陸燕

【摘要】概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中很重要的環(huán)節(jié)，概念教學(xué)要遵循學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的階段順序，讓學(xué)生主動(dòng)參與概念的生成、發(fā)展過(guò)程.本文結(jié)合APOS理論，通過(guò)課堂實(shí)踐來(lái)探討如何利用探究學(xué)習(xí)深化數(shù)學(xué)概念的教學(xué).

【關(guān)鍵詞】概念教學(xué)；探究學(xué)習(xí)；APOS理論

從教以來(lái)，每次到高三總復(fù)習(xí)時(shí)，筆者總發(fā)現(xiàn)某些學(xué)生經(jīng)常會(huì)犯概念性的錯(cuò)誤，而這些問(wèn)題在高一高二已經(jīng)強(qiáng)調(diào)多遍，追根溯源，不難發(fā)現(xiàn)這些學(xué)生對(duì)概念的理解并不到位，只是局限于通過(guò)反復(fù)的操練，所形成的假性的理解而已.因此，我們?cè)谛抡n中要利用探究學(xué)習(xí)來(lái)引導(dǎo)概念的生成，以促進(jìn)學(xué)生真正地掌握.

“探究學(xué)習(xí)”是指學(xué)生通過(guò)主動(dòng)探索，相對(duì)獨(dú)立地作出科學(xué)發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造，包括由此而獲得科學(xué)活動(dòng)的實(shí)際體驗(yàn)和經(jīng)驗(yàn)[1].通過(guò)探究學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在探究的過(guò)程中親歷知識(shí)的發(fā)生發(fā)展，自然類比得出概念，從而不僅把握概念的本質(zhì)含義，而且體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義，提升學(xué)習(xí)的積極性和創(chuàng)造性.

《分?jǐn)?shù)指數(shù)冪》是蘇教版必修1第三章第一節(jié)內(nèi)容，以下筆者就結(jié)合APOS理論，用課堂實(shí)錄的方式呈現(xiàn)部分教學(xué)片段，以期能探討一下“探究學(xué)習(xí)”在數(shù)學(xué)課堂新授課中的應(yīng)用：

杜賓斯基認(rèn)為數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)需要心理建構(gòu)，個(gè)體在解決感性材料中的問(wèn)題時(shí)獲得了數(shù)學(xué)知識(shí).建構(gòu)的過(guò)程有四個(gè)階段：操作或活動(dòng)階段，過(guò)程階段，對(duì)象階段，圖式階段.

1實(shí)例探究引入，自然進(jìn)入活動(dòng)階段

“活動(dòng)階段”是指學(xué)生通過(guò)一系列外顯性的指令去改變數(shù)學(xué)對(duì)象的過(guò)程，它是獲得數(shù)學(xué)概念的一個(gè)必要條件.許多概念的本質(zhì)是內(nèi)隱的，需要經(jīng)過(guò)一系列外顯的探究活動(dòng)來(lái)獲得.

PPT：考古學(xué)家按照這樣的規(guī)律來(lái)推測(cè)生物所處的年代：生物體死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14會(huì)按確定的規(guī)律衰減，大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.

根據(jù)此規(guī)律，人們獲得了生物體內(nèi)碳14含量P與死亡年數(shù)t之間的關(guān)系：P=12t5730.

T：當(dāng)生物死亡了5730，2×5730，3×5730，…年后，它體內(nèi)碳14的含量P分別為原來(lái)的多少？

S：體內(nèi)碳14的含量P分別為原來(lái)的12，122，123，……

T：當(dāng)生物體死亡了6000年，10000年，100000年后，它體內(nèi)碳14的含量P分別為原來(lái)的多少？

S：體內(nèi)碳14的含量P分別為原來(lái)的1260005730，12100005730，121000005730，……

T：同學(xué)們，你們觀察一下兩組數(shù)據(jù)的指數(shù)可發(fā)現(xiàn)第一組指數(shù)為整數(shù)，而第二組呢？

S：第二組指數(shù)為分?jǐn)?shù).

T：很好，通過(guò)這個(gè)生活實(shí)例，我們發(fā)現(xiàn)：指數(shù)的形式不僅可以是整數(shù)，還可以是分?jǐn)?shù)，為了更好地解決這類問(wèn)題，我們今天將先學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.

設(shè)計(jì)目的：

數(shù)學(xué)的概念源于生活，充滿著人類探索的情意成分，其中需要人們依賴已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行觀察、實(shí)踐、歸納、抽象、概括等人類的理性思考活動(dòng)[2].數(shù)學(xué)概念本身比較抽象，而通過(guò)具體的生活例子引入，有利于讓學(xué)生主動(dòng)分析材料，進(jìn)行探究.在探究中深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)概念發(fā)展的必然性.而這種探究的過(guò)程促使學(xué)生主動(dòng)聯(lián)系知識(shí)體系中的相關(guān)概念，從而不斷地完善概念體系.本節(jié)課先從問(wèn)題實(shí)例探究引入，依據(jù)APOS理論，通過(guò)改變同一個(gè)實(shí)例的問(wèn)題，達(dá)到引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)指數(shù)的形式從以前熟悉的整數(shù)擴(kuò)充到了分?jǐn)?shù)，從而自然引入新概念：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，并且為以后的指數(shù)函數(shù)的教學(xué)設(shè)下伏筆.

2類比探究引領(lǐng)，輕松掌控過(guò)程階段

“過(guò)程階段”是對(duì)外顯數(shù)學(xué)活動(dòng)的進(jìn)一步思考過(guò)程，當(dāng)學(xué)生經(jīng)過(guò)多次重復(fù)活動(dòng)并對(duì)其熟悉后，便會(huì)在頭腦中對(duì)活動(dòng)進(jìn)行描述，通過(guò)一系列心理操作，抽象出概念的本質(zhì)特征.

T：一般地，如果x2=a，那么x叫做a的S：平方根.T：如果x3=a，那么x叫做a的；

S：立方根.T：以此類比，一般地，如果x4=a，則x叫做a的四次方根；如果x5=a，，則x叫做a的五次根；……那么：一般地，若，則x叫做a的；

S：一般地，如果xn=a，，那么x叫做a的n次實(shí)數(shù)方根.

T：很好，同學(xué)們通過(guò)類比的數(shù)學(xué)思想方法，得到了n次實(shí)數(shù)方根的概念.那么，你會(huì)求n次實(shí)數(shù)方根嗎？

PPT：

1）x2=25，則x=，即25的平方根是，

2）x4=81，則x=，即81的四次方根是，

3）x6=64，則x=，即64的六次方根是，

4）x3=27，則x=，即27的三次方根是，

5）x5=32，則x=，即32的五次方根是，

6）x3=-8，則x=，即-8的三次方根是，

7）x5=-32，則x=，即-32的五次方根是

T：（學(xué)生口答填空后）通過(guò)分析，你有何發(fā)現(xiàn)？能否得到一個(gè)一般性的結(jié)論？

S：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次實(shí)數(shù)方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，n為奇數(shù)時(shí)，n次實(shí)數(shù)方根只有一個(gè).

T：真好.你們已經(jīng)會(huì)求這些數(shù)的n次實(shí)數(shù)方根了，而且還知道了要分類討論.我們知道如果x2=25，則x=±5，即25的平方根是±5，那么將它改成x2=26呢？S：x=±26

T：對(duì)，我們發(fā)現(xiàn)此時(shí)必須用根式來(lái)表示它了.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次實(shí)數(shù)方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，記為±na，n為奇數(shù)時(shí)，n次實(shí)數(shù)方根只有一個(gè)，記為na.那么0的n次實(shí)數(shù)方根呢？

S∶0的n次實(shí)數(shù)方根為0.

板書(shū)：xn指數(shù)↑↓底數(shù)=a冪↑→n為偶數(shù)時(shí)x=±na，

n為奇數(shù)時(shí)x=na.

（n：根指數(shù)，a：被開(kāi)方數(shù)）

T：被開(kāi)方數(shù)a有什么要求呢？S：n為奇數(shù)時(shí)，a∈R，n為偶數(shù)時(shí)，a≥0.

PPT：觀察以下式子，并總結(jié)出規(guī)律：（a>0）

210=252=25=2102，

3312=3343=34=3123，

4a12=4a34=a3=a124，

5a10=5a25=a2=a105.

T：以上式子將根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，我們觀察分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的指數(shù)，有何發(fā)現(xiàn)？

S：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的指數(shù)剛好是

根式的被開(kāi)發(fā)數(shù)的指數(shù)根指數(shù).

T：很好.我們發(fā)現(xiàn)：當(dāng)根式的被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時(shí)，根式可以表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，那么，當(dāng)根式的被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時(shí)，根式能表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式嗎？

PPT：利用以上的規(guī)律，你能表示下列式子嗎？（a>0）

21=，32=，3211=，4315=，

5a17=

（學(xué)生回答時(shí)同步PPT顯示）21=212，

32=313，3211=2113，4315=3154，5a17=a175.

T：很好.我們發(fā)現(xiàn)：當(dāng)根式的被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時(shí)，根式可以表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.

板書(shū)：amn=nam（a>0，m，n∈N*，且n>1）

T：為什么要限制a>0？……

設(shè)計(jì)目的：

結(jié)合APOS理論，本階段先設(shè)計(jì)了兩次概念類比探究：第一次探究得到了n次實(shí)數(shù)方根的概念，再設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單題組，讓學(xué)生在求n次實(shí)數(shù)方根的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)有的有兩個(gè)，有的只有一個(gè)，進(jìn)而利用特殊到一般的數(shù)學(xué)思想總結(jié)出n次實(shí)數(shù)方根要分奇偶討論，最后再設(shè)計(jì)開(kāi)不出的n次實(shí)數(shù)方根，從而自然得到根式的概念.而第二次探究是探究根式如何轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，進(jìn)而得到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念.這樣，通過(guò)不斷重復(fù)“活動(dòng)或操作”促進(jìn)學(xué)生分析類比，自覺(jué)對(duì)活動(dòng)進(jìn)行再整合，進(jìn)而通過(guò)一系列思考抽象出概念的本質(zhì)特征，不僅完善了數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)，而且增長(zhǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

3實(shí)踐探究整合，精彩聚集對(duì)象階段

“對(duì)象階段”是給抽象出的本質(zhì)特征賦予形式化的定義和符號(hào)，使其成為一個(gè)具體的對(duì)象.當(dāng)學(xué)生把過(guò)程看作一個(gè)整體，并對(duì)它進(jìn)行轉(zhuǎn)換和操作時(shí)，過(guò)程也就凝聚成了對(duì)象.并能夠?qū)⑵渥鳛橐粋€(gè)具體的“實(shí)體”參與到其他數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究、轉(zhuǎn)化或其他概念操作過(guò)程之中.經(jīng)過(guò)該階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)“概念”有了深刻的認(rèn)識(shí)，不僅能夠具體而明確地指出“概念”所具有的各種性質(zhì)，同時(shí)將概念用于實(shí)施特定的數(shù)學(xué)演算之中.

PPT：例1求下列各式的值：

（1）52，3-23，5-0.15.

（2）4-24，3-π2，51-35.

（學(xué)生口答，教師板演）

T：比較一下兩組題目，我們可以發(fā)現(xiàn)指數(shù)的位置有什么不同？

S：第一組題目的指數(shù)在根號(hào)外面，第二組題目的指數(shù)在根號(hào)里面.

T：很好，那么我們先將第一組題目的式子一般化后可寫(xiě)成：（na）n=，第二組題目的式子一般化后可寫(xiě)成：

S：（na）n=a，nan=a，n為奇數(shù)

a，n為偶數(shù)

PPT：例2求值：（1）10012；（2）823；（3）9-32；（4）181-34.（學(xué)生口答，教師板演）

T：從剛才的計(jì)算中，你能探究出此類題目的解題方法嗎？

S：將底數(shù)先寫(xiě)成指數(shù)冪的形式，然后就可以利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算了.

T：那么將若干個(gè)指數(shù)冪用符號(hào)連起來(lái)，就變成以下形式，你會(huì)做嗎？

PPT：823×100-12×14-3×1681-34.

設(shè)計(jì)目的：

從“概念的形成”的角度看，重要是獲得數(shù)學(xué)研究對(duì)象、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)新對(duì)象的基本方法，蘊(yùn)含了用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)刻畫(huà)和研究現(xiàn)實(shí)事物的方法和途徑，這是一個(gè)帶有“本源”性質(zhì)的過(guò)程[3].從過(guò)程階段螺旋上升到對(duì)象階段的過(guò)程正是探究概念相關(guān)性質(zhì)的過(guò)程，例1中兩組題目代表不同的類型，通過(guò)同組，相鄰組類比歸納，自然總結(jié)出根式的相關(guān)公式，而例2的運(yùn)算從簡(jiǎn)單的題目入手，發(fā)現(xiàn)利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算的妙處，即學(xué)習(xí)該新概念的用處，之后，再將它作為實(shí)體對(duì)象，去指導(dǎo)進(jìn)行新的“活動(dòng)”，即參與到更復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算中.這樣層層遞進(jìn)，自然引導(dǎo)，深化了概念的理解，更新了認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu).

4歸納探究總結(jié)，構(gòu)建完善圖式階段

“圖式階段”是與初始階段的圖式建立聯(lián)系，并把這個(gè)圖式納入自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，逐步建立與其它概念、規(guī)則和圖形的聯(lián)系，進(jìn)而形成系統(tǒng)化的概念框架，構(gòu)建完善成綜合心理圖式.

T：同學(xué)們，你們能自己總結(jié)一下這節(jié)課的內(nèi)容嗎？（學(xué)生小組討論后回答）

S：我們學(xué)習(xí)了根式的概念，n次實(shí)數(shù)方根的性質(zhì)，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念及有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).

T：（結(jié)合板書(shū)）我們這節(jié)課學(xué)習(xí)了兩個(gè)概念、一個(gè)性質(zhì)、一個(gè)公式及一組運(yùn)算性質(zhì).你能總結(jié)一下這節(jié)課用到的數(shù)學(xué)思想方法嗎？S：分類討論，轉(zhuǎn)化與化歸.

設(shè)計(jì)目的：

通過(guò)前三個(gè)階段的循序漸進(jìn)的引導(dǎo)，本節(jié)課的新概念及相關(guān)的性質(zhì)等已經(jīng)在學(xué)生的頭腦中形成了初步的認(rèn)知模型，而初始圖示僅反映概念的表征，這時(shí)再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行橫向、縱向比較聯(lián)系，逐級(jí)總結(jié)抽象，不斷完善了認(rèn)知結(jié)構(gòu).因此，本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)小結(jié)時(shí)利用板書(shū)稍加修改形成知識(shí)框架圖，而數(shù)學(xué)思想方法的小結(jié)又讓學(xué)生重新回顧了相關(guān)概念及性質(zhì)的推導(dǎo)過(guò)程，領(lǐng)會(huì)并加以總結(jié).這樣，不僅加深了概念的理解，而且將新舊知識(shí)點(diǎn)匯聚成一個(gè)整體，從而構(gòu)建了知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖式.

APOS理論是一種建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，強(qiáng)調(diào)概念教學(xué)要重視數(shù)學(xué)問(wèn)題的社會(huì)背景，并需要圍繞概念教學(xué)設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，通過(guò)探究促進(jìn)學(xué)生自然思考概念與生活的聯(lián)系，理解概念的本質(zhì)，并在已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上建立抽象概念與相關(guān)知識(shí)間的相互統(tǒng)一.

總之，概念教學(xué)要遵循學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的階段順序，要讓學(xué)生主動(dòng)參與概念的生成、發(fā)展過(guò)程，從中體會(huì)數(shù)學(xué)源于生活而又服務(wù)于生活.而這種探究概念的過(guò)程，不僅促進(jìn)了概念的理解和應(yīng)用，而且能從中領(lǐng)會(huì)到解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)而提升了學(xué)生解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)了概念的教學(xué)價(jià)值.

參考文獻(xiàn)

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