臺(tái)灣地區(qū)針對(duì)大學(xué)招生每年有兩次大的考試.一是每年1、2月份的大學(xué)學(xué)科能力測(cè)試（簡稱“學(xué)測(cè)”），二是每年7月初的指定科目考試（簡稱“指考”）.“指考”數(shù)學(xué)考試分?jǐn)?shù)學(xué)甲（理科程度）與數(shù)學(xué)乙（文科程度）.學(xué)生如果通過“學(xué)測(cè)”沒能被理想的大學(xué)提前錄取，他們還可參加“指考”，尋求第二次被理想大學(xué)錄取的機(jī)會(huì).

臺(tái)灣地區(qū)學(xué)生在大型國際測(cè)試項(xiàng)目TIMSS和PISA中，一向成績名列前茅.這說明臺(tái)灣的數(shù)學(xué)教育質(zhì)量非同一般.本文以臺(tái)灣近五年高考數(shù)學(xué)試題為分析文本，來探究、賞析島內(nèi)高考數(shù)學(xué)試題的特色.

特色1單選題與多選題并存

“學(xué)測(cè)”數(shù)學(xué)試卷由單選題、多選題、選填題三類題型構(gòu)成，用時(shí)100分鐘，總分100分；“指考”試卷也包括了這三類題型，且多了兩個(gè)解答題，用時(shí)80分鐘，總分100分.

單選題與多選題都有5個(gè)選擇支.多選題在大陸高考試題中很少出現(xiàn).以2016年而言，“學(xué)測(cè)”試題中多選題7個(gè)，占分35分；“指考”數(shù)學(xué)甲試題中多選題3個(gè)，占分24分；數(shù)學(xué)乙試題中多選題5個(gè)，占分40分.可見多選題占分不少.

例1（2016年“學(xué)測(cè)”單選題第6題）設(shè){an}為一等比數(shù)列.已知前10項(xiàng)的和為∑10k=1ak=80，且a1+a3+a5+a7+a9=120，請(qǐng)選出首項(xiàng)a1的正確范圍：

分析a2+a4+a6+a8+a10=q（a1+a3+a5+a7+a9），則（1+q）（a1+a3+a5+a7+a9）=801+q=23q=-13，由a1+a3+a5+a7+a9=120a11-（q2）51-q2=120，有

a1=1201-191-195=120×89-194>120×89>100，

排除（1）、（2）、（3）.

又9-194>8a1=1201-191-195=120×89-194

<110，排除（5）.

正確答案是（4）.

例2（2016年“學(xué)測(cè)”多選題第7題）下列各方程式中，請(qǐng)選出有實(shí)數(shù)解的選項(xiàng)：

分析這個(gè)題如果分類討論去絕對(duì)值符號(hào)，就比較麻煩.考慮到|x|、|x-5|的幾何意義：分別表示點(diǎn)x到點(diǎn)0、5的距離.這樣（1）、（4）是不可能的，有實(shí)數(shù)解應(yīng)選（2）、（3）、（5）.

臺(tái)灣選擇題突出核心數(shù)學(xué)概念，強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的考查；有些問題依托數(shù)學(xué)模型，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的考查；有些問題學(xué)生可憑借數(shù)學(xué)直感、類比、歸納可以解決，考查學(xué)生的合情推理能力.臺(tái)灣選擇題一般客觀性強(qiáng)，可信度高，具有較好的甄別和選拔功能.

特色2突出試題的現(xiàn)代數(shù)學(xué)背景

從臺(tái)灣《普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)課程綱要》可以看到，大學(xué)很多現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)下放到了高中課程.臺(tái)灣課程不但包括了大陸課程標(biāo)準(zhǔn)中的所有現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容，而且還多了高次多項(xiàng)式函數(shù)、線性方程組、行列式與矩陣、向量的外積、空間中直線與平面的方程、極限、不定積分等.臺(tái)灣大學(xué)入學(xué)考試命題以課程理念為指導(dǎo)，呈現(xiàn)出很多以現(xiàn)代數(shù)學(xué)為背景的試題.

例3（2013年“指考”數(shù)學(xué)甲單選題第4題）考慮所有由1、2、3、4、5、6各一個(gè)與三個(gè)0所排成形如0ab

c0d

ef0主對(duì)角線上的元素均為0的三階方陣.今隨機(jī)選取這樣一個(gè)方陣，試問其行列式值0ab

c0d

ef0為奇數(shù)的機(jī)率為下列哪一個(gè)選項(xiàng)？

（1）120（2）110（3）12（4）910（5）1920

解將1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)排a，b，c，d，e，f六個(gè)位置，有A66=720種方法.若要0ab

c0d

ef0=ade+bcf為奇數(shù)，則必須三個(gè)奇數(shù)1，3，5在一起相乘，三個(gè)偶數(shù)2，4，6在一起相乘，根據(jù)題設(shè)要求的排列方法有2A33A33=72種，則所求概率P=110，選（2）.

這個(gè)題呈現(xiàn)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)背景有行列式、矩陣、概率.統(tǒng)計(jì)近五年的臺(tái)灣高考題，概率與統(tǒng)計(jì)、平面向量、空間向量、極限、微積分、行列式與矩陣等現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容是考試的重點(diǎn)，占分超過60%.

特點(diǎn)3試題貼近日常生活

《普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)課程綱要》在“課程目標(biāo)”中指出，培養(yǎng)學(xué)生具備實(shí)際生活應(yīng)用和學(xué)習(xí)相關(guān)學(xué)科所需的數(shù)學(xué)技能.在“核心能力”培養(yǎng)中，提倡培養(yǎng)學(xué)生“連結(jié)能力”，能將課堂內(nèi)學(xué)到的知識(shí)聯(lián)系到生活實(shí)際，用數(shù)學(xué)知識(shí)有效地解決生活中隨時(shí)可能碰到的問題.

例4（2015年“指考”數(shù)學(xué)乙解答題第1題）根據(jù)內(nèi)政部營建署《建筑物無障礙設(shè)施設(shè)計(jì)規(guī)范》，無障礙通路之設(shè)計(jì)需符合以下規(guī)定：

（1）坡道之坡度（高度與水平長度之比值）不得大于112；

（2）坡道之起點(diǎn)及終點(diǎn)，應(yīng)設(shè)置長、寬各150公分以上之平臺(tái).此處的長指的是水平長度，而非斜面的長度；

（3）走道的中間應(yīng)設(shè)置適當(dāng)數(shù)量的平臺(tái)，使得每段坡道的高差不超過75公分，且平臺(tái)的水平長度至少150公分；

（4）各平臺(tái)坡度不得大于150.

圖1圖2圖1與圖2為側(cè)面示意圖，圖1摘自此規(guī)范書，圖2為圖1的簡明版，其中l(wèi)≥150，h1，h2≤75；走道之坡度相當(dāng)于走道斜率之絕對(duì)值.

依上述規(guī)定，一條升高2公尺的無障礙走道，在無轉(zhuǎn)彎的條件下，其最小可能的水平長度（含平臺(tái)）為多少公尺？

解高度差為200公分，要有最短水平距離，則所有平臺(tái)的坡度須恰好為150，且所有坡道的坡度須恰好是112，因?yàn)槠脚_(tái)的坡度150小于坡道的坡度112，要得到最短水平長度就必須極小化平臺(tái)的水平長度，也就是極小化平臺(tái)的高度差.

每一個(gè)平臺(tái)水平距離至少為150公分，也就是每個(gè)平臺(tái)的高度差至少為150×150=3公分，可以觀察：

當(dāng)高度不超過6公分時(shí)，只能設(shè)計(jì)一個(gè)平臺(tái)；

當(dāng)高度差超過6公分，但不超過3+75+3公分時(shí)，可以設(shè)計(jì)前后兩個(gè)各150公分的平臺(tái)，中間一個(gè)坡道；

當(dāng)高度差超過3+75+3公分，但不超過3+75+3+75+3公分時(shí)，可以設(shè)置前后兩個(gè)各150公分的平臺(tái)，中間兩個(gè)坡道以及一個(gè)150公分的平臺(tái)；

當(dāng)高度差超過3+75+3+75+3公分，但不超過3+75+3+75+3+75+3公分時(shí)，可設(shè)置前后兩個(gè)各150公分的平臺(tái)，中間三個(gè)坡道以及兩個(gè)150公分的平臺(tái)；

四個(gè)150公分的平臺(tái)會(huì)升高3×4=12公分，剩下的200-12=188公分的高度由坡道來提供，所以坡道的水平長度為188×12=2256公分，因此水平總長度為2256+150×4=2856公分，也就是28.56公尺.

這是一個(gè)生活氣息很濃的數(shù)學(xué)試題，毫無人工編造的痕跡.統(tǒng)計(jì)臺(tái)灣近五年的高考數(shù)學(xué)試題可以看到，這樣“連結(jié)”生活實(shí)際的試題共有60多道.這不但是臺(tái)灣試題的一大特色，更是一大奇觀！真正讓學(xué)生感受和理解到數(shù)學(xué)來源與生活，又將回到生活中解決實(shí)際問題.

特色4凸顯能力立意的主旨

從例4還可以看到，題設(shè)文字表述多，但從求解過程看，沒有繁雜的運(yùn)算，也沒用到特別強(qiáng)的數(shù)學(xué)技巧.這是臺(tái)灣數(shù)學(xué)課本習(xí)題和重大考試數(shù)學(xué)試題的一種常見現(xiàn)象，練的和考的就是學(xué)生的閱讀能力、理解能力、運(yùn)算能力、寫作能力.《普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)課程綱要》特別重視學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng).因些，臺(tái)灣高考數(shù)學(xué)試題突出能力立意的主旨，提倡試題能給學(xué)生提供多角度思考問題、一題多解的空間，反對(duì)試題求解過程中需要用到繁雜的運(yùn)算和特別強(qiáng)的解題技巧.

例5（2015年“指考”數(shù)學(xué)甲解答題第二題）設(shè)無窮數(shù)列{an}符合a0=0且當(dāng)n≥1時(shí)，an滿足

綜上，對(duì)一切大于等于0的整數(shù)n，不等式成立.故得證.

由{a2n}為嚴(yán)格遞減，則當(dāng)正整數(shù)n≥1時(shí)，a2n

再由{a2n}為嚴(yán)格遞減且limn→∞a2n=-18，得對(duì)任意正整數(shù)n，-18≤a2n，所以，-18≤a2n<0成立.

例5是2015年“指考”數(shù)學(xué)甲最后一個(gè)題，是一個(gè)綜合性較強(qiáng)的試題，命題者把等比數(shù)列、極限、不等式等知識(shí)融入一題.第（3）小題求解中，可以從多個(gè)角度切入，做到一題多解.此題難度不大，不等式放縮的適度性也比較好把握，不需再用其他高超的解題技巧.

特色5與其他學(xué)科知識(shí)相互滲透

臺(tái)灣數(shù)學(xué)教育非常重視學(xué)生“連結(jié)”能力的培養(yǎng)，即將數(shù)學(xué)知識(shí)與生活情境、其他領(lǐng)域、人類文化等連結(jié)，用數(shù)學(xué)方法去解決出現(xiàn)的問題.“連結(jié)”分5個(gè)階段：察覺、轉(zhuǎn)化、解題、溝通、評(píng)析.

例6（2015年“指考”數(shù)學(xué)乙多選題第4題）半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)的的摩爾定律認(rèn)為“體積電路板可容納的電晶體數(shù)目每兩年增加一倍”.f（t）表示從t=0開始，電晶體數(shù)目隨時(shí)間t變化的函數(shù)，并假設(shè)f（0）=1000.下面的選項(xiàng)中，請(qǐng)選出可以代表摩爾定律的公式：

（1）若t以年為單位，則f（t）=1000+10002t；

（2）若t以年為單位，則f（t）=1000+100024t；

（3）若t以年為單位，則f（t）=10002t；

（4）若t以年為單位，則

lgf（t）=3+lg32t+12；

（5）若t以年為單位，則lgf（t）=3+lg22t.

分析依題意知，f（2）=2000，f（4）=4000，f（6）=8000，…

用特殊值法可選出正確答案為（3）、（5）.

例7（2015年“學(xué)測(cè)”單選題第3題）有兩組供機(jī)器運(yùn)作的配件A、B，其單獨(dú)發(fā)生故障的概率分別為01、015.只有當(dāng)A、B都發(fā)生故障時(shí)，此機(jī)器才無法運(yùn)作.A、B兩配件若用串聯(lián)的方式，前面故障會(huì)導(dǎo)致后面故障，但若后面故障則不會(huì)影響前面的故障；若用并聯(lián)方式，則故障情形互不影響.若考慮以下三種情形：

（一）將B串聯(lián)于A之后；（二）將A串聯(lián)于B之后；（三）將A、B并聯(lián).

在情況（一）、（二）、（三）之下，機(jī)器無法運(yùn)作的機(jī)率分別為p1、p2、p3.請(qǐng)選出正確的選項(xiàng)：

圖3分析以題意畫出三種情形相應(yīng)的圖像，如圖3.在情況（一）下，機(jī)器不能運(yùn)作的概率是p1=0.1，在情況（二）下，機(jī)器不能運(yùn)作的概率是p2=0.15，在情況（三）下，機(jī)器不能運(yùn)作的概率是p3=0.1×0.15=0.015.選（2）.

臺(tái)灣數(shù)學(xué)教育傾向于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)工具化的意識(shí)，因此，他們淡化了以純粹數(shù)學(xué)教學(xué)為主的數(shù)學(xué)教育，主張?jiān)跀?shù)學(xué)與其他學(xué)科相互滲透的環(huán)境中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).

特色6有機(jī)融入文化的元素

汪曉勤[1]、劉芳[2]等人的研究認(rèn)為，數(shù)學(xué)文化的類型應(yīng)分為數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與科技、數(shù)學(xué)與人文、數(shù)學(xué)與藝術(shù)體育、數(shù)學(xué)游戲等.臺(tái)灣地區(qū)《普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)課程綱要》也強(qiáng)調(diào)，引進(jìn)與主題相關(guān)的數(shù)學(xué)文化，對(duì)學(xué)生會(huì)起正面的作用，尤其能協(xié)助學(xué)生將抽象觀念具體化.因此，臺(tái)灣大學(xué)入學(xué)試題也充分體現(xiàn)了這些課程理念.

圖4例8（2014年“指考”數(shù)學(xué)甲選填題第B題）在游戲中，阿玲拿到如右的數(shù)字卡.主持人隨機(jī)從1至9號(hào)球中同時(shí)取出三球，若這三球的號(hào)碼中任兩個(gè)都不在卡片上的同一行也不在卡片上的同一列時(shí)就得獎(jiǎng)，則阿玲得獎(jiǎng)的概率為（化成最簡分?jǐn)?shù)）.

分析符合題設(shè)要求的取法有3×2×1=6（種），

不考慮限制條件的取法共有

6+3×2×1+6C23×2+12×6×C23×4=84，

故阿玲獲獎(jiǎng)的概率是684=114.

例8是一個(gè)與數(shù)字游戲相關(guān)的問題，而且是一種常見的游戲.我們大家很小的時(shí)候都玩過.

從上文可以看到，臺(tái)灣試題頗多特色，很值得我們學(xué)習(xí)、借鑒、欣賞.大陸高考數(shù)學(xué)試題無論是題型還是內(nèi)容，幾乎一成不變，顯得過于刻板和無趣.我們應(yīng)該學(xué)習(xí)臺(tái)灣高考的命題原則和方法，試題編制要符合學(xué)生的認(rèn)知能力，不要隨意拔高或降低難度，避免偏題、怪題和難題.我們還應(yīng)在高考試題中，增加多個(gè)有生活氣息的應(yīng)用題，讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值和魅力.這樣不但可以考查到學(xué)生觀察、分析和解決問題的能力，還可以考查到學(xué)生閱讀理解能力、數(shù)學(xué)建模能力，達(dá)到考試目標(biāo)多元化的目的.

參考文獻(xiàn)

[1]汪曉勤.主要國家高中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)文化[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2011（4）：封底.

[2]劉芳.浙教版教材中數(shù)學(xué)文化滲透情況的分析[J].教學(xué)月刊（中學(xué)版），2010（3）∶24-28.

作者簡介郝保國（1958—），男，湖南祁東人，數(shù)學(xué)高級(jí)教師；主要研究方向是課程、教材、教法、競賽等；華南師大校外碩士生導(dǎo)師，廣東省優(yōu)秀教師；在《數(shù)學(xué)傳播》、《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》等刊物共發(fā)表論文86篇，輔導(dǎo)學(xué)生獲國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽金牌1人次.