把立體圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形的問題來解決。但這個轉(zhuǎn)化對一部分學(xué)生來說，會因?yàn)榭臻g想象能力不夠強(qiáng)而變得無法完成，他們的難點(diǎn)是不知道如何“操作”實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。也許，學(xué)生比較熟悉把立體圖形各個面展開，或者在立體圖形的表面、內(nèi)部畫輔助線，但其它方面的操作顯得無從下手。如果老師在適當(dāng)時候給予他們點(diǎn)撥，有助于培養(yǎng)他們的空間想象能力。

題目3：如圖3，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為對角線BD1的三等分點(diǎn)，則P到各頂點(diǎn)距離的不同取值有（ ）

A.6個 B.5個 C.4個 D.3個

題目本身不是很難，比較常見的方法是定量計(jì)算點(diǎn)P到各個頂點(diǎn)的距離，這里的困難是如何確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，只要取適當(dāng)?shù)睦忾L，經(jīng)過幾步簡單運(yùn)算，可以容易得到B選項(xiàng)為正確答案。如果教師僅這樣處理這道題目的教學(xué)本無可厚非，但卻失去了一次培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的機(jī)會。

這道題能否不通過計(jì)算來解決呢？答案是肯定的。首先引導(dǎo)學(xué)生把點(diǎn)P和其它的8個頂點(diǎn)“放到”某些平面內(nèi)，怎么放？繼續(xù)引導(dǎo)——點(diǎn)P在對角線BD1上，現(xiàn)在把問題轉(zhuǎn)化為把對角線BD。和其它的8個頂點(diǎn)“放到”某些平面內(nèi)。這就來到了解決問題的關(guān)鍵的地方，原來點(diǎn)P和其它的8個頂點(diǎn)可以確定的平面太多，現(xiàn)在對角線BD1和其它的8個頂點(diǎn)確定的平面只有3個，并且只需3個過對角線BD1平面就可以把8個頂點(diǎn)都包含了。進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生找出這3個平面，容易找到它們（圖4）分別是平面ABC1D1、平面BCD1A1、平面BB1D1D。如果設(shè)正方體的棱長為1，則它們是全等的以1、2為鄰邊的矩形，由此容易知道PA=PC=PB1，PD=PA1=PC1，另外還有兩種距離PB和PD1，故B選項(xiàng)為正確答案。這里解決幾何體的“內(nèi)部”問題用的具體操作方法是過對角線BD1把幾何體切開，突破學(xué)生空間想象能力提升的瓶頸。

4.4把圖形放在大環(huán)境中

空間想象能力比較高層次的體現(xiàn)是對空間圖形添加輔助圖形或?qū)D形進(jìn)行分割、補(bǔ)全、折疊、展開、整合等各種變化，能從復(fù)雜的圖形中區(qū)分出基本圖形，甚至在無圖的情況下根據(jù)條件想象出空間圖形的直觀形象并進(jìn)行基本圖形的識記、再現(xiàn)和思考。

題目4：同題目3。

要把空間圖形放在某個大環(huán)境中考察，跳出問題去研究問題會得到不同的解決問題的途徑。前提是要我們對空間圖形的基本圖形、基本圖形內(nèi)部的點(diǎn)線、點(diǎn)面、線線、線面、面面的位置關(guān)系非常熟悉。在正方體ABCD-A1B1C1D1中，對角線BD1交平面AB1C于點(diǎn)P、交平面A1C1D于點(diǎn)Q，由以前所學(xué)的知識容易知道，BD1是平面ABIC、平面A1C1D的垂線，P、Q是對角線BD1的三等分點(diǎn)，P、Q也分別是△AB1C、△A1C1D的外接圓圓心，顯然PA=PC=PB1，PD=PA1=PC1，另外線段PB和PD1不等，并且兩者均與以上距離不等。

一般來說，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況、教學(xué)的具體環(huán)境，借助合適的情景、問題來發(fā)展學(xué)生各種能力。本文的幾個案例遠(yuǎn)遠(yuǎn)稱不上是解決問題的有效方法，僅僅是筆者的些許經(jīng)驗(yàn)而已，期盼拋磚引玉，得到大家的指導(dǎo)。