劉洪霞 周紹偉 郭花

【摘要】本文將APOS理論應(yīng)用到導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)中，整節(jié)課通過活動(dòng)、過程、對(duì)象、圖式等階段的逐層構(gòu)建，使學(xué)生在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上建構(gòu)新的數(shù)學(xué)知識(shí)，并通過問題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、合作探究，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動(dòng)性。

【關(guān)鍵詞】APOS理論 問題驅(qū)動(dòng) 導(dǎo)數(shù)的概念 教學(xué)設(shè)計(jì)

【中圖分類號(hào)】G645 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）19-0005-02

一、引言

美國數(shù)學(xué)教育家杜賓斯基提出的APOS理論是對(duì)皮亞杰的“自反抽象”理論的拓展。APOS 理論認(rèn)為數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知包含活動(dòng)、過程、對(duì)象和圖式四個(gè)階段。該理論強(qiáng)調(diào)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)，要以實(shí)際生活中的問題為背景，老師精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過探究與歸納，建構(gòu)新的知識(shí)。在教學(xué)中根據(jù)APOS理論進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，不僅有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和掌握，還可以促使學(xué)生更加積極主動(dòng)地學(xué)習(xí)。

杜賓斯基指出，活動(dòng)、過程和對(duì)象是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)概念建構(gòu)的三種狀態(tài)，而圖式就是將這三種狀態(tài)與新概念有關(guān)的所有知識(shí)構(gòu)成的認(rèn)知結(jié)構(gòu)或認(rèn)知框架[1]。

我們經(jīng)過多年的教學(xué)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生普遍認(rèn)為數(shù)學(xué)概念抽象難懂，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的掌握僅停留在被動(dòng)記憶層面。而APOS理論可以有效地幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的來龍去脈，從加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和掌握，基于APOS理論的概念學(xué)習(xí)框架圖為：

二、基于APOS 理論的導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)

導(dǎo)數(shù)的概念是高等數(shù)學(xué)中一元函數(shù)微分學(xué)的重要概念，也是整個(gè)高等數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容。在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)概念前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了極限和連續(xù)的概念及簡單的計(jì)算，初步具備一定的抽象思維能力。

1.活動(dòng)階段——設(shè)計(jì)問題情境，讓學(xué)生形成直觀的感性認(rèn)識(shí)

在學(xué)習(xí)新概念時(shí)，教師通過實(shí)際問題引導(dǎo)學(xué)生逐步思考，在課堂教學(xué)中我們主要采用問題驅(qū)動(dòng)的方式，學(xué)生通過分組協(xié)助積極參與到課堂教學(xué)中。

問題：在奧運(yùn)比賽中，高臺(tái)跳水是我國運(yùn)動(dòng)員的強(qiáng)項(xiàng)。請(qǐng)同學(xué)們思考：從數(shù)學(xué)的角度，我們?cè)撊绾稳?、?zhǔn)確地描述運(yùn)動(dòng)員的這樣一個(gè)運(yùn)動(dòng)？

教師提示：運(yùn)動(dòng)員在空中的動(dòng)作是非常復(fù)雜的，我們不考慮其動(dòng)作，將運(yùn)動(dòng)員看作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，與這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)有關(guān)的是質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和時(shí)間，請(qǐng)同學(xué)們考慮如何找到位置、速度和時(shí)間的關(guān)系。

同學(xué)們分組討論后，教師講解：以跳臺(tái)垂直向下與水面的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向上的方向?yàn)閥軸正方向，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。假設(shè)在比賽過程中，運(yùn)動(dòng)員相對(duì)水面的高度記為h（單位：米），起跳時(shí)初始速度為v0，起跳后的時(shí)刻記為t（單位：秒），我們將運(yùn)動(dòng)員看作一質(zhì)點(diǎn)，描繪出其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

我們仔細(xì)觀察運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)過程，發(fā)現(xiàn)在不同的時(shí)刻t，運(yùn)動(dòng)員相對(duì)水面的高度h是在變化的，那h和t之間存在怎樣的關(guān)系呢？

根據(jù)中學(xué)所學(xué)的物理知識(shí)，得出：

學(xué)生經(jīng)過計(jì)算發(fā)現(xiàn)這段時(shí)間的平均速度為零，但是通過視頻顯示運(yùn)動(dòng)員一直在運(yùn)動(dòng)著，為什么計(jì)算結(jié)果是零呢？通過數(shù)值結(jié)果與現(xiàn)實(shí)矛盾的產(chǎn)生，我們意識(shí)到平均速度只能粗略地描述物體在某段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，無法刻畫運(yùn)動(dòng)的細(xì)節(jié)，因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)員的速度是時(shí)時(shí)刻刻改變的，平均速度不足以描述這個(gè)運(yùn)動(dòng)。

2.過程階段 ——將活動(dòng)階段內(nèi)化并抽象出概念

這就是瞬時(shí)速度這個(gè)概念的數(shù)學(xué)表示。其中△t是時(shí)間增量，而△t→0表示了這個(gè)增量逐步縮小的過程。

教師還可以用類似的思想引導(dǎo)學(xué)生解決股指“跳水”，房價(jià)“暴漲”，氣溫“陡增”，GDP“猛增”等變化率問題。

上述例子，雖然問題不同，但數(shù)學(xué)本質(zhì)相同，都是函數(shù)值的變化和自變量變化的比值，即屬于變化率問題。和學(xué)生一起總結(jié)出：

3.對(duì)象階段 —— 通過探究和反思，形成導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義

綜合前面的思考過程，引導(dǎo)學(xué)生拋開問題的實(shí)際意義，抽象出導(dǎo)數(shù)的概念。那么如何判斷函數(shù)在某一點(diǎn)是否可導(dǎo)呢？通過具體的例題讓學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)。進(jìn)一步給出函數(shù)在某點(diǎn)不可導(dǎo)例題，從而引導(dǎo)學(xué)生給出導(dǎo)函數(shù)和單側(cè)導(dǎo)數(shù)的概念。

通過問題探究引導(dǎo)學(xué)生思考導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

問題：中學(xué)學(xué)過圓的切線的定義，即與圓只有唯一交點(diǎn)的直線叫圓的切線，那么“與曲線有唯一交點(diǎn)的直線是該曲線的切線”這樣定義曲線的切線合理嗎？不合理的話如何給出曲線的切線的定義？此處，借助多媒體手段，形象地觀察如何借助極限這個(gè)工具定義曲線的切線。

4.圖式階段 —— 整合活動(dòng)、過程與對(duì)象階段，形成清晰的圖式結(jié)構(gòu)

學(xué)生經(jīng)過前面三個(gè)階段的學(xué)習(xí)后，頭腦中基本形成了概念的結(jié)構(gòu)圖，經(jīng)過的長期、反復(fù)地學(xué)習(xí)，并與原有的圖式進(jìn)行整合，可以建立起綜合的圖式，從而能建立起知識(shí)點(diǎn)之間的前驅(qū)后繼關(guān)系，對(duì)高等數(shù)學(xué)的知識(shí)體系有更深刻的理解。

我們?nèi)圆捎脝栴}驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方式。請(qǐng)同學(xué)們思考導(dǎo)數(shù)的概念可以解釋生活中的哪些現(xiàn)象？設(shè)計(jì)這個(gè)問題的主要目的是讓學(xué)生應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的概念解決實(shí)際問題，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解。最后請(qǐng)同學(xué)們思考導(dǎo)數(shù)與連續(xù)有什么區(qū)別與聯(lián)系？可導(dǎo)是不是一定連續(xù)？連續(xù)是不是一定可導(dǎo)呢？

同學(xué)們討論后總結(jié)出結(jié)論： 如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則它在點(diǎn)x0處一定連續(xù)。

那么定理的逆命題成立嗎？即y=f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，則它在點(diǎn)x0處可導(dǎo)嗎？你能舉出連續(xù)但不可導(dǎo)的函數(shù)嗎？

通過上述問題的解答，讓學(xué)生腦子里進(jìn)一步形成導(dǎo)數(shù)概念的清晰的圖示結(jié)構(gòu)。

三、結(jié)束語

本節(jié)課我們首先通過跳臺(tái)運(yùn)員的速度等現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)平均變化率對(duì)描述這些現(xiàn)象很有幫助，但是我們通過跳臺(tái)運(yùn)動(dòng)員這樣一個(gè)運(yùn)動(dòng)發(fā)現(xiàn)平均變化率只能描述事物變化的結(jié)果，但是不能描述事物變化的過程，因此我們看到引進(jìn)瞬時(shí)變化率即導(dǎo)數(shù)的必要性。那是不是所有的函數(shù)都有導(dǎo)數(shù)呢？答案是否定的。不過有些函數(shù)雖然不可導(dǎo)，但從左側(cè)或右側(cè)看卻是可導(dǎo)的，為此我們給出了單側(cè)導(dǎo)數(shù)的概念。對(duì)照前面學(xué)習(xí)的連續(xù)，我們自然會(huì)思考連續(xù)和可導(dǎo)的關(guān)系。通過運(yùn)用本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們體會(huì)到數(shù)學(xué)在日常生活中的應(yīng)用，很多看似與數(shù)學(xué)無關(guān)的現(xiàn)象我們可以用數(shù)學(xué)方法來解釋。請(qǐng)同學(xué)們以后多用數(shù)學(xué)的眼光看我們所處世界，你會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)因?yàn)閼?yīng)用而美麗。

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作者簡介：

劉洪霞（1979-），山東科技大學(xué)講師，女，碩士，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。